第03讲 向量的数量积（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）讲义-（寒假衔接课堂）2026年高一数学寒假衔接（人教A版必修第二册）

第03讲 向量的数量积（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 平面向量数量积的定义及辨析 典型例题二 平面向量数量积的几何意义 典型例题三 用定义求向量的数量积 典型例题四 数量积的运算律 典型例题五 已知数量积求模 典型例题六 向量夹角的计算 典型例题七 垂直关系的向量表示 典型例题八 已知模求数量积 典型例题九 已知模求参数 典型例题十 求投影向量 知识点一：向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 【答案】D 【分析】根据数量积的概念即可判断为锐角，再利用三角形的定义判断即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以为锐角，但是不能确定其它角是否为锐角、直角或钝角，所以不能确定的形状， 故可为任意三角形. 故选：D 2．（25-26高三上·内蒙古·月考）已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为 . 【答案】 【分析】结合图形，利用两向量的数量积的定义即可求得其最大值. 【详解】    如图，圆是边长为2的正方形的内切圆，点分别是圆和正方形的边上的点， 则， 当且仅当，共线且同向，，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 知识点二：平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 【即时训练】 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知向量，满足，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合平面向量垂直的性质、夹角公式进行求解即可. 【详解】因为，则， 即，解得， 所以， 故选：A 2．（2025·四川自贡·一模）若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算性质化简即可得解. 【详解】因为非零向量、的夹角为，且， 则. 故答案为：. 【典型例题一 平面向量数量积的定义及辨析】 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义即可判断. 【详解】由平面向量数量积的定义得 由图可知，夹角为锐角，则,故A错误； 夹角为钝角，则,故B错误； 夹角为锐角，则,故C正确； 夹角为锐角，则，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二·全国·课后作业）在中，，，，求，，的值. 【答案】，，. 【分析】首先根据题意得到，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，，，所以，即所以. 如图所示： 所以. ， . 1．（24-25高一下·上海·课后作业）若、是两个向量，且，则（    ） A．、都是零向量 B．、中至少有一个是零向量 C．、都不是零向量，且 D．、中至少有一个是零向量，或、都不是零向量，且 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义分类讨论、中有无零向量，由此可得结果. 【详解】因为， 当、中有零向量时，则，所以，满足； 当、中没有有零向量时，若，则，所以； 综上可知，、中至少有一个是零向量或、都不是零向量且. 故选：D.. 2．（24-25高一下·全国·单元测试）下列向量一定与向量垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用可得答案. 【详解】分别是方向上的单位向量，设， ， 一定与向量垂直的是， 故选：A. 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【答案】 2 -2 【分析】根据网格图得到，然后求数量积即可. 【详解】由题意得，. 故答案为：2；-2. 4．（2025高一下·上海·专题练习）求函数的最大值. 【答案】39 【分析】设，，利用求得结果. 【详解】【解】设，，则，， 由得：， 当且仅当且方向相同时，不等式取“”号，即：， 解之得：.所以当时，. 【典型例题二 平面向量数量积的几何意义】 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】依题意，， 因此要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大， 由图形知，当向量时，向量在向量方向上的投影向量的模最大， 此时在向量方向上的投影向量的模为4，所以的最大值为. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课前预习）在等腰三角形中，，，D为BC的中点． (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在等腰三角形中，根据已知条件求出与的夹角，然后利用投影的定义求解即可； （2）在等腰三角形中，利用等腰三角形的性质及已知条件求出，根据投影的定义求解即可. 【详解】（1）如图，连接AD．    由图可知与的夹角为的补角， 所以与的夹角为， 所以在方向上的投影为． （2）因为为等腰三角形，且为BC的中点，所以． 又，， 所以． 因为与的夹角为， 所以在方向上的投影为． 1．（24-25高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等边三角形的性质结合平面向量数量积的几何意义计算即可. 【详解】 如图所示，取的中点，则， 由题意易知， 不难发现在上的投影为，所以. 故选：A 2．（24-25高三上·陕西西安·月考）窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合线段长即可得解. 【详解】记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接， 由题意易得是等腰直角三角形，，则， 不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况， 过作，垂足为，则，又， 所以， 显然，当点与点重合时，取得最大值， 所以的最大值为. 故选：A. 3．（24-25高一下·重庆·月考）在中，，，，且O是的外心，则 . 【答案】 【分析】由题意画图，结合数量积几何意义和定义求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 则在方向上的投影向量为， 因为为的外心，所以， 所以. 故答案为：.    4．（2025高二·全国·专题练习）已知，，，是空间不共面的单位向量，且满足.若向量，λ∈R，求在上的投影向量的模的最大值. 【答案】. 【分析】利用空间向量的数量积运算，向量投影的计算公式得到在上的投影向量的模为，再利用二次函数求最值即可. 【详解】因为，，，是空间不共面的单位向量 ， 设t＝λ，则λ＝t，， ∵求模的最大值，不妨设t＝λ0， 在上的投影向量的模为 设，则， 在上的投影向量的模的最大值为. 【典型例题三 用定义求向量的数量积】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，，是上的两点，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的概念求值. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，若长为的线段以为中点，则与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 【答案】（与方向相同）时，最大，其最大值为0． 【分析】由，，根据向量数量积的线性运算可得即可求解. 【详解】对向量分别插入分点， 则，， 由，得， 又线段以为中点，则， 故 ． 故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0． 1．（25-26高三上·湖北·月考）设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】作直径，过作.垂足为，将问题转化为在上的投影与的乘积，数形结合，找到与重合时即可求解. 【详解】如图，直径，过作.垂足为，易知是等边三角形. 因为， 所以可看作在上的投影与的乘积. 所以由图可知当与重合时，在上的投影最大，所以最大为. 设为的中点，则，所以， 故的最大值为. 故选：C. 2．（25-26高三上·北京·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（   ） A．5 B．10 C．13 D．26 【答案】C 【分析】分别取线段的中点为，则可求得和，再根据即可求出. 【详解】分别取线段的中点为， 因为圆心，则， 则，， 又为边的中点，则， 则. 故选：C 3．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .    【答案】4 【分析】设向量，的夹角为，根据数量积的定义可得，说明能取，由此证明结论. 【详解】因为，， 所以， 因为为等边三角形，，所以， 设向量，的夹角为， 则， 所以， 又当时，因为，故，， 因为，所以， 此时，的夹角为，等号成立， 所以的最大值为， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知等边的边长为2，的半径为1，为任意一条直径． (1)判断是否为定值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)是定值 (2) 【分析】（1）由题知，，再根据向量数量积及线性运算可求； （2）由数量积运算律可得，利用数量积定义即可求解. 【详解】（1）对向量分别插入分点， 则，． ． （2） ，其中为与的夹角． 【典型例题四 数量积的运算律】 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知与的夹角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用向量点积的定义和运算律即可求解． 【详解】， 所以， 即，解得． 故选：B． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形为的中点，，求的取值范围． 【答案】． 【分析】思路1：运用转化法把和进行拆分然后转为为其他数量积问题； 思路2：直接运用极化恒等式求解. 【详解】解法1：如图，设为的中点，插入分点，则有： ， 即的取值范围为．      解法2：运用极化恒等式，易得． 1．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 2．（24-25高一下·上海嘉定·期中）在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，将，用其他已知方向和模长的向量表示，计算数量积，求最小值. 【详解】由题，为等腰直角三角形，，，， 设，， 则，， 所以， 即，因为，所以当时，最小等于. 故选：A. 3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知向量满足，，且，则 ． 【答案】2 【分析】由，平方后结合，可得，解方程即可. 【详解】由，得，即， 整理得，解得，或（舍去）． 故答案为：2. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知正方形内接于为的中点，为上的动点，且正方形可以绕点旋转，求的取值范围（为坐标原点）． 【答案】 【分析】根据向量线性运算可得，求解的最值即可求解. 【详解】． 因为，， 所以当与同向共线时取到最大值8，当与反向共线时取到最小值． 故的取值范围为． 【典型例题五 已知数量积求模】 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 【答案】C 【分析】将两边平方，求得的值，再开方即可求解. 【详解】由题可得：，所以， 故选：C 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，且，求： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）先根据向量模长公式求出，再结合向量运算法求解即可； （2）根据求解的值，再开方即可． 【详解】（1），解得， ． （2），所以． 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知点E，F分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合不等式即可得解. 【详解】∵，，，，∴， ∴，∴，当且仅当时取等号， ∴，即的最大值为. 故选：C. 3．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知向量的夹角为，且，，则 ； 【答案】 【分析】根据题意先求得，对所求式子根据先平方再开方计算求解即可. 【详解】已知向量的夹角为，且，，所以， 则 故答案为：. 4．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，已知分别为上的点，且. (1)求； (2)求证：； (3)若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据数量积运算律及数量积定义，转化法计算得出模长； （2）根据数量积运算律及数量积定义，得出，即可证明； （3）应用平面向量基本定理结合共线得出结合基本不等式计算求出最大值. 【详解】（1），-，， 所以，； （2），所以，所以； （3）因为，由三点共线可得，， 所以，所以，当且仅当时取最大值. 【典型例题六 向量夹角的计算】 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）非零向量，满足，若向量与向量垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由题意，得，则， 则， 又，所以， 则，解得， 所以与的夹角为. 故选：C 2．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积运算法则计算出，从而求出夹角大小； （2）根据，结合向量数量积运算法则计算即可. 【详解】（1）由，得， 即， ， 解得. 又，. （2） . 1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知向量满足则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由平方求得，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】由，两边取平方可得， 因，代入解得， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·湖南·期中）已知向量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律计算. 【详解】， 所以． 故选：C. 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）设，，则与的夹角 ． 【答案】 【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角. 【详解】因为，， 设与的夹角为，， 所以，所以． 故答案为：． 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）根据平面向量的运算律可得，然后结合二次函数求解即可 . 【详解】（1）由，，可得， 又，所以， 又，所以. （2）因为，， 所以， 所以的最小值为，此时． 【典型例题七 垂直关系的向量表示】 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量垂直得到，进而由向量数量积运算法则求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以． 故选：D 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据垂直的向量关系，结合数量积的运算律，即可代入求解. 【详解】（1）由可得， 故， 故 （2）由于，故， 即， 故，解得， 1．（2025·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可. 【详解】，， ， 故选：D 2．（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 【答案】C 【分析】由，得到，通过即可求解. 【详解】因为， 所以， 又，则， 所以， 所以， 所以， 故选：C 3．（25-26高二上·江苏无锡·月考）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为 ． 【答案】6 【分析】根据两垂直向量的数量积为0，求解即可. 【详解】因为，为单位向量，且，所以，，， 因为，所以，即， 化简得，代入数据可得，解得. 故答案为：6 4．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知， (1)求与的夹角； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由且，利用，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由， 因为，可得， 所以，解得， 又由，且，所以， 即向量与的夹角为. （2）解：由且， 可得， 因为，且，可得，解得. 【典型例题八 已知模求数量积】 1．（25-26高三上·安徽·期中）已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题干条件转化为，结合单位向量的模长进行平方运算，计算可得结果. 【详解】由题意可知：，平方得：， 又，，是单位向量，则，故. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （2）设，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于 的方程组，解出 ，再根据“极化恒等式”计算出的值 【详解】（1） （2）设 ，由（1）知 ，即 ① ,同理可得 ，即 ② 由①②解得 1．（2025高三·全国·专题练习）设向量满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由极化恒等式计算即可. 【详解】. 故选：A 2．（24-25高三下·浙江湖州·月考）若单位向量，满足，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的运算，将两边平方，然后运算即可得解 【详解】因为，是单位向量，则，， 又，则， 解得. 故选：B. 3．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知非零向量满足，则与的夹角大小为 . 【答案】 【分析】由可得，利用平面向量数量积求解夹角即可. 【详解】因为，所以， 得，且，所以， 设向量与的夹角为，则， 又，所以． 故答案为：. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，且对任意单位向量恒成立，求的值． 【答案】 【分析】利用向量不等式，求出范围，再平方化简即可. 【详解】由题意知 且 则有 且， 故且 两边平方并化简得 且， 该方程组恒成立，且，故． 【典型例题九 已知模求参数】 1．（2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 2．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据，利用向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，即向量与的夹角为. （2）解：因为，可得， 即，解得或. 1．（24-25高一下·浙江·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（    ） A．若和确定，则唯一确定 B．若和确定，则有最大值 C．若确定，则 D．若不确定，则与的大小关系不确定 【答案】B 【分析】令，其对称轴为，结合题意要使得无最小值，则对称轴不在，从而可得或，进而可选出正确答案. 【详解】由题意知，，令，则函数的图象的对称轴为，因为无最小值，所以或，所以或，所以和确定，则有最大值 故选：B． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用二次函数的性质，分析对称轴的位置，从而得出和确定，则有最大值. 2．（2025·全国·三模）已知平面向量满足，且，若，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量，求得，根据，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量，可得， 又由， 解得，即向量夹角的余弦值为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的坐标表示及运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】直接利用向量的绝对值（三角）不等式，即可得到结果. 【详解】利用向量的绝对值（三角）不等式， 因为平面向量满足，， 所以，， 则． 故答案为:. 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据条件求，再利用求向量的夹角. （2）根据列式求的值. 【详解】（1）因为， 所以. 所以，又， 所以，即向量，的夹角为. （2）因为，所以， 所以， 所以或. 【典型例题十 求投影向量】 1．（2025·云南·模拟预测）若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入投影向量的运算公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中中，向量，，． (1)求点B、C的坐标； (2)求三角形ABC的周长； (3)求向量在向量上的投影的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算求得即可得到B、C的坐标； （2）根据向量的加法得到，利用向量模长的坐标运算即可； （3）由向量在向量上的投影为即可计算. 【详解】（1），，又， 所以，， ， 所以，. （2），， 所以三角形ABC的周长为. （3）向量在向量上的投影为 所以向量在向量上的投影为. 1．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将平方化简求出，再利用公式求解即可. 【详解】因， 则， 则， 在方向上的投影向量为. 故选：B 2．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知向量，，则在上的投影向量为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义解题即可. 【详解】由，可得， ， 所以在上的投影向量为. 故选：C 3．（25-26高三上·天津·月考）已知平面向量，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】利用投影向量的公式求解即可. 【详解】因为,， 则在方向上的投影向量为. 故答案为： 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知向量，满足， (1)若，求的值； (2)若，求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1)8； (2). 【分析】（1）由已知求出，再利用向量模的公式求解； （2）由已知求出，再利用投影向量的公式求解. 【详解】（1）由题得，   ，∴.   ∴ （2）   ∴.   ∴.    ∴投影向量坐标为， ∴投影向量坐标为. 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由正八边形的性质可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，分别为边的中点，与相交于点的垂直平分线与交于点，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的几何意义求解判断即得. 【详解】如图1，，则， 依题意，是的重心，过作于，则，， 且，则， 作（或其延长线）于点，如图2，则， 从而，所以为钝角. 故选：B    3．（25-26高二上·河北·期中）已知，则的最小值与最大值分别为（   ） A．，12 B．2，12 C．2，14 D．10，14 【答案】B 【分析】根据平面向量模长与数量积的关系结合向量夹角余弦值范围即可得的最小值与最大值. 【详解】因为， 所以， 因为，则， 所以， 则的最小值与最大值分别为2，12. 故选：B. 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】，根据垂直计算即可. 【详解】 因为为的高，所以 , 故选：A. 5．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 6．（24-25高一下·海南·期末）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，，都有 B．对任意非零向量，，都有 C．若向量，满足，则 D．若非零向量，满足，则 【答案】AC 【分析】根据数量积定义和三角函数有界性可判断A；由向量三角不等式等号成立条件可判断B；根据向量垂直的充要条件推导可判断C；根据已知比较可判断D. 【详解】设， 因为，所以，A正确； 当向量，同向时，，B错误； 若，则，即，所以，C正确； 若非零向量，满足，则，所以， 又，所以，即，D错误. 故选：AC 7．（24-25高一下·广东梅州·月考）下列命题正确的是（    ） A． B．若，则对任一非零向量都有 C．若向量满足，且与夹角为，与同方向的单位向量为，则在方向上的投影向量为 D．若向量共线，则点必在同一直线上 【答案】AC 【分析】根据平面向量的数量积、向量的投影、共线向量等知识，对选项中的命题进行逐个分析，判断正误即可. 【详解】对于A，由向量数量积和零向量的运算性质得，故A正确， 对于B，当非零向量时，必有，故B错误. 对于C，由向量投影的定义得，投影长度为， 由投影向量公式得投影向量为，故C正确， 对于D，若向量共线，则∥， 显然点不在同一直线上，故D错误， 故选：AC 8．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，，是任意的非零向量，则（    ） A．若且与同向，则 B． C．若，则不与垂直 D． 【答案】BD 【分析】根据向量的概念，可判定A错误；根据向量的数量积的定义，以及，可判定B正确；根据向量的运算律，得到，可判定C错误；根据向量的运算法则，可判定D正确. 【详解】对于A中，根据向量的概念，向量不能比较大小，所以A错误； 对于B中，由向量的数量积的定义，可得， 因为，可得，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以或，所以C错误； 对于D中，由， 又， 因为，所以，所以D正确. 故选：BD. 9．（24-25高一下·山东威海·期末）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A利用向量数量积的运算律即可判断，对于B根据共线向量定理即可判断，对于C当时，即可判断，对于D利用夹角公式即可判断. 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量满足，则（   ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，而，解得，A正确； 对于B，，而，则，B错误； 对于D，，D正确； 对于C，，又都是非零向量，因此，C正确. 故选：ACD 11．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【答案】 【分析】先根据向量数量积的定义求，再结合向量的运算法则求，可得. 【详解】由题意：， 所以， 所以. 故答案为： 12．（25-26高三上·河南周口·月考）若向量均为单位向量，且，则和的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】将平方，利用数量积的运算律和定义即可求出. 【详解】因为，所以，两边平方得：， 因为向量均为单位向量，所以，即， 所以， 因为，所以． 故答案为： 13．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知与垂直，与垂直，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的充要条件建立向量方程组，先推得，再回代入方程，利用向量数量积的定义式即可求得结果. 【详解】由与垂直，可得，①， 又由与垂直，可得，②， 由可得：，即， 将其代入①，可得，解得， 因，故. 故答案为：. 14．（24-25高一下·湖北武汉·期中）一般地，的夹角可记为，已知，，，，，，，则 ． 【答案】/0.25 【分析】将两边，同时乘以，分别计算,再根据数量积的运算可以得到关于的方程组，解出即可． 【详解】因为，所以 ，，即 ，解得，所以． 故答案为：． 15．（24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】连接，过作直线于，交圆于，过作于，利用数量积的几何意义，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于， 因为，所以，且，则在上的投影向量为， 由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧， 且，当且仅当与重合时取等号， 又圆的半径为，则，所以， 故答案为：. 16．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知均为单位向量，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)求向量与方向上的投影数量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件，结合数量积的性质求出，再由求结论； （2）结合向量夹角的计算公式求解； （3）根据投影数量的定义求解. 【详解】（1）由均为单位向量，则， 由，即，得， 故； （2）， 由（1）知，，且， 故与的夹角为； （3）由投影数量的定义可知， 向量与方向上的投影数量为. 17．（24-25高一下·河南·月考）已知平面向量，满足，，． (1)若与的夹角为，求的值； (2)求在方向上的投影向量的模． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两边同时平方化简可得，再根据向量的夹角公式计算即可； （2）先求出，再利用向量数量积的几何意义即可求得结果； 【详解】（1）因为， 所以， 因为，，所以， 所以． （2）因为，所以， 所以向量在方向上的投影向量的模为：． 18．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知平面向量，，且．求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值； (3)向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由已知及数量积的运算律得，再由投影向量的定义求向量在向量上的投影向量； （2）应用向量数量积的运算律求向量的模长； （3）应用向量数量积的运算律及夹角公式求向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）由，得，即， 向量在向量上的投影向量是； （2）由； （3），          所以. 19．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件化简得到，结合先平方再开方计算向量的模； （2）先计算，，最后根据计算即可. 【详解】（1）由整理得，又， 代入得，解得， 则； （2）因为， 又， 所以. 20．（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）如图，等腰梯形中，，，．    (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，根据模长关系结合数量积的运算律可得，结合夹角公式运算律求解； （2）根据（1）中结论结合数量积的运算求解 【详解】（1）由题意可知：，， 则， 可得， 即， 可得，即， 则， 且，所以. （2）由（1）可得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 向量的数量积（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 平面向量数量积的定义及辨析 典型例题二 平面向量数量积的几何意义 典型例题三 用定义求向量的数量积 典型例题四 数量积的运算律 典型例题五 已知数量积求模 典型例题六 向量夹角的计算 典型例题七 垂直关系的向量表示 典型例题八 已知模求数量积 典型例题九 已知模求参数 典型例题十 求投影向量 知识点一：向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·期中）在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 2．（25-26高三上·内蒙古·月考）已知正方形的边长为2，圆是正方形的内切圆，点在圆上，点在正方形的边上，则的最大值为 . 知识点二：平面向量数量积的性质与运算律 1、平面向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，； 特别地，或； （4）cos θ＝； （5） 2、平面向量数量积满足的运算律 （1）； （3）(λ为实数)； （3）； （4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． （5）平面向量数量积运算的常用公式 【即时训练】 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知向量，满足，.若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川自贡·一模）若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【典型例题一 平面向量数量积的定义及辨析】 1．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量，，，的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·全国·课后作业）在中，，，，求，，的值. 1．（24-25高一下·上海·课后作业）若、是两个向量，且，则（    ） A．、都是零向量 B．、中至少有一个是零向量 C．、都不是零向量，且 D．、中至少有一个是零向量，或、都不是零向量，且 2．（24-25高一下·全国·单元测试）下列向量一定与向量垂直的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 4．（2025高一下·上海·专题练习）求函数的最大值. 【典型例题二 平面向量数量积的几何意义】 1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（24-25高一下·全国·课前预习）在等腰三角形中，，，D为BC的中点． (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影． 1．（24-25高一下·山东烟台·期中）在边长为2的正三角形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·陕西西安·月考）窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上､下边与正八边形的上､下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆·月考）在中，，，，且O是的外心，则 . 4．（2025高二·全国·专题练习）已知，，，是空间不共面的单位向量，且满足.若向量，λ∈R，求在上的投影向量的模的最大值. 【典型例题三 用定义求向量的数量积】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，，是上的两点，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，若长为的线段以为中点，则与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 1．（25-26高三上·湖北·月考）设圆的半径为为圆上的动点，且圆心到弦的距离为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 2．（25-26高三上·北京·开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（   ） A．5 B．10 C．13 D．26 3．（25-26高二上·湖北荆州·月考）如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.点与构成等边三角形，且点在右上方. ，. 则的最大值为 .    4．（2025高三·全国·专题练习）如图，已知等边的边长为2，的半径为1，为任意一条直径． (1)判断是否为定值； (2)求的取值范围． 【典型例题四 数量积的运算律】 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知与的夹角为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025高三·全国·专题练习）已知四边形为的中点，，求的取值范围． 1．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海嘉定·期中）在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知向量满足，，且，则 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知正方形内接于为的中点，为上的动点，且正方形可以绕点旋转，求的取值范围（为坐标原点）． 【典型例题五 已知数量积求模】 1．（2025·广东广州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，且，求： (1)； (2)． 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知点E，F分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C． D． 3．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知向量的夹角为，且，，则 ； 4．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，已知分别为上的点，且. (1)求； (2)求证：； (3)若是线段上的动点，满足均为正常数，求的最大值. 【典型例题六 向量夹角的计算】 1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）非零向量，满足，若向量与向量垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·辽宁营口·学业考试）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 1．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知向量满足则（ ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·湖南·期中）已知向量满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东青岛·期中）设，，则与的夹角 ． 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 【典型例题七 垂直关系的向量表示】 1．（25-26高三上·湖北武汉·月考）已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 1．（2025·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ） A． B．3 C． D． 2．（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．24 3．（25-26高二上·江苏无锡·月考）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为 ． 4．（25-26高二上·黑龙江黑河·开学考试）已知， (1)求与的夹角； (2)若，且，求的值． 【典型例题八 已知模求数量积】 1．（25-26高三上·安徽·期中）已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD＝6，BC＝4，求的值； (2)若，，求的值． 1．（2025高三·全国·专题练习）设向量满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三下·浙江湖州·月考）若单位向量，满足，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知非零向量满足，则与的夹角大小为 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，且对任意单位向量恒成立，求的值． 【典型例题九 已知模求参数】 1．（2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 1．（24-25高一下·浙江·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数，无最小值，则以下说法正确的是（    ） A．若和确定，则唯一确定 B．若和确定，则有最大值 C．若确定，则 D．若不确定，则与的大小关系不确定 2．（2025·全国·三模）已知平面向量满足，且，若，则向量夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知平面向量满足，，则的最小值为 ． 4．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【典型例题十 求投影向量】 1．（2025·云南·模拟预测）若向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图，在平面直角坐标系中中，向量，，． (1)求点B、C的坐标； (2)求三角形ABC的周长； (3)求向量在向量上的投影的坐标． 1．（25-26高三上·浙江杭州·期中）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知向量，，则在上的投影向量为 （   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·天津·月考）已知平面向量，则在方向上的投影向量为 ． 4．（24-25高一下·湖北·月考）已知向量，满足， (1)若，求的值； (2)若，求在上的投影向量的坐标. 1．（25-26高三上·福建泉州·期中）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一个动点（含边界），已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）在中，分别为边的中点，与相交于点的垂直平分线与交于点，且，则的形状是（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形 3．（25-26高二上·河北·期中）已知，则的最小值与最大值分别为（   ） A．，12 B．2，12 C．2，14 D．10，14 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知为的高，且，则（    ） A． B．2 C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·海南·期末）下列说法正确的是（    ） A．对任意向量，，都有 B．对任意非零向量，，都有 C．若向量，满足，则 D．若非零向量，满足，则 7．（24-25高一下·广东梅州·月考）下列命题正确的是（    ） A． B．若，则对任一非零向量都有 C．若向量满足，且与夹角为，与同方向的单位向量为，则在方向上的投影向量为 D．若向量共线，则点必在同一直线上 8．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知，，是任意的非零向量，则（    ） A．若且与同向，则 B． C．若，则不与垂直 D． 9．（24-25高一下·山东威海·期末）已知为非零向量，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为锐角 D．若，则 10．（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量满足，则（   ） A． B．与的夹角为 C． D． 11．（25-26高三上·江苏南通·月考）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 12．（25-26高三上·河南周口·月考）若向量均为单位向量，且，则和的夹角为 ． 13．（25-26高二上·浙江金华·月考）已知与垂直，与垂直，则 . 14．（24-25高一下·湖北武汉·期中）一般地，的夹角可记为，已知，，，，，，，则 ． 15．（24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 . 16．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知均为单位向量，且． (1)求； (2)求向量与的夹角； (3)求向量与方向上的投影数量． 17．（24-25高一下·河南·月考）已知平面向量，满足，，． (1)若与的夹角为，求的值； (2)求在方向上的投影向量的模． 18．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）已知平面向量，，且．求： (1)向量在向量上的投影向量； (2)的值； (3)向量与夹角的余弦值． 19．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知平面向量，且. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 20．（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）如图，等腰梯形中，，，．    (1)求； (2)求． 学科网（北京）股份有限公司 $