精品解析：新疆克孜勒苏2025-2026学年度第一学期期末质量监测试卷 九年级 数学

克州2025-2026学年度第一学期期末质量监测试卷 九年级・数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：该立体图形的主视图为： 故选：D． 2. 若点关于坐标原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标关于原点对称，根据点关于坐标原点对称时，横坐标和纵坐标均取相反数，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于坐标原点对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点的坐标为， 故选：． 3. 如果关于的方程有实数解，则实数的范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．需分情况讨论：当时，方程化为一次方程，有实数解；当时，方程为一元二次方程，利用判别式求解即可． 【详解】解：∵方程有实数解， 当时，方程为， 解得，有实数解； 当时，方程为一元二次方程，则： ， ∴， 解得：； 综上，实数的范围是． 故选：B． 4. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：A．∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，故选项A正确； B．函数的最小值为1，故选项B错误； C．函数图象的对称轴为直线，故选项C错误； D．当时y随x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 5. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 6. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，即可得出关于x的一元二次方程； 【详解】设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x， 依题意，得， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理． 先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接． ∵是的直径，是弦，， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根 是，；④方程有一个实根大于；⑤当时随增大而增大． 其中结论正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、坐标轴的交点等对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0， ∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴，c=3， ∴b=﹣2a＞0，c＞0， ∴abc＜0， 故①正确； ∵当x=﹣1时，函数值y=a﹣b+c＜0，即a+2a+c=3a+c＜0， 故②错误； 根据抛物线的对称性，由x=0时，y=3可知，当x=2时，函数值y=3， ∴方程的两个根 是，， 故③正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点小于0， 则根据抛物线的对称性，与x轴的另一个交点大于2， ∴方程有一个实根大于， 故④正确； ∵当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴当x＜0时，y随x的增大而增大， 故⑤正确， 综上，正确的有4个， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的基本知识，正确运用数形结合思想是解答的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若 有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件． 根据算术平方根有意义的条件，被开方数必须大于或等于零作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴被开方数， 解得． 故答案为：． 11. 因式分解___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，概率的计算公式是，其中表示事件A发生的概率，m表示事件A发生的结果数，n表示所有可能的结果数．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：袋子里一共有个球，红球有1个． ∴摸出红球的概率． 故答案为：． 13. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 _____． 【答案】外 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴点P在外， 故答案为：外． 14. 如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等边三角形的性质和30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质和平行四边形的性质可得，结合三角形的外角性质可得，进而得到，再利用30度角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：12． 15. 如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______． 【答案】（2，2）或（，-2） 【解析】 【分析】设P点的坐标为（x，y），由“和谐点”P到x轴的距离为2得出|y|=2，将y=2或-2分别代入x+y=xy，求出x的值即可． 【详解】解：设P点的坐标为（x，y）， ∵“和谐点”P到x轴的距离为2， ∴|y|=2， ∴y=±2． 将y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2， ∴P点的坐标为（2，2）； 将y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x=， ∴P点的坐标为（，-2）． 综上所述，所求P点的坐标为（2，2）或（，-2）． 故答案为：（2，2）或（，-2）． 【点睛】本题考查了点的坐标—新定义，得出P点的纵坐标为2或-2是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算：（1）； 解方程：（2）． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和公式法是解题的关键． （）利用二次根式的性质化简，零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值计算即可； （）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（） ； （） ， ∴，． 17. 如图，矩形中，M为上一点，F是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质，勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由勾股定理可得，则有，根据可得，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 新课标（年版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”，某市教育局对九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了名学生的测试成绩，按照“优”“良”“中”“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题． （1）的值是___________；并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“中”等级对应的圆心角是___________度； （3）若该市有名九年级学生，请估计约有___________名学生成绩在“优”等级； （4）现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习项目式学习”汇报，请用列表或树状图求甲同学被抽到的概率； 【答案】（1） ，补全条形统计图如下： （2）； （3）； （4）甲同学被抽到的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了条形图和扇形图的综合应用，树状图求概率，样本估计总体，解题的关键是正确求出总人数和画出树状图． （）用“优”的人数除以“优”所占的百分比即可求解； （）依据总人数求出“中”的人数，再利用所占总体百分比求对应角度即可； （）利用样本估计总体计算即可； （）画出树状图，列出所有可能的情况及符合条件的情况数，运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由图表信息可得，（人）， ∴“中”等级的人数为：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得“中”等级的人数有人， ∴“中”等级对应的圆心角是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：成绩在“优”等级的人数：（人）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：根据题意，画树状图如下， ， 一共有种等可能情况，其中甲同学被抽到的有种， ∴甲同学被抽到的概率为：． 19. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元 （2）当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设每顶头盔的售价为x元，根据利润公式列出一元二次方程求解即可； （2）设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元，然后根据题意建立起二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， 解得，（舍）， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价15元时，每月的利润为5250元； 【小问2详解】 解：设每月的销售利润为w，每顶头盔的售价为x元， 根据题意得， ∵，且不能亏本且降价不低于5元，即, ∴当时，w取得最大值6250， ∴降价为（元） 答：当每顶头盔降价5元时，每月的销售利润最大，最大利润是6250元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法，根据图形直观得出不等式的解集是数形结合数学的实际应用． （1）把代入，可求出反比例函数的关系式，求出点B坐标，进而确定一次函数关系式； （2）先求得点C的坐标，利用即可求解； （3）根据两个函数的交点坐标，结合图象直观得出答案． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入， 得：， ∴． 把，代入，可得， ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图： 令，则， ∴， ∵ ； 【小问3详解】 当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方， ∴当时，或． 21. 综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用与仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 由题意可得，，，易得四边形为矩形，则、，设，则，在中解直角三角形可得，在中，，解得：，进而求得即可解答． 【详解】解：依题意，，，， 四边形为矩形， ，， 设，则， ∵在中，， ， 在中，，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ． 22. 如图，在中，，．O是边上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆，经过点C． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ，， ∴． ， ， ． 是的半径， 直线是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了证明直线是圆的切线，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接．由等边对等角结合三角形内角和定理可得，从而得出，求出，即可得证； （2）求出，，再由弧长公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． ， ． ， ． 23. 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【观察猜想】 （1）当时，请在图2中补全图形（无需尺规作图）；并直接判断四边形的准确形状为______； 【类比探究】 （2）当点在矩形内部时，连接，求证：； （3）如图3，当时，连接，求此时的面积． 【拓展应用】 （4）当点，，三点共线时，直接写出此时的长度． 【答案】 （1）如图，四边形是正方形， （2）证明：连接， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， （3）；（4）或8 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，从而可得四边形是正方形； （2）先根据旋转的性质得出，再根据垂直的意义，矩形的性质得出，结合，用证明； （3）先根据旋转的性质和矩形的性质得出，再证明，从而可得，列出比例式，再证明，然后利用勾股定理求得，从而可得，结合，求出的面积； （4）分的延长线过点D，过点D两种情形讨论，分别求出的长度． 【详解】（1）解：理由：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）略 （3）如图，连接，延长交于点H，过点E分别作、的垂线，垂足分别为J，I，则， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴的面积为； （4）当的延长线过点D时，连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 与（2）同理可证：， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 此时旋转角为，且满足，符合题意； 当过点D时，交的延长线于F， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 此时旋转角为，满足，符合题意， 综上，的长度为2或8． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），全等的性质和综合（），用勾股定理解三角形，根据矩形的性质求线段长，根据旋转的性质求解，利用平行判定相似，正方形的判断，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 克州2025-2026学年度第一学期期末质量监测试卷 九年级・数学 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若点关于坐标原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于的方程有实数解，则实数的范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 对于二次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 函数的最大值为1 C. 图象的对称轴为直线 D. 当时y随x的增大而增大 5. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础．某农业基地现有杂交水稻种植面积公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，是弦，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根 是，；④方程有一个实根大于；⑤当时随增大而增大． 其中结论正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若 有意义，则x的取值范围是___________． 11. 因式分解___________ 12. 不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是__________． 13. 已知的半径为，，则点P与的位置关系是：点P在 _____． 14. 如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形，若，则______cm． 15. 如果点P（x，y）的坐标满足x+y=xy，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离为2，则P点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算：（1）； 解方程：（2）． 17. 如图，矩形中，M为上一点，F是的中点，交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 新课标（年版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”，某市教育局对九年级学生进行了一次数学素养监测，并随机抽取了名学生的测试成绩，按照“优”“良”“中”“差”四个等级进行统计，并根据统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题． （1）的值是___________；并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“中”等级对应的圆心角是___________度； （3）若该市有名九年级学生，请估计约有___________名学生成绩在“优”等级； （4）现从成绩为“优”的甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽取两位同学参与“跨学科学习项目式学习”汇报，请用列表或树状图求甲同学被抽到的概率； 19. 一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，但不能亏本且降价不低于5元．经调查发现：每顶降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的成本为每顶50元． （1）当每顶头盔降价多少元时，每月的利润为5250元？ （2）当每顶头盔降价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象直接写出当时，x的取值范围． 21. 综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 22. 如图，在中，，．O是边上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆，经过点C． （1）求证：直线是的切线． （2）若，求的长． 23. 活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题进行探究．如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线于点． 【观察猜想】 （1）当时，请在图2中补全图形（无需尺规作图）；并直接判断四边形的准确形状为______； 【类比探究】 （2）当点在矩形内部时，连接，求证：； （3）如图3，当时，连接，求此时的面积． 【拓展应用】 （4）当点，，三点共线时，直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $