第01讲 平面向量的概念（2大知识点+4大典例+变式训练+过关检测）讲义-（寒假衔接课堂）2026年高一数学寒假衔接（人教A版必修第二册）

第01讲 平面向量的概念（2大知识点+4大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 向量的模 典型例题二 零向量与单位向量 典型例题三 相等向量 典型例题四 平行向量(共线向量) 知识点一：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 注：（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 注：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即时训练】 1．（24-25高一下·上海·课后作业）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤. 【详解】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确； ②∥，则与为共线向量，故不正确； ③，向量的模长是非负数，故正确； ④｜｜=1，故正确； ⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知单位向量、，则下面所有正确的式子有 ． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（2）（4） 【解析】依次判断每个选项：，（1）错误；，（2）正确；方向不一定相同，（3）错误；，（4）正确，得到答案. 【详解】（1），（1）错误； （2），（2）正确； （3）单位向量方向不一定相同，（3）错误； （4），（4）正确 故答案为：（2）（4） 【点睛】本题考查了单位向量的基本知识，意在考查学生对于向量知识的灵活运用. 知识点二：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 注：1、零向量的方向是任意的，注意0（向量）与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知两个向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 【答案】A 【分析】根据向量共线的概念逐一判断即可. 【详解】选项A：与共线，则与平行，A说法正确； 选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误； 选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误； 选项D：与共线，当是非零向量时，存在实数，使得，D说法错误； 故选：A 2．（24-25高二·全国·课后作业）若，，则 . 【答案】或 【分析】根据，，确定模长和方向得到答案. 【详解】因为，， 所以，模相同，方向相同或相反， 所以或. 故答案为：或. 【典型例题一 向量的模】 1．（24-25高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 2．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）向量的夹角为，，，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先求解出；再通过平方运算可得，根据，可求得所求最大值. 【详解】 又      本题正确选项： 【点睛】本题考查向量模长最值的运算，解题关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹角的运算问题，再根据夹角余弦值的范围得到所求模长的最值. 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知， ，则等于 A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】通过可知与夹角为或，从而求得，开方得结果. 【详解】由可知：，即与夹角为或 或 或 本题正确选项： 【点睛】本题考查复合向量模长的运算，首先要能够通过条件确定两向量平行，然后先求解模长的平方，将向量运算转化为模长运算是解题的关键. 3．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用平行四边形的性质和向量模的运算法则计算可得的值. 【详解】由平面向量的运算法则结合平行四边形的性质可得： ， 且：， 故：，解得：. 故答案为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，向量的模的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．（25-26高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【答案】最大值是18，最小值是6. 【分析】根据向量的三角不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号； ，当且仅当向量，方向相反时取得等号. 所以的最大值是18，最小值是6. 【典型例题二 零向量与单位向量】 1．（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可判断． 【详解】非零向量方向上的单位向量，且，故ABC错误， 故选：D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 【答案】见解析. 【详解】试题分析： （1）根据要求画出图形，由作出的图形可得操作的次数．（2）赛车若能回到出发点，则必须满足赛车经过多次方向转变后的位移为零．根据多边形的内角和定理求解可得结论． 试题解析： （1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零； （2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零． 按（1）的方式作图，则所作图形是内角为的正多边形， 由多边形的内角和定理可得 ， 解得，且． 故α应满足的条件为，且． 1．（24-25高三·江西·月考）已知点，，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算得到，再计算得到答案. 【详解】，，则， 与向量同方向的单位向量为. 故选：. 【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的计算能力. 2．（2025·湖南·高考真题）已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，的轨迹是以为圆心、以1为半径的圆，，为圆上的点到原点的距离，则的最大值为等于圆心到原点的距离加半径，最大值为. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期中）与向量方向相同的单位向量的坐标是 . 【答案】 【分析】先求解向量的模长,再根据同向单位向量的公式求解即可. 【详解】因为,故与向量方向相同的单位向量坐标是. 故答案为： 4．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知 (1)求的单位向量 (2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 且 【分析】(1)先计算，再根据得到答案. (2)先计算，，再计算,排除向量同向的情况得到答案. 【详解】(1) ，则，的单位向量 (2) ， ，夹角为锐角 则，解得： 且与不同向，即，解得： 综上所述：且 【典型例题三 相等向量】 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在求作两个向量的和（或差）时，可能选择不同的始点求和（或差）.思考：选择不同的始点作出的向量和（或差）都相等吗？证明此结论. 【答案】相等，证明见解析 【分析】根据平行四边形的定义及性质可得证. 【详解】设，则，且， 则四边形是平行四边形， 所以，； 同理，，则，且， 则四边形是平行四边形， 所以，； 因此，， 则四边形是平行四边形， 所以. 即选择不同的始点作出的向量差相等， 同理可得，选择不同的始点作出的向量和相等. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项. 【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 【答案】D 【分析】由图形，根据共线和平行关系，先求所有方向上的相等向量，再改变方向，即可得到所有情形. 【详解】如图， 由已知可得， ，，，， 有12对相等的向量， 改变其方向，又有12对相等的向量，共24对， 故选：D. 3．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【分析】根据向量相等的概念可得结果. 【详解】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个:， 总共有8个． （2）由（1）知， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， 模长为时，互不相等的非零向量有2个， ....依次类推， 当模长为时，有2个， 总共有个． 【典型例题四 平行向量(共线向量)】 1．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解； （2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【详解】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴. 故与向量相等的向量是，. （2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，. 1．（24-25高三上·辽宁·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可. 【详解】因为，故同向. 对于A:，方向相反,A选项错误； 对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误； 对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确； 对于D:,不能确定的方向，D选项错误. 故选：C． 2．（24-25高三下·河南·月考）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可. 【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图    ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误. 故选：A 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知，给出以下命题： ①时，与的方向一定相反； ②时，与是共线向量； ③时，与的方向一定相同； ④时，与的方向一定相反． 其中正确的是 【答案】①②③④ 【解析】利用向量的关系和共线向量定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，时，由共线向量的关系，可得与的方向一定相反，所以正确； 对于②中，时，由共线向量定理，可得与是共线向量，所以正确； 对于③中，，则同号，此时与的方向一定相同，所以正确； 对于④中，，则异号，此时与的方向一定相反，所以正确． 所以正确的命题为①②③④. 故答案为：①②③④. 【点睛】本题主要考查了共线向量定理得应用，其中解答中熟记向量的共线定理，准确判定是解答的关键，属于基础题. 4．（2025高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果； (2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。 【详解】(1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。 1．（24-25高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过向量模的运算公式，可以计算出，即，既可以得出答案. 【详解】，所以的夹角不超过，对于任意给定的，因为，满足的向量的取法共有，再让动起来，可得点对的个数是, 故选:C. 4．（2025高三·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用相等向量的意义判断A；零向量的意义判断B；利用共线向量的定义性质逐项判断CD. 【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C 6．（25-26高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 【答案】CD 【分析】A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断； D.由零向量的定义判断. 【详解】A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误； B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误； C. 若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有， 若，则，则四边形是平行四边形，故正确； D.由零向量的规定，知正确． 故选：CD 7．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是 A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．零向量与零向量共线 C．若，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 【答案】AD 【解析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误； 零向量与任一向量共线，故B正确； 若，则，故C正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题. 8．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 9．（24-25高一下·四川·月考）下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 【答案】BCD 【分析】利用共线向量、零向量、单位向量、相等向量的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，根据向量平行的定义可知，方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确； 对于B，如果，且是非零向量，则，但不存在实数使得，故B错误； 对于C，如果，则有，但不能得到，故C错误； 对于D，单位向量的模长都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故D错误. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，必成立，A正确； 对于B，若，则反向，，B正确； 对于C，当时，，，此时未必共线，C错误. 对于D，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，D错误； 故选：AB 11．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】③ 【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合. 【详解】①错误．若，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上． 故答案为：③ 【点睛】本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题. 12．（24-25高一下·全国·课后作业）已知x,y是实数,向量不共线,若,则 , . 【答案】 【解析】由向量不共线，则均不为零向量，再由得到方程组解得. 【详解】解：因为向量不共线， 所以向量均不为零向量， 解得 故答案为：； 【点睛】本题考查向量相等及零向量，属于基础题. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 14．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 15．（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【分析】根据且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案. 【详解】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120 16．（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 【答案】(1)45° (2). 【分析】(1)根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解. (2)根据给定条件可得OD⊥BF，再探求图中与BF平行的线段即可得解. 【详解】（1）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°， 所以与的夹角为45°. （2）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 显然，BF是圆O的直径，，，如图： 所以与垂直的向量有：. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 18．（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 19．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，结合向量共线的概念得到与向量共线的向量； （2）由向量模相等的概念得到与向量模相等的向量； （3）由向量相等的概念得到与向量相等的向量． 【详解】（1） 分别为的中点，，且，与向量共线的向量是. （2）因为是正三角形，所以， 因为E、F、G依次是正的边AB、BC、AC的中点， 所以， 所以在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中， 与向量模相等的向量为； （3）在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，与向量相等的向量为. 20．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【详解】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量的概念（2大知识点+4大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 向量的模 典型例题二 零向量与单位向量 典型例题三 相等向量 典型例题四 平行向量(共线向量) 知识点一：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 注：（1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 注：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 注：在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即时训练】 1．（24-25高一下·上海·课后作业）若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 2．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知单位向量、，则下面所有正确的式子有 ． （1）；（2）；（3）；（4） 知识点二：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定：与任一向量共线. 注：1、零向量的方向是任意的，注意0（向量）与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·月考）已知两个向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 2．（24-25高二·全国·课后作业）若，，则 . 【典型例题一 向量的模】 1．（24-25高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 2．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）向量的夹角为，，，则的最大值为 A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知， ，则等于 A． B． C．或 D． 3．（2025·安徽淮北·二模）已知向量，则 ． 4．（25-26高一·全国·课后作业）若向量，满足，，求的最大值及最小值. 【典型例题二 零向量与单位向量】 1．（24-25高一下·甘肃·月考）关于非零向量方向上的单位向量，下列说法正确的是（    ） A．有无数个 B．与可能反向 C． D． 2．（24-25高一·全国·课后作业）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 1．（24-25高三·江西·月考）已知点，，则与向量同方向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·高考真题）已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期中）与向量方向相同的单位向量的坐标是 . 4．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知 (1)求的单位向量 (2)若与的夹角为锐角,求实数的取值范围． 【典型例题三 相等向量】 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·上海·课后作业）在求作两个向量的和（或差）时，可能选择不同的始点求和（或差）.思考：选择不同的始点作出的向量和（或差）都相等吗？证明此结论. 1．（2025高三·全国·专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有向量中，相等向量的对数为（    ） A．9 B．11 C．18 D．24 3．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【典型例题四 平行向量(共线向量)】 1．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 1．（24-25高三上·辽宁·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·河南·月考）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知，给出以下命题： ①时，与的方向一定相反； ②时，与是共线向量； ③时，与的方向一定相同； ④时，与的方向一定相反． 其中正确的是 4．（2025高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 1．（24-25高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 6．（25-26高二·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．四边形是平行四边形的充要条件 D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件 7．（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中错误的是 A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上 B．零向量与零向量共线 C．若，则 D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量 8．（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 9．（24-25高一下·四川·月考）下列说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．若，则存在唯一实数使得 C．若则 D．单位向量都相等 10．（24-25高一下·黑龙江牡丹江·月考）关于向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 11．（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 12．（24-25高一下·全国·课后作业）已知x,y是实数,向量不共线,若,则 , . 13．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 14．（24-25高一下·河南开封·月考）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 15．（24-25高一下·贵州黔南·月考）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 16．（24-25高一·全国·课后作业）如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 17．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 18．（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 19．（24-25高二·上海·假期作业）如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点. (1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量； (2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量； (3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量. 20．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 学科网（北京）股份有限公司 $