精品解析：山东省济南市历城区济南稼轩学校2025-2026学年上学期九年级期末数学试题

2026.1济南稼轩学校九年级期末数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则锐角α的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 6. 某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把放大后得到，则与的面积比是（ ） A B. C. D. 8. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A 5 B. 10 C. D. 9. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，于点，连接交于点，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 10. 已知关于x的二次函数，若，为二次函数图象上的两点，其中，当时，总有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题） 11. 已知，那么的值是______． 12. 在一个不透明的盒子里，装有红球、黑球和白球共20个，它们除颜色外都相同．通过多次摸球试验后，发现摸到红球和黑球的频率稳定在和，则据此估计盒子中大约有白球______个． 13. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为__________．     14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 15. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 三、解答题（共10小题） 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，在菱形中，为边上的一点，． （1）求证， （2）若，，则______． 19. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．为了解本计划实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 25.6 27 b 6月 27.7 29 c 请根据以上信息，完成下面问题： （1）补全条形图；扇形统计图中优秀所对应扇形圆心角为________度； （2）测试成绩对比表中的________，________； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 20. 为激发学生对科技探索的热情，郑州七初在首届科技节期间，九年级数学组老师根据2025年春晚人形机器人扭秧歌节目制作了人形机器人跳舞时的侧面示意图．如图②所示，已知其上半身，大、小腿的长，胳膊，，当，，且、、共线时，点到水平地面的距离是多少．（参考数据：，，） 21. 如图，在中，，O为上一点，与相切于点E，连接，经过点A、E的分别交、于点D、F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22. 为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； （2）设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 24. 如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中，． （1）求的值； （2）点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点的坐标； （3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接，，求m的值． 25. 问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． （1）填空：①________；②度数为________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.1济南稼轩学校九年级期末数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据三视图还原几何体，根据给出的三视图可知，该物体为长方体和圆柱体的组合体，长方体在上，圆柱体在下，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，该物体可能是 故选B． 2. 若，则锐角α的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：，， ， 故选：D． 3. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 已知抛物线经过和两点，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】由于两点纵坐标相同，它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为 ，解答即可． 本题考查了抛物线对称轴的计算，熟练掌握对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等， ∴点 和 关于对称轴 对称， ∴ ， 故选：A． 6. 某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率．用、、、分别表示祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得4位著名数学家，先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选取的2位都是中国数学家的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：用、、、分别表示祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得4位著名数学家， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选取的2位都是中国数学家的结果数为6， 所以选取的2位都是中国数学家的概率． 故选：C． 7. 如图，把放大后得到，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由位似图形的性质得，由相似三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：放大后得到， ， ， ， 与的面积比是， 故选：D． 8. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 9. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，于点，连接交于点，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，延长交于点G，勾股定理求出，得到，求出，，然后证明出，得到，代数求出，，然后证明出，得出即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 10. 已知关于x的二次函数，若，为二次函数图象上的两点，其中，当时，总有，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由条件“当时，总有”可知，对于任意且，有，通过计算函数值差，得到其大于零的条件为，因此，当时，需满足，从而解得． 【详解】解：∵，开口向上，对称轴为， ∴对于函数图象上的两点，，其中，当时，总有，即， ∴， ∵，即， ∴ 当且仅当. 由题设，当时，总有， ∴，即 ， 解得， 故实数的取值范围为． 二．填空题（共5小题） 11. 已知，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据得出，故，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 整理得， 因此， 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子里，装有红球、黑球和白球共20个，它们除颜色外都相同．通过多次摸球试验后，发现摸到红球和黑球的频率稳定在和，则据此估计盒子中大约有白球______个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率公式等知识，属于基础题．关键掌握用频率估计概率． 【详解】解：由题意得，白球的频率稳定在， ∴摸出白球的概率为， 由概率公式得白球个数为， 故答案为：15． 13. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则的值为__________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出． 由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值， 【详解】 解：如图，作于， ∵，， ∴， ∴， 令，， ∴， ∴=， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 15. 如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共10小题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先化为一般形式，由公式法得，，即可求解． 【详解】解： ，，， ， ， ，． 18. 如图，在菱形中，为边上的一点，． （1）求证， （2）若，，则______． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质． （1）由菱形的性质，结合平行线的性质，可得，结合已知，即可证得结论； （2）由菱形的性质，可得，由三角形相似的性质，可得，即可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵ ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 19. 本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17 33 28 27 35 19 21 22 25 22 25 27 19 27 18 27 28 29 31 32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 25.6 27 b 6月 27.7 29 c 请根据以上信息，完成下面问题： （1）补全条形图；扇形统计图中优秀所对应扇形的圆心角为________度； （2）测试成绩对比表中的________，________； （3）已知该校七年级共400人，请估算七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】（1）补全图见详解， （2）， （3）增加了约人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体等；正确获取信息是解题的关键． （1）求出合格人数为人，优秀人数为，补全图，圆心角为，即可求解； （2）月的优秀人数为人，月份的优秀人数为人，即可求解； （3）根据，即可求解． 【小问1详解】 解：合格人数为（人）， 优秀人数为（人）， 补全图，如下 扇形统计图中优秀所对应扇形的圆心角为， 故答案为； 【小问2详解】 解：月优秀人数为人，月份的优秀人数为人， ， ， 故答案为，； 【小问3详解】 解：由题意得 （人）， 故七年级6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了约人． 20. 为激发学生对科技探索的热情，郑州七初在首届科技节期间，九年级数学组老师根据2025年春晚人形机器人扭秧歌节目制作了人形机器人跳舞时的侧面示意图．如图②所示，已知其上半身，大、小腿的长，胳膊，，当，，且、、共线时，点到水平地面的距离是多少．（参考数据：，，） 【答案】点到水平地面的距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用；连接，过点分别作，，垂足分别为点、，过点作于点．根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而得出，由，求得，根据矩形的性质可得的长，即可求解． 【详解】解：连接，过点分别作，，垂足分别为点、，过点作于点． 则四边形为矩形， ， ，， 在中，， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ， 答：点到水平地面的距离为． 21. 如图，在中，，O为上一点，与相切于点E，连接，经过点A、E的分别交、于点D、F． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定及性质，正弦函数等；能熟练利用正弦函数进行求解是解题关键． （1）连接，由直径所对的圆周角是直角得，结合平行线的判定及性质、等腰三角形的性质得，即可得证； （2）连接，由正弦函数得，，，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， 设，则， ， 解得， ， ， 解得． 22. 为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； （2）设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）元 （2）售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出方程，解方程即可得解； （2）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款文创产品降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要让利于游客，在保证利润目标实现的情况下，降价幅度越大，对游客越有利，所以取，舍去， 故保证每天利润为元的前提下，为最大程度让利于游客，该款文创产品应该降价元． 【小问2详解】 解：设该款文创产品降价元， 则， ． ∵， ∴当时，取最大值为元，此时销售价为元， 故售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 23. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点． （1）求A，B两点的坐标； （2）将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值； （3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在反比例函数图象上是否存在一点M，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义等；能利用全等三角形的判定及性质，一次函数图象的平移，反比例函数比例系数的几何意义进行求解是解题的关键． （1）联立两个函数的解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点，由反比例函数比例系数的几何意义得，由平移得，由即可求解； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，由判定，由全等三角形的性质得，，即可求解． 【小问1详解】 解：联立得，， 解得，； ，． 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，作轴交于点，作轴交于点， ，四边形是矩形， 将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 故的值为； 【小问3详解】 解：存在； 如图，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， （）， ，， ， ， ， 即， 在反比例函数的图象上， ， 解得，（舍去）， ， ． 24. 如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中，． （1）求的值； （2）点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点的坐标； （3）若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接，，求m的值． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）理解题意，利用待定系数法，即可作答． （2）先得，，再证明，运用，得，设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，再分别求出的解析式为，的解析式为，整理得点，因为点为抛物线上第一象限内一点，得，解得，；，即可作答． （3）先求出，再整理得平移后的抛物线的解析式为，因为点在，则，即，故，所以是等腰三角形，再结合解直角三角函数得，代入数值计算得，再运用换元法进行整理得，解得，，求解可得． 小问1详解】 解：依题意，分别把，代入， 得， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， 令，则， ∴，， 故，， 分别过点作，，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为， 设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， ∵点为抛物线上第一象限内一点，且， ∴， 整理得， ∴，； 此时的， 故，是符合题意的； 当时，则，，此时， 当时，则，，此时， 综上：或． 【小问3详解】 解：由（2）得，整理， ∵为抛物线的顶点， ∴， ∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连接、，．如图所示： ∴平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， ∵点在， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 则，即， ∴是等腰三角形， 过点作， ∵， ∴， 则， ∴，令， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴或， ∴（舍去）或， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 问题发现：如图1，已知正方形，点E为对角线上一动点，将绕点B顺时针旋转到处，得到，连接． （1）填空：①________；②的度数为________； （2）类比探究：如图2，在矩形和中，，，连接，请分别求出的值及的度数； （3）拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）1， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①先根据旋转性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得，于是有； ②先根据正方形的性质得出，再根据，得出，从而可利用求得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，同时得出，再根据，得出，从而可求得； （3）先求出，再设，从而可得，然后分两种情况解答，由勾股定理可求出答案． 【小问1详解】 解：①∵将绕点B顺时针旋转到处， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； ②∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，． 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴ ∴， ∵，M为的中点， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或(不合题意，舍去)， 当或时，点M不存在； 当E在延长线上时，如图，设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），勾股定理，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质综合，已知正切值求边长等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $