21.3.3 正方形-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

指南针·课堂优化·八年级下册·数学(R) 21.3.3正方形 第1课时 知识梳 理 正方形的性质： (1)四边都相等，四个角都相等（都为90）， 对角线 (2)正方形是 对称图形，它有 条对称轴； (3)若正方形边长为a,则对角线长为 ,面积为 典 例精 析 知识点● 正方形的性质 例已知正方形ABCD的边长为a,两条 对角线AC,BD交于点O,P是射线AB上任意 一点.过点P分别作直线AC,BD的垂线PE, PF,垂足为E,F 图2 (1)如图1，当点P在线段AB上时，求PE +PF的值； (2)如图2，当点P在线段AB的延长线上 时，求PE-PF的值. 分析：因为四边形ABCD是正方形，所以对 角线互相垂直.又因为过点P分别作直线AC, BD的垂线PE,PF,垂足为E,F,所以可证明四 边形PFOE是矩形，从而解决问题. 规律与方法：探究型题中条件发生了变化，但解 题思路、解题方法不变，结果可能发生变化，也可 能不发生变化 随 堂 巩 固 1.下列结论：①正方形具有平行四边形的一切 性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方 形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对 称轴；⑤正方形有四条对称轴.其中正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,则以 AC为边长的正方形ACEF的周长为() 60°CB A.14 B.15 C.16 D.17 3.已知正方形ABCD对角线AC,BD相交于点 O,AC=6cm,DO= cm,AB= cm, ∠OCD= 4.如图，E是正方形AB CD的BC边的延长线 上一点，若CE=CA, AE交CD于点F,则∠FAC= 5.(邵阳中考)如图，在正方形ABCD中，对角线 AC,BD相交于点O,点E,F是对角线AC上 的两点，且AE=CF.连接DE,DF,BE,BF. (1)证明：△ADE≌△CBF; (2)若AB=4√2，AE=2,求四边形BEDF的 周长 ·45 第二十一章四边形 第2课时 知识梳理 正方形的判定： 判定一个四边形是正方形，可以先判定这 个四边形是矩形，再判定还有 或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也 是 典 例 精 析 知识点● 正方形的判定 例如图，△ABC是等腰直角三角形， ∠A=90°，点P,Q分别是AB,AC上的动点，且 满足BP=AQ,D是BC的中点. (1)求证：△PDQ是等腰直角三角形； 指南针·课壹优化·八年很下册·数学(R) (2)当点P运动到什么位置时，四边形 APDQ是正方形？说明理由 规律与方法：(1)等腰三角形“三线合一”是重要 的辅助线； (2)条件开放探究题：由结果逆推寻因， … 随 堂 巩 固 1.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是 ( A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列 条件能判定这个四边形为正方形的是() A.AC=BD,AB∥CD,AB=CD B.AD∥BC,∠A=∠C C.OA=OB=OC=OD,AC⊥BD D.AO=CO,BO=DO,AB=BC 3.正方形的两条对角线把正方形分成等腰直角 三角形的个数最多是 个 46 4.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正 方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上 去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形 ABEF就是一个最大的正方形，他判定方法 是 5.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线 BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P作 PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N. (1)求证：∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是 正方形.指南针·课堂优化·八年 3.360°360°4.(n-2)×180°360° 21.3特殊的平行四边形 随堂巩固 1.B2.C3.C4.D5.C6.2 21.3.1矩形 7.(1)转化思想540°720°类比思想 8.(1)①100°②6(2)证明略 第1课时 知识梳理 21.2平行四边形 1.直角2.都是直角相等 经过对边中点的直 线3.一半 21.2.1 平行四边形的性质 随堂巩固 第1课时 知识梳理 1.C2.B3.34 2 4.5.85.证明略 2.(1)平行且相等 (2)①相等 ②互补 第2课时 随堂巩固 知识梳理 1.D2.D3.3 (1)平行四边形 (2)相等 (3)三 4.100°5.证明略 随堂巩固 第2课时 1.C2.D3.平行四边形 矩形4.5 知识梳理 5.(1)证明略 (2)证明略 (1)平行且相等(2)相等互补 (3)平分 21.3.2菱形 随堂巩固 第1课时 1.B2.B3.16 知识梳理 4.24385.证明略 :1.相等 21.2.2平行四边形的判定 2.一切性质 相等互相垂直平分 一组对角 知识梳理 底×高（或对角线乘积的一半）两条对角线所 (1)①分别平行②分别相等 ③平行且相等 在的直线 (2)分别相等(3)互相平分 随堂巩固 随堂巩固 1.B2.B3.3 4.64cm 1.C2.B3.64 5.AC=2,BD=23,S菱形ABCD=23. 4.125.证明略 第2课时 21.2.3三角形的中位线 知识梳理 知识梳理 (1)平行四边形(2)四 (3)互相垂直 1.两边中点对边中点 (4)互相垂直平分 2.平行于 一半 随堂巩固 随堂巩固 1.D2.B 1.B2.C3.284.30m 3.AC⊥BD(答案不唯一) 5.(1)证明略(2)DM的长为4. 4.(5,4)或(45,4) 6.线段EF的长是 5.证明略 27 及下册·数学参考答案(RJ) 21.3.3正方形 第1课时 知识梳理 (1)垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对 角(2)轴4(3)W2aa2 随堂巩固 1.D2.C3.33√245°4.22.5° 5.(1)证明略 (2)四边形BEDF的周长为8√5. 第2课时 知识梳理 一组邻边相等矩形 随堂巩固 1.D2.C3.8 4.有一组邻边相等的矩形是正方形 5.证明略 专题训练三 1.(1)∠CGH=∠DFE,理由略 (2)①GH平分∠AGE,理由略 ②∠HGE=64° 2.(1)D(0,5) (2)在x轴上存在点M,使以M、N、E、O为顶 点的四边形是菱形，点M的坐标为(4,0)或( 4,0或（号0）或(4o 3.(1)证明略 (2)当t=3或t=9时，四边形BEDF为矩形 4.(1)a=5(2)a的值为1或3 5.(1)证明略(2)EF的最小值为4 6.(1)证明略(2)AB的最小值为4√3-2 数学活动 1.C2.(1)证明略(2)证明略 3.(1)√2(2)图略(3)①32 ②答：正方形BQPG的边长是3国 2 第二十二章函数 22.1函数的概念 第1课时 随堂巩固 1.C2.D3.D 4.号和aS和n 5.Q=40-5tQ和t40和-5 第2课时 知识梳理 x y x b a 随堂巩固 1.C2.C3.y=10-0.5t0≤t≤20 49昌 5.(1)y=12+2t(0≤t≤120). (2)y1=252-4t(0≤t≤63). 22.2函数的表示 第1课时 知识梳理 1.横纵图象 随堂巩固 1.A2.C3.B4.①②④5.220 第2课时 知识梳理 1.(1)列表函数值(2)描点(3)连线 由小到大曲线①自变量代表②多精 确5到7③顺次 2.列表法解析式法 图象法 随堂巩固 1.C2.D3.31 数学活动 1.(1)图略(2)①0.55②51<x<79③8 28