精品解析：陕西宝鸡市2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题（卷） 试题总分：120分 考试时间：120分 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：B． 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段． 根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，能成比例； B．，不能成比例； C．能成比例； D．，能成比例． 故选B 3. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中正弦函数的运用，正确的运算是解题的关键． 根据高度可解 ． 【详解】解：根据题意，高度，   故选： A． 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到且，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（ ） A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，推导出，进而求得是解题的关键． 由菱形的性质得，，，因为于点，所以，则，所以，，由，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形菱形，对角线与交于点， ，，， 于点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 菱形的边长为13， 故选：A． 7. 若抛物线与 x 轴的一个交点是，则该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，根据已知交点求另一个交点横坐标． 【详解】解：∵ 抛物线与 x 轴的一个交点是， ∴ 方程的一个根为， 设另一个根为， 由根与系数的关系，， ∴ ， ∴ 另一个交点为． 故选：C． 8. 如图，是正方形的对角线，在上取一点，使得，连接，过点作，交于点，延长交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．过点作于，的延长线交于，设，证四边形为平行四边形得，再证得，则，进而得，，再求出，根据得，然后证得，即，由此解出，进而可得的长． 【详解】解：过点作于，的延长线交于，如图所示： 设， 四边形正方形，， ，， ，， ∴， 即， 又∵， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∵，即， ∴， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ∵， ， ， 即， ， 解得：， ． 故选：A． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知：，（不等于0），则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质设，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， 则， 故答案为：． 10. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则口袋中白球可能有___________个． 【答案】16 【解析】 【分析】由摸到红球的频率稳定在附近，估计摸到红球的概率为，设袋中白球的个数为x，通过列方程进而求出白球个数即可． 【详解】解：设袋中白球的个数为x，根据题意，得： ， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中白球可能有16个， 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键． 11. “绿色电力·与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2024年新能源汽车年销售量为690万辆，预计2026年新能源汽车年销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，则所列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据2024年和2026年这两年的销售量列出方程即可． 【详解】解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为， 由题意得，． 故答案为： 12. 已知、是方程两个根，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式求解． 【详解】解：对于方程， 根据根与系数的关系，有，。 ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，设B点坐标为，则C点坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：设B点坐标为，则C点坐标为，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴解得， 故答案为：6． 14. 如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接，点分别为上的动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，勾股定理，轴对称的性质，线段和最小问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和勾股定理． 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接，此时，，值最小，即的值最小，利用勾股定理和等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示， 点与点关于对称，过点作于点，交于点，连接， 此时，，值最小，即的值最小， ∵点为的中点， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积法得，， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先将所给方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得，． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值、负指数幂与零指数幂的运算，掌握“、，以及、”是解题的关键． 【详解】原式． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，作的角平分线交于点D，则点D即为所求；由三角形内角和定理和角平分线的定义可证明，再由，即可证明． 【详解】解：如图所示，点D即为所求． 18. 如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）画出关于轴成轴对称的，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在原点的另一侧画出的位似三角形，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，位似图形； （1）根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，得出，即为所求，根据坐标系写出点的坐标；； （2）根据位似图形的性质，在原点的另一侧画出的位似三角形，且位似比为，根据坐标系写出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，． 20. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”概率为． 21. 如图，在和中，，．若，，的周长为9，求的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵的周长为9， ∴的周长为：． 22. 飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 【答案】飞虹塔的高度为47米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由得，即得米，进而得米，由得，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ， ∴， ∴， ∴， 米， 答：飞虹塔的高度为47米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的纵坐标为，轴于点，连接． 求反比例函数的解析式； 求的面积； 若点是反比例函数图象上的一点，且满足的面积是的面积的倍，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；(2)8;(3)点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）把A点纵坐标代入正比例函数可求得A点坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式可求得k，从而得反比例函数解析式；（2）根据、关于原点对称，可求得点坐标为，再由即可求得的面积；（3）已知△PAC的面积是△ABC的面积的2倍，即可求得，根据三角形的面积公式求得到的距离为，即可得的横坐标为或，由此即可求得P点坐标. ∴S_(△PAC)=16， ∵AC=4， 【详解】把代入中，得=2， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵， ∴， ∵、关于原点对称， ∴点坐标为， ∴到的距离为， ∴． ∵的面积是的面积的倍， ∴， ∵， ∴到的距离为， ∴的横坐标为或， ∴点坐标为或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得B点到OC的距离、在（3）中求得到的距离是解题的关键． 24. 某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双250元，如果一次购买超过8双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低10元，但单价不能低于160元． （1）当小明买这种运动鞋10双时，运动鞋的单价为　 　元： （2）如果一位顾客购买这种运动鞋支付了2700元，这名顾客买了多少双鞋？ 【答案】（1）230；（2）这名顾客买了15双鞋． 【解析】 【分析】（1）根据每多买一双，所购运动鞋的单价降低10元求解即可； （2）首先求出x超过了8双，进而表示出鞋的单价，即可得出关于x的方程求解即可． 【详解】解：（1）小明买这种运动鞋10双时，运动鞋的单价为：250-（10-8）×10=250-20=230（元）， 故答案为：230； （2）∵（元）， ∴这名顾客买的鞋数超过8双， 设这名顾客买了x双鞋，根据题意得， 整理，得， 解得，， 当x=18时，，故不符合题意，舍去， ∴ 答：这名顾客买了15双鞋． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题关键． 25. 如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 【答案】（1） （2）这一列最多能叠放5个套盒 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．正确进行计算是解题关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为：，经过原点，即可求出，得到抛物线的解析式； （2）由题意得熏炉套盒最左侧在轴的横坐标为，将代入，可解得厘米，即可求出答案． 【小问1详解】 解：熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米， 可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 根据图象可知抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：熏炉套盒最左侧在轴的横坐标为，将代入， 可解得：厘米， 这一列最多能叠放5个套盒． 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，．求的值： （3）【拓展延伸】如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，，求的长； 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，得到，即可得到； （2）设与交于点，根据矩形的性质得到，进而得到，然后证明出，即可得到； （3）过点作交的延长线于点，证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 ∵在正方形中， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图2，设与交于点， 图2 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，过点作交的延长线于点， 图3 ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质等知识．采用类比的数学思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题（卷） 试题总分：120分 考试时间：120分 一、选择题（共8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A B. C. D. 2. 下面四组线段中不能成比例线段的是（ ） A. 3、6、2、4 B. 4、6、8、10 C. 1、、、 D. 、、2、 3. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. B. C. D. 4. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ） A B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点，于点，连接，若， ，则菱形的边长为（ ） A. 13 B. 11 C. 12 D. 10 7. 若抛物线与 x 轴一个交点是，则该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正方形的对角线，在上取一点，使得，连接，过点作，交于点，延长交于点．若，则的长为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知：，（不等于0），则的值为________． 10. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，则口袋中白球可能有___________个． 11. “绿色电力·与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，2024年新能源汽车年销售量为690万辆，预计2026年新能源汽车年销售量将达到1166万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，则所列方程为____________． 12. 已知、是方程两个根，则___________ 13. 如图，在平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象上一点，轴于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、，若的面积为9，则的值为_____________． 14. 如图，正方形的边长为10，点为的中点，连接，点分别为上的动点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解方程： 16. 计算：． 17. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，点、分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）画出关于轴成轴对称的，并直接写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在原点的另一侧画出的位似三角形，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 20. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 （1）取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． （2）若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 21. 如图，在和中，，．若，，的周长为9，求的周长． 22. 飞虹塔是山西省非常有名一座塔楼，某实践小组欲测量飞虹塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E，树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；在点E处放置一平面镜（平面镜的大小忽略不计），沿所在直线后退，退到点G处恰好在平面镜中看到树顶C的，米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米．已知，，，且点B，D，E，G在同一水平线上．求飞虹塔的高度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的纵坐标为，轴于点，连接． 求反比例函数的解析式； 求的面积； 若点是反比例函数图象上的一点，且满足的面积是的面积的倍，请直接写出点的坐标． 24. 某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双250元，如果一次购买超过8双，那么每多买一双，所购运动鞋的单价降低10元，但单价不能低于160元． （1）当小明买这种运动鞋10双时，运动鞋的单价为　 　元： （2）如果一位顾客购买这种运动鞋支付了2700元，这名顾客买了多少双鞋？ 25. 如图，熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图2．测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）现有一批长8厘米，高6厘米的熏炉套盒要放进熏笼内一起运输，当把熏炉套盒完全放在正中间进行叠放时，这一列最多能叠放几个套盒？ 26. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为________； （2）【类比探究】如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，．求的值： （3）【拓展延伸】如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，且，，，求的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $