22.1 函数的概念-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十二章函数 第二十二章 函数 22.1 函数的概念 第1课时 知识点2变量之间的表示方法 例2(1)一份报纸1.60元，请写出购买x 知 识 梳 理 份报纸与所需钱数y(单位：元)之间的关系式， 并指出关系式中的常量和变量； 变量：在一个变化过程中，数值发生变化 (2)设圆柱的底面半径R不变，请写出圆柱 的量 的体积V与圆柱的高h的关系式，并指出关系 常量：在一个变化过程中，数值始终不变 式中的变量和常量 的量. 分析：常量是在整个变化过程中保持不变 在不同的研究过程中，变量和常量可以转 的量，千万不能认为式中出现字母就是变量，如 换.例如，在s=t中，当v为常量时，变量为s, π，它是常量，而不是变量；判断常量与变量的标 t;当t为常量时，变量为s,u.常量可以是数字， 准是看这个量是否发生变化；常量、变量与字母 也可以是数值不变的字母 的指数没有关系. 典例精析 知识点①常量与变量 例1我国为了在太空中测量飞行员的质 量，在实验室内测量某种弹簧的长度y(单位： cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间的关 系，得到如下关系式：y=-14+0.6x,在关系式 中，常量是 变量是 解：在一个变化过程中，常量是始终不变的 量，变量是数值发生变化的量 规律与方法：从以上问题的解答中可以看出，常 量与变量是相对的，判断的前提是“在某一变化 规律与方法：本题考查变量之间的关系式的表 过程中”，主要看一个数值是保持不变还是发生 达，根据实际问题中的等量关系列出相应的关系 变化了. 式 55 格南针·课堂优化·八年纸下册·数学(R) 随 堂 巩 固 第2课时 1.甲以每小时30m的速度行驶时，他所走的路 程s(单位：km)与时间t(单位：h)之间的关系式 知识梳理 可表示为s=30t,则下列说法正确的是( ) 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y, A.数30和s,t都是变量 并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定 B.s是常量，数30和t是变量 的值与其对应，那么我们就说 是自变量， C.数30是常量，s和t是变量 是 的函数.如果当x=a时y=b,那么 D.t是常量，数30和s是变量 叫作当自变量的值为 时的函数值. 2.小赵到单位附近的加油站加油，如图是小赵 特别提醒： 所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的 (1)函数不是数； 变量是 (2)函数是两个变量之间一种特殊的对应 116.64 金额 关系； 18 数量/升 (3)这种特殊的对应关系：一个自变量的值 6.48 单价/元 对应唯一的因变量的值； A.金额 B.数量 (4)如果一个自变量的值对应两个或更多 C.单价 D.金额和数量 的因变量的值，那么这种变量间的对应关系就 3.为了奖励在学校运动会中的优胜者，李老师 不称为函数了. 准备用400元钱去买单价为12元的某种笔记 典 例 精 本，则他剩余的钱y(单位：元)与购买的笔记 本的数量x(单位：本)之间的关系式是( 知识点① 函数的定义 A.y=12x B.y=12x+400 例1下列函数中，与y=x表示同一个函 C.y=12x-400 D.y=400-12x 数的是 () 4.在△ABC中，它的底边是a,底边上的高是h, A.y=2 B.y=√ 则三角形的面积S=2ah,当底边a的长一定 C.y=(x)2 D.y=V 时，在关系式中的常量是 ,变量是 规律与方法：两个函数相同需同时满足：(1)表达 式可化为一样；(2)自变量的取值范围相同； 5.汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小 (3)函数值也相同. 时耗油5升，则油箱内余油量Q升与行驶时 知识点2自变量的取值 间t小时的关系式是 其中 是变量， 是常量 例2(1)根据下图所示程序计算函数值， 若输人x的值为，则输出y的值为 () ·56· 第二十二章 西数 输入x值 (2)求自变量的取值范围. y=x-1 y=x y= (-1≤x<0) (0≤x<2) (2≤x<4) 输出y值 随 堂 A.2 C.25 D. 25 1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的 变化而变化.在这一问题中，自变量是() 分析：分段函数要注意自变量取值适用于 A.沙漠B.体温C.时间 D.骆驼 哪一段函数因为号在2<4范国内，所以把 2.长方形的周长为24cm,其中一边为xcm,面积 ) 之5发人y一元，问于若仑. 为ycm,则y与x的关系是 A.y=x2 B.y=(12-x)2 (2)函数y=中，自变量x的取值范 C.y=(12-x)x D.y=2(12-x) x-3 3.盛满10千克水的水箱，每小时流出0.5千克 围是 ( ) 水，水箱中的余水量y(单位：千克)与时间t(单 A.x≥-2且x≠3 B.x≥-2且x≠3 位：小时)的函数关系式是 C.x≥-2 D.x≥-2且x≠0 自变量t的取值范围是 x+2≥0， 分析：要使函数有意义，满足 x一3≠0， 4.函数y=2x-1中，当x=-4时，y= ∴.x≥-2且x≠3. 当y=4时，x= 规律与方法：函数自变量的取值范围一般从四个 5.游泳池内有清水12m3,现以每分钟2m3的流 方面考虑： 量往池里注水，2可将游泳池灌满. (1)当函数的解析式是整式时，自变量的取 (1)求池内水量y(单位：m3)与注水时间t(单 值范围是全体实数； 位：min)之间的函数关系式，并指出自变量t (2)当自变量在分母时，自变量的取值范围 的取值范围； 必须满足分母不为零； (2)当游泳池水注满后，以每分钟4m3的流量 (3)当自变量在二次根号下时，自变量的取 放出废水，求池内剩余量y1(单位：m3)与放水 值范围必须满足被开方数不小于零； 时间x(单位：min)的函数关系式，并指出自变 (4)对于实际问题中的函数关系，除使表达 量的取值范围. 式有意义，而且还要使实际问题有意义 知识点3)根据题意写出函数的解析式 例3若一个等腰三角形的周长是24， (1)写出其底边长y随腰长x变化的解 析式； ·57·指南针·课堂优化·八年 3.360°360°4.(n-2)×180°360° 21.3特殊的平行四边形 随堂巩固 1.B2.C3.C4.D5.C6.2 21.3.1矩形 7.(1)转化思想540°720°类比思想 8.(1)①100°②6(2)证明略 第1课时 知识梳理 21.2平行四边形 1.直角2.都是直角相等 经过对边中点的直 线3.一半 21.2.1 平行四边形的性质 随堂巩固 第1课时 知识梳理 1.C2.B3.34 2 4.5.85.证明略 2.(1)平行且相等 (2)①相等 ②互补 第2课时 随堂巩固 知识梳理 1.D2.D3.3 (1)平行四边形 (2)相等 (3)三 4.100°5.证明略 随堂巩固 第2课时 1.C2.D3.平行四边形 矩形4.5 知识梳理 5.(1)证明略 (2)证明略 (1)平行且相等(2)相等互补 (3)平分 21.3.2菱形 随堂巩固 第1课时 1.B2.B3.16 知识梳理 4.24385.证明略 :1.相等 21.2.2平行四边形的判定 2.一切性质 相等互相垂直平分 一组对角 知识梳理 底×高（或对角线乘积的一半）两条对角线所 (1)①分别平行②分别相等 ③平行且相等 在的直线 (2)分别相等(3)互相平分 随堂巩固 随堂巩固 1.B2.B3.3 4.64cm 1.C2.B3.64 5.AC=2,BD=23,S菱形ABCD=23. 4.125.证明略 第2课时 21.2.3三角形的中位线 知识梳理 知识梳理 (1)平行四边形(2)四 (3)互相垂直 1.两边中点对边中点 (4)互相垂直平分 2.平行于 一半 随堂巩固 随堂巩固 1.D2.B 1.B2.C3.284.30m 3.AC⊥BD(答案不唯一) 5.(1)证明略(2)DM的长为4. 4.(5,4)或(45,4) 6.线段EF的长是 5.证明略 27 及下册·数学参考答案(RJ) 21.3.3正方形 第1课时 知识梳理 (1)垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对 角(2)轴4(3)W2aa2 随堂巩固 1.D2.C3.33√245°4.22.5° 5.(1)证明略 (2)四边形BEDF的周长为8√5. 第2课时 知识梳理 一组邻边相等矩形 随堂巩固 1.D2.C3.8 4.有一组邻边相等的矩形是正方形 5.证明略 专题训练三 1.(1)∠CGH=∠DFE,理由略 (2)①GH平分∠AGE,理由略 ②∠HGE=64° 2.(1)D(0,5) (2)在x轴上存在点M,使以M、N、E、O为顶 点的四边形是菱形，点M的坐标为(4,0)或( 4,0或（号0）或(4o 3.(1)证明略 (2)当t=3或t=9时，四边形BEDF为矩形 4.(1)a=5(2)a的值为1或3 5.(1)证明略(2)EF的最小值为4 6.(1)证明略(2)AB的最小值为4√3-2 数学活动 1.C2.(1)证明略(2)证明略 3.(1)√2(2)图略(3)①32 ②答：正方形BQPG的边长是3国 2 第二十二章函数 22.1函数的概念 第1课时 随堂巩固 1.C2.D3.D 4.号和aS和n 5.Q=40-5tQ和t40和-5 第2课时 知识梳理 x y x b a 随堂巩固 1.C2.C3.y=10-0.5t0≤t≤20 49昌 5.(1)y=12+2t(0≤t≤120). (2)y1=252-4t(0≤t≤63). 22.2函数的表示 第1课时 知识梳理 1.横纵图象 随堂巩固 1.A2.C3.B4.①②④5.220 第2课时 知识梳理 1.(1)列表函数值(2)描点(3)连线 由小到大曲线①自变量代表②多精 确5到7③顺次 2.列表法解析式法 图象法 随堂巩固 1.C2.D3.31 数学活动 1.(1)图略(2)①0.55②51<x<79③8 28