第十九章 二次根式 数学活动&章末复习-【指南针·课堂优化】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拾南针·课堂优化·八年强下册·数学(R) 数学 活动纸张规格的奥秘 1.如果一张矩形纸的长：宽=√2：1，那么称这样 的纸为标准纸.如图是一张长为α的标准纸，将 其对折可得标准纸A1,依次对折下去，得到的纸 都是标准纸，则对折2025次后新得标准纸A22s 的长为 .(用含a的代数式表示) A, A: A 2.如图，两张面积分别为18cm和8cm2的正方 形纸片无重叠地放在一张长方形纸片ABCD 中，求阴影部分图形的周长和面积， A E D 8cm 18cm 3.综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之 一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形， 同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识 D 图1 图2 图3 ·12 舌动 实践操作：如图1，在矩形纸片ABCD中， AB=4cm. 第一步：如图2，对折矩形纸片ABCD,使AD 与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平. 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在 EF上，并使折痕经过点B,得到折痕BM.同 时，得到了线段BN. 解决问题： (1)在图3中，EN （选填“是”或“不 是”)AB的垂直平分线.EN= cm, (2)在图3中，连接AN,试判断△ABN的形 状，并给予证明， 拓展应用. (3)已知，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD= 8cm,点P在边AD上，将△ABP沿着BP折 叠，若点A的对应点A'恰落在矩形ABCD的 对称轴上，则AP= cm. 第十九章 二业根式 章末复习 知 识结构 规律与方法：(1)抓住二次根式定义中隐含的双 重非负性； 二次根式 Wa≥0(a≥0) 二次根式 的乘除 (2)(Wa)2与√a的区别：①从运算顺序来看， 二次 根式 √a=a(a≥0) 的化简与 运算 二次根式 (Wa)2先开方，后平方；√a先平方，后开方；②从 Wa=-a(a<0) 的加减 取值范围来看，(Wa)2中a≥0；√a中a取任何实 专 题 讲 解 数；③从运算结果来看，(Wa)2=a(a≥0)；√a= a(a≥0)， 一、二次根式的概念及性质 a= -a(a<≤0). 例1 1)使代数式2二有意义的x的取 二、最简二次根式与同类二次根式 值范围是 例2(1)下列二次根式中，是最简二次根 B.x≠ 1 式的是 () A.x≥0 A.√2x B.√b2+1 C.x≥0且x≠号 D.一切实数 C.√4a n店 分析：由题意，得2x-1≠0且x≥0，可得出 结论 (2)判断下列二次根式中，与√a是同类二次 (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，且 根式的有哪几项？并说明理由。 a>|bl,化简√a-a+b. ①√2a ②√3a ③va ④va a 0 b 分析：(1)最简二次根式必须同时满足如下 分析：由数轴可知a<0,b>0,由a>b 条件： 可知a十b<0,再结合二次根式的性质、绝对值的 ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分 性质进行化简计算， 母中不含有根号)； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式，即被开方数中的因数或因式的指数都为1. (2)将各项能化简的二次根式分别化简后， 可得出结论. ·13· 指南针·课堂优化·八年征下册·数学(R) 三、二次根式的运算 例4已知4x2+y2-4x-6y+10=0, 二次根式的混合运算顺序：先算乘方，再算 求导版+-/日5r图 乘除，最后算加减。 的值 例3计算： 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它 (1)2×(3-1)2+ ,+3W3 配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0,即 √2-1 x司y-3其次，根据二次褪式的加减运算， 先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次 2vs3-×v亚+v4: 根式，最后代入求值 3)2- 8 X5-(2+√3)(2-√3) 十(-1)2023 分析：利用二次根式的运算法则和负整数 指数幂的性质，分别化简，进而根据有理数的混 合运算顺序计算即可. 规律与方法：(1)二次根式的加减：先化为最简二 次根式，合并同类二次根式； 规律与方法：(1)化简求值题一定先化简，再求 (2)二次根式的乘除：√a·√b=√ab(a≥0，b 值；(2)对于一个等式中有多个未知数，或用配方 公(a≥0，b>0),注意公式的正用、 法后用“非负数”性质求出每一个字母的值，或用 因式分解法求出字母间的具体关系，再利用“整 逆用. 体思想”代入求值. 14第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 知识梳理 1.非负数2.≥≥ 随堂巩固 1.C2.D3.-104.-b 5y=4或y=日 6.边长c的取值范围是1<c<5, 7.-2a-b+2c 19.2二次根式的乘法与除法 第1课时 知识梳理 1.√ab2.√a·√6 随堂巩固 1.A2.A3.(1)-603(2)2ab√5a 4.14√145.(1)√10(2)6√3(3)a6 (4)43(5)20w6 (6)mn 第2课时 知识梳理 随堂巩固 1.D2.D3.2√7 4a器 (2) (3)26a 10 3a2 (4) 5.(101(2)号2 (3)交 (4)- 指南针·课堂优化·八年级下册·数学参考答案(RJ) 指南针·课堂优化·八年级下册·数学同步参考答案 19.3二次根式的加法与减法 第二十章 勾股定理 (2)四边形ABCD的周长为√10+3√5十5，四边 形ABCD的面积为12.5. 第1课时 (3)证明略 20.1 勾股定理及其应用 知识梳理 5.(1)∠BDC=45° 1.最简二次根式2.相同4.不变 第1课时 (2)公园与小明家的距离为√58km. 随堂巩固 知识梳理 专题训练二 1.D2.C3.6-73 1.斜边c2 4.05.(1)43 随堂巩固 1.c2z-3)+64=23号 (2)9√/2-5√6+√3 1.A2.D3.1004.14 4.(1)证明略(2)M点与小岛P之间的距离为 第2课时 第2课时 16√3海里 知识梳理 知识梳理 (3)如果渔船不改变航线继续向东航行，不会有 2.乘方乘除加减3.最简二次根式 1.(1)互余 (2)一半(3)直角斜 触礁危险，理由略 随堂巩固 随堂巩固 5.C6.257.68.A9.C10.711.10cm 1.B2.B3.C 1.C2.A3.24.125.17km 12.(1)CH是从村庄C到河边的最短路线，说明 4.(1)9(2)2-1(3)11 6.(1)CE=21.6(米)(2)8米 略(2)原来的路线AC的长为5千米 13.C14.1015.15 5.(1)16-122 (2)25-5 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 16.(1)△ABC是直角三角形 专题训练一 第1课时 (2)线段CD的长为号 1.(1)-5(2)3√2+3(3)2+43 知识梳理 1.(1)逆命题(2)逆定理 (3)一定 不一定 数学活动 2.C3.A4.D5.A6.a7.14V28.30 2.a2+b=c23.②钝角③锐角 92210.-2-411.-112.-2 随堂巩固 1.85132.(21012,0) 3.(1)25 (2号 6 1.C2.D3.如果两条直线只有一个交点，那么 4.任务一：6.25 数学活动 任务二：00 441 过程略 这两条直线相交真 4.等腰直角5.种植花卉所需的费用为480元 (2 2025 任务三8 1. 2 a 第2课时 四边形 2.阴影部分图形的周长为6√2cm,面积为4cm 知识梳理 第二十一章 3.(1)是23 1.(1)90° (2)互余(3)一半(4)平方和 随堂巩固 21.1四边形及多边形 (2)△ABN为等边三角形；证明略 1.D2.53.8.5 84或9 知识梳理 4.(1)BC=2√5，CD=√5. 1.四ABCD2.具有不具有 25 26