20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十章自股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 典例 精 析 知识点1命题 知 识 梳 例1(1)把命题“如果直角三角形的两直 1.互逆命题与互逆定理 角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b=c2” (1)如果两个命题的题设、结论正好相反， 的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式： 那么这个命题叫作互逆命题.如果把其中一个 叫作原命题，那么另一个叫作它的 (2)如果一个定理的逆命题经过证明是正 (2)如果△ABC的三边长a,b,c满足a4 确的，它也是一个定理，则称这两个定理互为 b+bc2-ac2=0,判断△ABC的形状， (3)一个命题 有逆命题，一个定理 有逆定理.（均填“一定”或“不 定”) 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c满足 那么这个三角形是直角三角形，c就是斜边长， 3.勾股定理的逆定理是判定三角形是不是 直角三角形的一种重要方法，它是通过“数”转 化为“形”. 推广：若△ABC的最长边为c, ①a2+b2=c2台△ABC是直角三角形； ②a2+b<c2台△ABC是 三角形； ③a2+b>c2台△ABC是 三角形 注：不要误认为三角形的最长边一定就是c 边，也可能是a边或b边. 规律与方法：(1)对于用等式形式给出三边的关 4.勾股定理(“形”到“数”)和勾股定理的逆 系往往用“因式分解法”或“配方法”将等式进行 定理(“数”到“形”)中体会从“形”到“数”和从 转化； “数”到“形”的转化解决简单的实际问题，建立 (2)若ab=0,则a=0或b=0(特别注意连 数学模型，培养转化、推理的能力. 接词“或”)】 。19 指南针·课堂优化·八年征下册·数学(R) 知识点2勾股定理的逆定理 2.下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的 例2如图，四边形ABCD为正方形，点E 是 () A.AB2 +BC2=AC2 为AB的中点，点F在AD边上，且AF=AD, B.AB2-BC2=AC2 试探究图中有多少个直角三角形？并说明理由. C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 3.命题“两条直线相交，只有一个交点”的逆命 题是 ,它是 命题 4.在△ABC中，若a=b=5,c=5V2,则△ABC 为 三角形 5.如图，现有一块△ABC花坛，∠ABC=90°， AC=13m,BC=12m,将其内部△ABD设置 成观赏区，其他区域种植花卉，已知AD= 3m,BD=4m,每平方米的种植成本为20元， 求种植花卉所需的费用. C 规律与方法：先猜想，后验证的题目，需先得出结 论，再说明理由， 随 堂 巩 固 1.下列各命题的逆命题成立的是 A.对顶角相等 B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C.两直线平行，同位角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等 ·20· 第二十章自股定理 (2)求四边形ABCD的面积（结果保留根号）， 第2课时 知 识梳 理 1.直角三角形的判定 (1)有一个角是 的三角形是直角三 角形 (2)有两个角 的三角形是直角三 角形 (3)如果一个三角形一边上的中线等于这 边的 那么这个三角形是直角三角形. (4)勾股定理的逆定理：如果三角形一条边 的平方等于另外两条边的 ,那么这 规律与方法：面积问题需用割（分割法）补（补形 个三角形是直角三角形. 法)转化为规则的图形来计算， 2.常见勾股数：(3,4,5)，(5,12,13)，(6,8， 10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(10, 知识点2)几何图形的综合运用 24,26),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85) 例2如图，在△ABC中，∠ACB=90°， 以及它们各自的相同倍数（整数倍） AC=BC,P是△ABC内一点，且PB=1,PC= 注意：对于两个任意的正整数m,n(m>n), 2,PA=3,求∠BPC的度数. 则m2十n2,m2一n2,2mm也成勾股数.即 (m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2. 典例精析 知识点①直角三角形的判定 例1如图，已知四边形ABCD中，AB= BC=1,CD=√3，DA=1,且∠B=90°. (1)求∠BAD的度数； 规律与方法：(1)给出的条件较孤立，我们可通过 位置变换（平移、旋转、翻折）转化到一个三角形 中；(2)具有旋转性的基本图形：等边三角形，等 腰直角三角形，正方形等 ·21· 格南针·课堂优化·八年纸下册·数学（凡） 5.如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东 随 堂 巩 固 西方向上，且相距3km,学校C在他家正北方 1.下列说法错误的是 ) 向的4km处，公园D与地铁口和学校的距离 A.在△ABC中，∠C=∠A-∠B,则△ABC 分别5km和5√2km. 为直角三角形 (1)求地铁口、公园和学校三地组成的∠BDC B.在△ABC中，若∠A∠B：∠C=5:2: 的大小； 3,则△ABC为直角三角形 (2)计算公园与小明家的距离. C在△ABC中，若a=是c,b-告c,则△ABC 为直角三角形 D.在△ABC中，若a:b:c=2:2:4,则 △ABC为直角三角形 2.已知△ABC中，AB=k,AC=k-1,BC=3,当 k=时，∠C=90° 3.如图，在△ABC中， BC=17,AB=8,AC =15,点D是BC的 中点，则AD的长为 4.如图，每个小正方形的边长都为1. (1)求线段CD与BC的长； (2)求四边形ABCD的面积与周长； (3)求证：∠BCD=90° ·22·第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 知识梳理 1.非负数2.≥≥ 随堂巩固 1.C2.D3.-104.-b 5y=4或y=日 6.边长c的取值范围是1<c<5, 7.-2a-b+2c 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时 知识梳理 1.√ab2.√a·√6 随堂巩固 1.A2.A3.(1)-603(2)2ab√5a 4.14√145.(1)√10(2)6√3(3)a6 (4)43(5)20w6 (6)mn 第2课时 知识梳理 随堂巩固 1.D2.D3.2√7 4a器 (2) (3)26a 10 3a2 (4) 5.(101(2)号2 (3)交 (4)- 指南针·课堂优化·八年级下册·数学参考答案(RJ) 指南针·课堂优化·八年级下册·数学同步参考答案 19.3二次根式的加法与减法 第二十章 勾股定理 (2)四边形ABCD的周长为√10+3√5十5，四边 形ABCD的面积为12.5. 第1课时 (3)证明略 20.1 勾股定理及其应用 知识梳理 5.(1)∠BDC=45° 1.最简二次根式2.相同4.不变 第1课时 (2)公园与小明家的距离为√58km. 随堂巩固 知识梳理 专题训练二 1.D2.C3.6-73 1.斜边c2 4.05.(1)43 随堂巩固 1.c2z-3)+64=23号 (2)9√/2-5√6+√3 1.A2.D3.1004.14 4.(1)证明略(2)M点与小岛P之间的距离为 第2课时 第2课时 16√3海里 知识梳理 知识梳理 (3)如果渔船不改变航线继续向东航行，不会有 2.乘方乘除加减3.最简二次根式 1.(1)互余 (2)一半(3)直角斜 触礁危险，理由略 随堂巩固 随堂巩固 5.C6.257.68.A9.C10.711.10cm 1.B2.B3.C 1.C2.A3.24.125.17km 12.(1)CH是从村庄C到河边的最短路线，说明 4.(1)9(2)2-1(3)11 6.(1)CE=21.6(米)(2)8米 略(2)原来的路线AC的长为5千米 13.C14.1015.15 5.(1)16-122 (2)25-5 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 16.(1)△ABC是直角三角形 专题训练一 第1课时 (2)线段CD的长为号 1.(1)-5(2)3√2+3(3)2+43 知识梳理 1.(1)逆命题(2)逆定理 (3)一定 不一定 数学活动 2.C3.A4.D5.A6.a7.14V28.30 2.a2+b=c23.②钝角③锐角 92210.-2-411.-112.-2 随堂巩固 1.85132.(21012,0) 3.(1)25 (2号 6 1.C2.D3.如果两条直线只有一个交点，那么 4.任务一：6.25 数学活动 任务二：00 441 过程略 这两条直线相交真 4.等腰直角5.种植花卉所需的费用为480元 (2 2025 任务三8 1. 2 a 第2课时 四边形 2.阴影部分图形的周长为6√2cm,面积为4cm 知识梳理 第二十一章 3.(1)是23 1.(1)90° (2)互余(3)一半(4)平方和 随堂巩固 21.1四边形及多边形 (2)△ABN为等边三角形；证明略 1.D2.53.8.5 84或9 知识梳理 4.(1)BC=2√5，CD=√5. 1.四ABCD2.具有不具有 25 26