精品解析：广西北海市2025-2026学年高一期末教学质量检测数学试题

北海市2025年秋季学期期末教学质量检测 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章～第六章、第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 集合的子集的个数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 11 3. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 在连续六次数学考试中，甲､乙两名同学的考试成绩情况如图，则（ ） A. 甲同学最高分与最低分的差距低于30分 B. 乙同学的成绩一直在上升 C. 乙同学六次考试成绩的平均分高于120分 D. 甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学 5. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列抽查，适合抽样调查的是（    ） A. 进行某一项民意测验 B. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 C. 调查黄河的水质情况 D. 调查某药品生产厂家一批药品的质量情况 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数在上是减函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某次期中考试随机抽取了名同学的数学成绩作为样本，分别是、、、、、.则这组数据的第百分位数为________． 13. 若实数，满足，，则的取值范围是________． 14. 已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值集合． 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 17. 已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）当时，解不等式． 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 19. 已知函数是定义在上的偶函数，且. （1）判断在区间上的单调性，并证明； （2）求的值域； （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北海市2025年秋季学期期末教学质量检测 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册第一章～第六章、第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：D 2. 集合的子集的个数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有个元素的集合有个子集计算可得. 【详解】集合含有个元素，则集合的子集有个. 故选：C 3. “”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A 4. 在连续六次数学考试中，甲､乙两名同学的考试成绩情况如图，则（ ） A. 甲同学最高分与最低分的差距低于30分 B. 乙同学的成绩一直在上升 C. 乙同学六次考试成绩的平均分高于120分 D. 甲同学六次考试成绩的方差低于乙同学 【答案】C 【解析】 【分析】利用直接观察图表的方式，结合极差、平均数、方差的定义，可得答案. 【详解】对于A，由图可知，甲同学的最高分大约为，最低分大约为，其差值大约为，则其差值不能确定是否低于，故A错误； 对于B，由图可知，乙同学在第次的考试成绩是一直下降的，故B错误； 对于C，由图可知，乙同学在次考试中有成绩在分以上，且其中有次在130分以上， 另两次成绩，次约为分，次约为110分，所以乙同学的这六次考试成绩的平均分高于120分，故C正确； 对于D，由于甲同学成绩波动较大，则甲同学六次成绩方差大，故D错误. 故选：C. 5. 下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的三要素判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数为增函数，所以， 因为对数函数为增函数，所以， 因为指数函数为减函数，所以，故. 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为或或， 即或. 故选：C 8. 已知均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式进行化简，然后利用基本不等式的1的妙用求最小值. 【详解】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列抽查，适合抽样调查的是（    ） A. 进行某一项民意测验 B. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 C. 调查黄河的水质情况 D. 调查某药品生产厂家一批药品的质量情况 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式，故A正确； 对于B，适合全面调查，故B错误； 对于C，因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式，故C正确； 对于D，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对数运算法则以及换底公式、对数恒等式逐一判断各选项. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，根据换底公式正确，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域是，且，都有，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数在上是减函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】采用赋值法可判断AB的真假；证明函数在上的单调性，判断C的真假，研究的值，判断D的真假. 【详解】对A：令得：.故A正确； 对B：由题意，故B正确； 对C：设，则 ， 因为，所以，即，所以函数在上是减函数，故C正确； 对D：因为，所以，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某次期中考试随机抽取了名同学的数学成绩作为样本，分别是、、、、、.则这组数据的第百分位数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为，故这组数据的第百分位数为. 故答案为：. 13. 若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 14. 已知函数，其中.若存在互不相等的三个实数，使得，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和绝对值函数的性质，结合题意，分析计算，可得m的范围，根据二次函数的性质，可求得答案 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增， 因为，所以图象为“V”形， 因为存在互不相等的三个实数，使得， 所以，即， 解得或（舍）， 因为为开口向上，对称轴为x=2的抛物线， 所以在上单调递增， 所以，即的值域为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）当时，求，； （2）若，求的取值集合． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由表示出集合，然后根据集合的交并补的定义求解； （2）由题可知，然后利用包含关系列不等式组求解. 【小问1详解】 时，， 则； 或， 则. 【小问2详解】 由可得， 则，解得， 所以的取值集合是. 16. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数a，b的值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式与对应方程的关系，结合韦达定理，列式求解； （2）比较对称轴与区间端点，即可列式求解. 【小问1详解】 不等式的解集为，则 对应方程的两个根为和3， 则，得， 所以实数，； 【小问2详解】 函数在区间上单调递增，则 ，得. 所以实数的取值范围. 17. 已知定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）当时，解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得； （2）依题意可得，根据对数函数的性质及指数函数的性质解得即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，当时，； 设，则，所以，则； 又当时，； 综上可得. 【小问2详解】 当时，， 所以当时不等式，即， 即， 即， 即，即， 因为在上单调递增， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 【答案】（1）0.015 （2）76.25，75 （3）17 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图的性质：概率之和为1求解即可，（2）利用频率直方图求解平均数求解即可，（3）利用分组方差的求法求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，有， 解得； 【小问2详解】 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 由， 可得中位数为， 学生成绩的平均数为； 【小问3详解】 这两组数据的平均数为， 这两组数据的总方差为 ． 19. 已知函数是定义在上的偶函数，且. （1）判断在区间上的单调性，并证明； （2）求的值域； （3）若，求的最小值. 【答案】（1）在区间上单调递增；证明如下： 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以，所以， 解得，所以， 又， 解得或（舍），所以， 在区间上单调递增， 设，所以， 又，所以，所以，即， 所以在区间上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由偶函数的定义代入计算可得的值，再由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）由函数的单调性以及奇偶性即可得到，即可得到结果； （3）根据题意，由换元法，结合二次函数的值域分与讨论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知在区间）上单调递增，又是定义在上的偶函数， 所以，所以的值域为； 【小问3详解】 由题意知，令， 所以，所以， 当，即时，在上单调递增， 所以的最小值为； 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以的最小值为， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $