精品解析：福建省厦门市2025-2026学年上学期初中毕业班期末考试数学试题

2025—2026学年第一学期初中毕业班期末考试 数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2. 如图，内接于圆，是上一点，连接．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵与都是所对的圆周角， ∴， 故选：A 3. 若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点在反比例函数的图象上，则其坐标满足，计算各选项横纵坐标之积，等于者即为正确答案． 【详解】解：A、，符合条件； B、，不符合条件； C、，不符合条件； D、，不符合条件； 故点的坐标可能是， 故选：A． 4. 如图，是正六边形的中心．点关于点的对称点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．根据中心对称图形定义及正六边形的性质判断即可． 【详解】解：∵是正六边形的中心，且正六边形是中心对称图形， ∴点关于点的对称点是． 故选：D． 5. 抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（ ） A. 轴 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质．利用抛物线经过原点和点(2,0)的条件，求出，，再代入对称轴公式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵抛物线经过点和原点． ∴把和代入， 得 解得，， 则该抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 6. 不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ） A. 袋中红球有90个 B. 第101次摸到红球的可能性较大 C. 第101次会摸到红球 D. 红球的数量占袋中总球数的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据频率估计概率，摸到红球的频率为，故概率约为；每次摸球独立且概率不变，因此第101次摸到红球的可能性较大，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 摸球100次，摸到红球90次，且每次摸球后放回搅匀，每次摸球独立， ∴ 摸到红球的频率为，估计概率为， ∴ 第101次摸到红球的概率约为，故摸到红球的可能性较大， 选项A错误，因为总球数未知； 选项B正确； 选项C错误，因为概率不为1； 选项D错误，因为频率不一定精确等于比例， 故选B． 7. 某地拟从三个超大型居民区中选择一个普通家庭日常消费能力较强的居民区，在其附近建设一个能为居民提供一站式便捷服务的综合商场．项目组分别在三个居民区随机抽取相同数量的家庭，调查各家庭日常消费支出．对所收集的三组样本数据，项目组要作出合理决策宜重点关注的统计量是（ ） A. 中位数和众数 B. 平均数和方差 C. 中位数和平均数 D. 众数和方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握定义是解题的关键． 选择消费能力较强的居民区需关注典型消费水平，中位数代表普通家庭消费，平均数反映整体平均，两者结合可合理决策；方差衡量离散程度而非消费水平，众数可能不准确，故不宜重点关注． 【详解】解：∵项目组需比较三个居民区的普通家庭日常消费能力，中位数不受极端值影响，能代表典型水平；平均数反映整体平均消费水平； ∴宜重点关注中位数和平均数， 故选：C． 8. 某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样的工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为，下列推断正确的是（ ） A. B. 是乙车床一天总工时的反比例函数 C. 是甲车床一天总工时的正比例函数 D. 是甲车床每小时制作的工件数的反比例函数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，设甲车床每小时制作工件数为a，乙车床每小时制作工件数为b，一天总工时为t小时，则，由甲、乙一天制作工件数，可得 ， 代入得 ，即p与t成反比， p与a成正比，即可解答． 【详解】解：设甲车床每小时制作工件数为a，乙车床每小时制作工件数为b，一天总工时为t小时，则， ∵ 甲车床一天制作480个工件，乙车床一天制作560个工件， ∴ 甲每小时制作个，乙每小时制作个， ∴， ∴ p与t成反比例关系，其中t为乙车床一天总工时， 故p是乙车床一天总工时的反比例函数， 选项A：由于一天总工时t的值不确定， 所以的值不恒为80，不符合题意； 选项B：p是乙车床一天总工时的反比例函数，符合题意； 选项C：p与t成反比，非正比，不符合题意； 选项D：，与a成正比，非反比，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃，2张红桃，从中随机抽取1张，抽到黑桃的概率是_______； 【答案】##0.6 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：∵从这5张牌中任意抽取1张共有5种等可能结果，其中抽到“黑桃”的有3种结果， ∴从中任意抽取1张，是“黑桃”的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 10. 如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则菱形的边长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知菱形的对角线垂直． 根据菱形的对角线互相垂直及勾股定理即可求解． 【详解】解：依题意可知，，， ， 故答案为：． 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，利用根的定义求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， 故答案为：． 12. 如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 13. 某新能源车企随机抽取80台某型号的车载液晶屏进行测试．在特定条件下，这批液晶屏持续亮屏时长（单位：千小时）如表所示． 分组 频数 2 3 3 50 22 在该型号液晶屏中随机抽取一台，估计在该特定条件下这台液晶屏的值不低于1.1千小时的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据频数分布表求概率，计算t值不低于1.1千小时的频数之和，再除以总频数，得到概率估计值即可． 【详解】解：由题意得总频数为80，t值不低于1.1千小时的组为和，频数分别为50和22，故满足条件的频数之和为， 因此概率为． 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于圆，为直径，延长到，连接．设，，则与的数量关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是关键．根据直径所对的圆周角是直角和圆内接四边形对角互补分别得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为： 15. 将全等的正五边形按图所示的方式排列组成一个圆圈，组成一个完整的圆圈需要的正五边形的个数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形内角和外角，是解题关键． 先求出正五边形每个内角的度数，再求出未知正多边形外角度数，最后用外角和除以一个外角的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角为：， ∴， ∴正五边形的个数是． 故答案为：10． 16. 已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则的取值范围是______． 【答案】或且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，即可得当时，，即得到或，求出的取值范围，再根据和即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，都不存在的情形， ∴或， 解得或， ∵， ∴， 又∵， ∴的取值范围是或且， 故答案为：或且． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半平方进行配方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，、交于点，，点与点，点与点是对应顶点．请在图中连接、，并证明． 【答案】图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．连接、，根据全等三角形的性质，易证四边形为平行四边形，即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接、， ， ，， 四边形为平行四边形， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： 把代入，得． 20. 如图，是正方形的边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在边上． （1）在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点恰好落在线段上，证明平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的作图和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定是关键． （1）分两种情况作图即可； （2）依次证明和即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作图形． 【小问2详解】 证明：四边形为正方形， ，． 将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在线段上， ，． ，． 在与中，，， ． ． 即平分． 21. 小桐和叔叔参加社区举办的“义卖募捐”活动，叔叔发现一个摊点正出售他工作中需要的易耗小物件，标价为20元/件．摊主给出两种销售方式： A方式：按标价打八折． B方式：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：在装有红、白、黄3个仅颜色不同的小球的不透明袋子里随机摸出一个球，将球放回袋子搅匀后再随机摸出一个，若两次摸出的球同色就算中奖，则按标价打五折，否则按标价出售． 叔叔看到中奖后打折的力度会较大，选择了B方式． （1）求叔叔以五折的价格买到该物件的概率； （2）小桐说：“如果要买很多很多该物件，我估计选择B方式不如A方式划算．”你同意小桐的说法吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）同意小桐的说法，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，概率的实际应用，正确画出树状图是关键． （1）画出树状图，利用概率公式即可求出答案； （2）设买件该物件，分别求出选择B方式和选择A方式的总花费，比较后即可得到结论． 【小问1详解】 解：依题意可列树状图如下： 因为有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， 所以． 即叔叔以五折的价格买到该物件的概率为； 【小问2详解】 同意小桐的说法．理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为． 对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，可以估计：若买很多很多该物件，叔叔以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为． 在此情形下，设买件该物件，若选择B方式，可估计总花费为：（元）． 而若选择A方式，总花费为（元）． 因为，即选择B方式不如A方式划算，所以同意小桐的说法． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，（在左侧），如图所示，若四边形是矩形． （1）直接写出点的坐标； （2）平移抛物线得到抛物线，使抛物线经过点与点． ①写出平移的方向和距离，并说明理由； ②证明：矩形在抛物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 【答案】（1）点的坐标为 （2）①平移的方向为向左，平移的距离为1个单位长度，理由见解析②见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和特殊四边形综合题，数形结合是解题的关键． （1）求出，，，根据四边形是矩形即可得到答案； （2）①根据二次函数的平移规律进行解答即可；②证明“曲边四边形”和“曲边四边形”关于对称，即可得到结论． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得，， ∵在的左侧， ∴，， 把代入，得， ∴； ∵四边形是矩形， ∴ ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ①平移的方向为向左，平移的距离为1个单位长度． 理由如下： 由可得． 所以将拋物线向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为，即． 对于，当时，；当时，． 所以抛物线经过，． ②对于抛物线：，当时，； 当时，，． 可得，，． 设抛物线与轴交于另一点， 令，解得，． 可得． 设是拋物线左侧图象上的任意一点， 则其关于的对称点在抛物线对称轴右侧图象上． 由（2）①得，向左平移1个单位长度得到在抛物线的右侧图象上． 因为与关于的对称， 即所在的这一侧图象上任意一点关于的对称点都在所在的这一侧图象上，反之亦然． 所以抛物线左侧图象与抛物线的右侧图象关于对称． 又和，和，和都关于对称， 所以“曲边四边形”和“曲边四边形”关于对称． 所以矩形在拋物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 23. 我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． （1）依照上述步骤，估计方程的一个正数根； （2）请解释步骤②中估计为的合理性． 【答案】（1）方程的一个正根为 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的应用是解题的关键． （1）根据题目中的方法进行解答即可； （2）求出，得到． 省略后，被开方数N的误差为．因为，所以，即．N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小，所以．即可得到结论． 【小问1详解】 解：因为方程可化为， 所以方程的正根可表示为． ①估计1530的整数部分 估计1530为． 因为，所以估计为3． 将代入，估计即为630． 因为， 所以估计为9． ②估计1530的小数部分 将，，代入中， 所以估计为． 所以估计为． 所以方程的一个正根为． 【小问2详解】 因为N的算术平方根整数部分和小数部分分别为，， 所以．所以． 省略后，被开方数N的误差为． 因为，所以，即． N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小， 所以． 所以． 所以估计为是合理的． 24. 某校拟安装一批新款旋转浇灌喷头，该款喷头有多个喷口，每个喷口装有散水片使水流分散喷淋到不同位置．为了科学种植，科学实践小组对该款喷头的浇灌效果展开研究． 该小组在正常工作水压下对这批喷头进行抽样实验，得如下结果：喷头的浇灌可覆盖距喷头1m~15m的区域；在喷头旋转一周的过程中，与喷头不同距离的位置的受水时长（该位置被淋到水的总时长）不同，大致数据见表二，同时发现：不同位置每秒的受水量近乎相同． 与喷头的距离x（m） 1 2 3 5 7 9 10 11 12 14 15 受水时长y（s） 27.00 13.50 9.00 5.40 3.86 3.00 2.95 2.90 2.84 2.75 2.70 若保持水压不变，根据上述数据解决问题： （1）在喷头旋转一周的过程中，当时，直接写出y的估计值； （2）学校拟种植一种观赏植物，小组经查询和计算得知：这种植物在喷头旋转一周的过程中，适宜的受水时长为2.88s~3.75s．请对该种植物的种植区域提出合理建议； （3）学校拟开辟一个半径为3.5m圆形区域种植某种中草药，要求安装一个喷头对该区域进行浇灌，使区域内不同位置的受水量比较均匀．小梧提出建议：圆形区域的旁边正好有一小块矩形闲置空地（如图所示，该矩形空地的两边AB，CD分别与圆心相距4.5m，9.5m），在这块空地上任意位置安装一个喷头就行．但小桐却以“均匀度”为关键词进行查询，得如下信息： 均匀度指某一物理量或物质在特定空间、时间或系统范围内的分布一致性程度，可用公式“”近似刻画． 根据对该公式的探究和理解，你认为小梧的建议是否合理？若认为合理，请说明理由；若认为不合理，请举一个较有说服力的反例． 【答案】（1）的估计值为2.94s （2）建议将该种植物种植在距离该喷头约米的环形区域内 （3）小梧的建议不合理，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先提取表格中、对应两组、数据，分析出该区间内随均匀变化的规律，再根据与的差值，结合单位变化对应的变化量，通过比例计算近似求出时的估计值即可； （2）先分析表格中不同区间的、数据特征，在区间根据与的乘积为定值建立反比例函数模型，在区间根据随均匀递减的特征，代入两点坐标建立一次函数模型；再根据植物适宜受水时长的上下限，分别匹配对应区间的函数解析式，求解出对应的值，最终确定的取值范围，得到植物的种植区域，据此提出建议； （3）首先根据题意中“喷头在不同位置的每秒受水量近乎相同”，将受水量均匀度的问题等价转化为受水时长的均匀度问题，理解均匀度公式“”的含义，明确值越接近，均匀度越差；再选取矩形空地的特定点（如中点）作为喷头安装的反例，结合圆形种植区域的半径，求出该安装位置到种植区域的最大、最小距离；接着将最大、最小距离代入已建立的对应函数解析式，求出种植区域内受水时长的最大值和最小值；最后将所求最值代入均匀度公式计算出值，根据值接近的结果，说明该位置浇灌均匀度极差，以此反证“在矩形空地任意位置安装喷头”的建议不合理． 【小问1详解】 解：∵当时，，当时，， ∴当时，， 即当时，的估计值为； 【小问2详解】 解：当时，与的数值大致呈现出乘积为定值的规律， 设，根据表二数据，把代入得， 解得， ∴可估计：当，与满足函数关系； 当时，随着的变化大致呈现出均匀减少的规律， 设，根据表二数据，可把，代入得 ， 解得， ∴可估计：当时，与满足函数关系； ∴， ∵，， ∴当时随的增大而减小，当时随的增大而减小， ∴当时随的增大而减小. ∵当时，；当时，， ∴当时，. ∴建议将该种植物种植在距离该喷头约米的环形区域内； 【小问3详解】 解：小梧的建议不合理，理由如下： ∵题意要求该喷头要使区域内不同位置的受水量比较均匀，且不同位置每秒的受水量近乎相同， ∴受水量的均匀度问题可以转化为受水时长的均匀度问题， 对于均匀度公式，初步探究如下： 设公式中的最大值为，最小值为，则， ∵， ∴， ∴当时，取到最小为0， ∴当时，该区域不同位置的受水时长的最大值与最小值相等，即不同位置的受水时长都没有差距，此时可认为是最均匀的情况， 在此基础上，进一步探究： ∵在（该中草药种植区域都能被浇灌到）的情况下，公式可变形为， ∴公式刻画均匀度的方式是和与的比值的大小直接相关的， 分别举一些例子：，，，…这些例子中， 区域内最大值与最小值的比值若较大，意味着二者相对差距较大，也就意味着较不均匀， 求出这些例子相应的的值为，，，…， ∴在较不均匀的情况下，的值就较大，反之亦然， ∵， ∴， 结合上述分析，公式“”近似刻画均匀度的方式是： 的值在范围内；为最均匀；的值较接近1，则较不均匀， 由此，可举反例如下： 取中点，连接，交圆于点，在圆上任取不同于点的点， 连接，，则， ∵在中，， ∴， ∴，即HF是点到种植区域的最小距离，记为， 延长交圆于点，由于直径是最长的弦， ∴是点到种植区域的最大距离，记为， ∵种植区域圆的半径为， ∴当喷头安装在点时，喷头距种植区域最小距离为， 距种植区域最大距离为， ∵当时，且随的增大而减小， ∴，， ∴， ∵0.78在的范围内较接近1， ∴若喷头装在矩形闲置空地的处，对圆形中草药种植区域的浇灌是较不均匀的，不符合要求， ∴小梧的建议不合理． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用、均匀度的量化分析、利用两点间的变化趋势做近似计算，根据表格数据建立函数模型，并将受水量均匀度转化为受水时长均匀度是解题的关键． 25. 已知四边形，，，，．过点、作，连接． （1）若点在上，如图所示．求扇形的面积； （2）若，点在的垂直平分线上，是否存在经过点的情形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若，分别交边，于点，，边与相切于点，且，连接交于点，求的长． 【答案】（1） （2）不存在经过点的情形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出，，利用弧长公式进行求解即可； （2）假设存在经过点的情形，连接，，利用反证法进行证明即可； （3）连接，证明是直径．，取的中点，连接，证明，是中点．连接，可得是的中位线，得到，，三点共线，，求出，即，连接可得，证明是的中位线，即可求出答案． 【小问1详解】 解：经过点，，． ，点在上， ． 为等边三角形． ，． 扇形的面积为． 【小问2详解】 不存在经过点的情形，理由如下： 假设存在经过点的情形，连接， 过点作直线于，交于． 点在AD的垂直平分线上， 又过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 为的垂直平分线． ，． ， ． ． 经过，，， ． ． 过点作于，则四边形是矩形． ． 在中，，， ，． ， ，即． ， ． ． 与矛盾，所以假设不成立． 所以不存在经过点的情形． 【小问3详解】 解：连接， ，代入弧长公式，可得． ， ． ． ， ． ，． ，即，，三点共线． 是直径． 取的中点，连接 ，， ． 又， 四边形、四边形是平行四边形． ，是中点． 是中点， 连接，可得是的中位线． ． ，，三点共线，． 与相切于点， ． ． ，即． 连接，可得． ， ． 在中，，是中点， ， ． ． 是直径， ． 在中，，即． 又是中点， 是的中位线． ． 【点睛】此题考查切线判定和性质、弧长公式和扇形面积、圆周角定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，综合性较强，难度较大，反证法的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期初中毕业班期末考试 数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息，核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 2. 如图，内接于圆，是上一点，连接．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在反比例函数的图象上，则点的坐标可能是（ ） A B. C. D. 4. 如图，是正六边形的中心．点关于点的对称点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（ ） A. 轴 B. C. D. 6. 不透明袋子中装有若干个红球和白球，除颜色外无其他差别．小梧从袋中随机摸出一个后放回并搅匀，这样重复摸了100次，其中摸到红球90次．下列说法正确的是（ ） A. 袋中红球有90个 B. 第101次摸到红球的可能性较大 C. 第101次会摸到红球 D. 红球的数量占袋中总球数的 7. 某地拟从三个超大型居民区中选择一个普通家庭日常消费能力较强的居民区，在其附近建设一个能为居民提供一站式便捷服务的综合商场．项目组分别在三个居民区随机抽取相同数量的家庭，调查各家庭日常消费支出．对所收集的三组样本数据，项目组要作出合理决策宜重点关注的统计量是（ ） A. 中位数和众数 B. 平均数和方差 C. 中位数和平均数 D. 众数和方差 8. 某车间甲车床一天可制作480个工件．该车间新引进乙车床，通过调试，乙车床一天用同样的工时（小时）制作560个工件．设乙车床每小时比甲车床多制作的工件数为，下列推断正确的是（ ） A. B. 是乙车床一天总工时的反比例函数 C. 是甲车床一天总工时的正比例函数 D. 是甲车床每小时制作工件数的反比例函数 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃，2张红桃，从中随机抽取1张，抽到黑桃的概率是_______； 10. 如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则菱形的边长为______． 11. 若是方程的一个根，则的值为______． 12. 如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 13. 某新能源车企随机抽取80台某型号的车载液晶屏进行测试．在特定条件下，这批液晶屏持续亮屏时长（单位：千小时）如表所示． 分组 频数 2 3 3 50 22 在该型号液晶屏中随机抽取一台，估计在该特定条件下这台液晶屏值不低于1.1千小时的概率是______． 14. 如图，四边形内接于圆，为直径，延长到，连接．设，，则与的数量关系是______． 15. 将全等的正五边形按图所示的方式排列组成一个圆圈，组成一个完整的圆圈需要的正五边形的个数是______． 16. 已知，是抛物线上的任意两点，若对于，都不存在的情形，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程． 18. 如图，、交于点，，点与点，点与点是对应顶点．请在图中连接、，并证明． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，是正方形的边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点在边上． （1）在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点恰好落在线段上，证明平分． 21. 小桐和叔叔参加社区举办的“义卖募捐”活动，叔叔发现一个摊点正出售他工作中需要的易耗小物件，标价为20元/件．摊主给出两种销售方式： A方式：按标价打八折． B方式：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：在装有红、白、黄3个仅颜色不同的小球的不透明袋子里随机摸出一个球，将球放回袋子搅匀后再随机摸出一个，若两次摸出的球同色就算中奖，则按标价打五折，否则按标价出售． 叔叔看到中奖后打折的力度会较大，选择了B方式． （1）求叔叔以五折的价格买到该物件的概率； （2）小桐说：“如果要买很多很多该物件，我估计选择B方式不如A方式划算．”你同意小桐的说法吗？请说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，（在的左侧），如图所示，若四边形是矩形． （1）直接写出点的坐标； （2）平移抛物线得到抛物线，使抛物线经过点与点． ①写出平移方向和距离，并说明理由； ②证明：矩形在抛物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 23. 我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． （1）依照上述步骤，估计方程的一个正数根； （2）请解释步骤②中估计为的合理性． 24. 某校拟安装一批新款旋转浇灌喷头，该款喷头有多个喷口，每个喷口装有散水片使水流分散喷淋到不同位置．为了科学种植，科学实践小组对该款喷头的浇灌效果展开研究． 该小组在正常工作水压下对这批喷头进行抽样实验，得如下结果：喷头的浇灌可覆盖距喷头1m~15m的区域；在喷头旋转一周的过程中，与喷头不同距离的位置的受水时长（该位置被淋到水的总时长）不同，大致数据见表二，同时发现：不同位置每秒的受水量近乎相同． 与喷头的距离x（m） 1 2 3 5 7 9 10 11 12 14 15 受水时长y（s） 27.00 13.50 9.00 5.40 3.86 3.00 2.95 2.90 2.84 2.75 2.70 若保持水压不变，根据上述数据解决问题： （1）在喷头旋转一周的过程中，当时，直接写出y的估计值； （2）学校拟种植一种观赏植物，小组经查询和计算得知：这种植物在喷头旋转一周的过程中，适宜的受水时长为2.88s~3.75s．请对该种植物的种植区域提出合理建议； （3）学校拟开辟一个半径为3.5m的圆形区域种植某种中草药，要求安装一个喷头对该区域进行浇灌，使区域内不同位置的受水量比较均匀．小梧提出建议：圆形区域的旁边正好有一小块矩形闲置空地（如图所示，该矩形空地的两边AB，CD分别与圆心相距4.5m，9.5m），在这块空地上任意位置安装一个喷头就行．但小桐却以“均匀度”为关键词进行查询，得如下信息： 均匀度指某一物理量或物质在特定空间、时间或系统范围内的分布一致性程度，可用公式“”近似刻画． 根据对该公式的探究和理解，你认为小梧的建议是否合理？若认为合理，请说明理由；若认为不合理，请举一个较有说服力的反例． 25. 已知四边形，，，，．过点、作，连接． （1）若点在上，如图所示．求扇形的面积； （2）若，点在的垂直平分线上，是否存在经过点的情形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若，分别交边，于点，，边与相切于点，且，连接交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $