河北部分学校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

数学试卷参考答案 1.D由题意知m-2+8m-0,所以m一号 2.Ca2=S2-S1=6. 3.D当0<q<3,且a1<0时，{an}为递增数列：若{an}为递减数列，则a1>0且0<q<1,或 4,<0且9>1.放0<9<号是a,是递减数列的既不充分也不必要条件 4.A记O为坐标原点.因为BF⊥x轴，所以BFOP.因为AB=7PB,所以a=6c,故椭圆C 的离心率e= 1 5B依题意可得A店+BC+号币-A店+之(B就+市)=A店+B克-症 6.C过点P向抛物线y2=一28x的准线作垂线，垂足为Q,则|PF|=|PQ.当P,Q,A三点 共线时，|PQ|+|PA最小，最小值为5+7=12，即PF|+|PA的最小值为12. 7.B因为a1=26,=0a=号6，-3所以a+b,=a-6,=2a+6,=5a:-6:=4,所以数 列{a,十bn}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{a,一bn}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以a,+b,=2+3-1）=3n-1,a,-6.=2,则a.-2+30,所以40=2°+148. 2 8.B连接QF1,QF,(图略).因为Q,F,分别为线段MN,MB的中点，所以QF,=BN, 同理QF,=1AN.因为Q在C的右支上，所以QF,-QF,-2AN-BNI)= 21=2a,即C的实轴长为21. 9.ACDC1与C2的实轴长均为4，A正确.C2的焦点在y轴上，C3的焦点在x轴上，B错误. C,与C:的离心率均为√十-号C正确，C,与C,的焦距均为2疗，D正确 10.BD由Sn=lu,<0,得a,<0a:十ag=2a,<0,A错误，D正确.由S=10Ca+an）= 2 10(a5+a6) 2 >0,得a5十a6>0,又a6<0,所以a5>0,则公差d<0,B正确.因为a>0,a6 <0,所以S,的最大值为S,C错误 【高二数学·参考答案◇第1页（共5页）】 11.ACD (x2+誉-1(+-1)=0，得r+苦-1或2+ 苦-1，所以C由椭圆C:r2+号-1与椭圆C:y+子-1组 成，B1(0,一√5)，B2(0,√)是C1的两个焦点，A1(-3,0), M A2(3,0)是C2的两个焦点.由图可知，C1与C2有4个交点，所 以存在四个点P,使得|PAI+|PA2|=4,且|PB1I+|PB2|=4, C正晚，C,与C的高心率均为-号A正确当直线y=万十m经过点A,时 -x+m即y=(x+V5).代入x+誉-1，得3x2+25x+1=0,因为4=12-12= 0,所以直线y=√2(x十√)与C1相切，且切点不在C2上，易知直线y=√2(x+√3)与C 相交，所以经过点A1的直线y=√2x十m与C有3个公共点，B错误.不妨设M在N的左 边，当△DMN为正三角形时，直线DM的倾斜角为60°，则直线DM的方程为y=√3x十2， 由图可知，当M在C,的下半部分时，△DMN的周长最大，将y=5x十2代入y+ 4 1,得13y2-4-8=0,解得y=2生6 13 ,所以点D到直线MN的距离的最大值为2- 2-65_24+63 13 ，D正确. 13 12.15依题意可得该乒乓球第3次触地后弹起的高度为120×( =15cm. 26 因为向量a=(1,2,3),b=(2,1,1),所以向量a在向量b上的投影向量c= a0a6·合86的·6后6，共模为2酒 76 6 14.n(m+1) 2 因为双曲线x2一y2-1的渐近线方程为y=士x,所以a,-2=2,所以 S,=2(1+2++n)=2m(m+1 15.解：1)设等差数列a,的公差为d,则d=a5二-115-2，…2分 5-23 所以1=2一=3,…3分 则an=a1十(n一1)d=2n十1.…5分 （2)由(1)知，a2=4n十1，a2n+1=4n十3，… …6分 1 1 1/11 则6。=a2（a21十2)-(4m+10(4m+5-1（4m+1一4十5.…9分 【高二数学·参考答案◇第2页（共5页）】 20m+25 …13分 16解：1)设C(mm).由题意可知点C到直线AB的距离d-√-()-反，3分 即d=1m-n+2-2,即m-n=0或m一n十4=0. …5分 √2 所以直线1的方程为x-y=0或x一y十4=0.… 7分 (2)由(1)可知圆心C(m,n)满足m一n=0或m一n+4=0. 由PC=r=3,可得m2+(n+3)2=9.… …9分 m-n=0, ①由 解得m=n=0或m=n=一3. …11分 m2+(n+3)2=9, m-n+4=0, ②由 可得n2一n十8=0，方程无解.…13分 m2+(n+3)2=9, 综上，此时圆C的方程为x2十y2=9或(x十3)2+(y十3)2=9.…15分 17.(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴，建立空间直角坐 标系，则P(0,0,4),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),E(1,0,2), F(0,1,2),… …………3分 所以EF=(-1,1,0),PC=(2,2,-4),…4分 所以E℉.PC=-2十2十0=0，…5分 所以EF⊥PC,即EF⊥PC.…6分 (2)解：由(1)得A(0,0,0),EC=(1,2,-2).…7分 设平面EFC的法向量为n=(x,y,g), n·EF=-x+y=0, B 则 n·EC-=x+2y-2x=0 令x=2,得n=(2,2,3).…10分 易得AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量. 11分 设平面EFC与平面PAB的夹角为0，则cos0= |n·AD 2/17 1n1AD1√/4+4+9×2 17 即平面EFC与平面PAB夹角的余弦值为2 17 …15分 18.解：)当n=3时，22，得3=212…1分 三4时，22，得a1=2a2=4 (2)当n为奇数时，设n=2k-1(k∈N),则数列{a-1}是首项为1，公比为q的等比数列， …3分 【高二数学·参考答案◇第3页（共5页）】 则ag-1=1…g1-q-1,即a,=g号.4分 当n为偶数时，设n=2k(k∈N),则数列{a2}是首项为2，公比为q的等比数列， …5分 则a6=2·g,即a,=2g1 …6分 gm为奇数， 因此，an= …7分 2g兰1，n为偶数. (3)当n为偶数时，设n=2m(m∈N),前2m项包含m个奇数项和m个偶数项，·8分 奇数项和S=1十q十g2+…十g1=1二9 1-q …9分 偶数项和Sg=2(1十g十g2+…十g-)=2.1g 1-9 ,…10分 所以5.=5%+5631=g2）,即5.=31二g) 1-9 1一q 12分 当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N*),S2m-1=S2m一a2m, 其中a2m=2gm-1,…13分 所以S2m-1= 31=g2）-2g-1-31-9)-29-1-92-3-g”-2g 1-q 1-q 1-q 5.-3-2-2 16分 1-9 3=9平-29m为奇数。 1-q 综上，当q≠1时，S, …17分 31-g 1-q 2,n为偶数. 18.①解：设P1.Q.若a=2以=，则A(-2,0.B2.0》k点：= 4 由十2‘”2一整理得+1=10≠0).即曲线E,的方程为写+y=1(y大 x1+2x1-2 0). …2分 同理.向‘产·得呼好=1≠0》.那街线无的方程为-y-1 4 0.…4分 8证明：不纺设头-会b>0,同1可得E+÷-1y≠0.E言-若-0*0以 …6分 【高二数学·参考答案◇第4页（共5页）】 由AQ+BQ=u(A户+BP),>1,可得O=,OP, 同(1)设P(x1y),Q(x2y),则(x2y2)=(x1y),即有- …7分 y1 y2 因为k1十k,=1十1=2y 2b2x1 xi+a'xi-a xi-a ……8分 a2y 同理k3十k4 2b2x2 9分 a"y2 所以k1十k2十k3十k4= 2bx1 2b2x2=0. 10分 a y aya 明：设Qx则由2)可得。-1w0 。…11分 设C(xy),D(x4y.因为A(-a,0),所以直线AQ的方程为y= (x十a)." x十a …………………………12分 224—1> 由 消去，得+1 y0(x十a), xo+a +a)2=1, 结合①，消去y,整理得(xx一a2)(x十a)=0, 二么代人直线AQ的方程，可得y=,即C(8,9.…… 同理可得直线BQ的方程为y= y0(x-a), …14分 xo-a b2 =1(y≠0)， 由 消去y,并结合①，消去y,整理得(xox一a2)(x一a)=0, yo y= (x-a), xo-a 同理可得D(a,一ay】 …15分 (a 易知直线CD与x轴垂直，且线段CD的中点M的坐标为(&，0)，…16分 故O.0夜=。·+。·0=a2,为定值 17分 【高二数学·参考答案◇第5页（共5页）】数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 四 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到选择性必修第二册第四章。 欧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.若直线x十my十9=0与(m一2)x十8y+5=0互相垂直，则m= 拟 A-号 B.-2 C.4 D 29 2.若数列{an}的前n项和Sn=3十2，则a2= A.2 B.4 C.6..1 D.8 3.若等比数列1a,}的公比为q,则0<q<兮”是“{a,}是递减数列的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 22 ,已知椭圆C十1@>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆C上，且E x轴，直线AB与y轴交于点P.若AB=7PB,则椭圆C的离心率为 线 A c 5,在四面体ABCD中，E,F分别为棱CD,BC的中点，则A范+号C+号D- 剂 A应 B.AE C.TAR D.AF 6.若抛物线y2=一28x上有一动点P,且焦点为F,A(一5,3)，则1PF1十|PA|的最小值为 A.10 B.17 C.12 D.22 【高二数学◇第1页（共4页）】 7已知数列a,十b,}是等差数列，数列a,-b,是等比数列，且a1=2.6=0,a=号b= , 则a9= A.28+147 B.298+148 C.29+147 D.29+148 y 8如图，已知双曲线C:。-1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点M与C的焦点不重合，点M关于F1,F2的对称点分别 为点A,B,线段MN的中点Q在C的右支上.若|AN|-|BN|= 42,则C的实轴长为 A42 B.21 C.63 D.84 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知双线C号苦=1.C苦-苦=1.C若-y=1,则 A.C1与C2的实轴长相等 B.C2与C3的焦点相同家 C.C1与C2的离心率相等 D.C1与C3的焦距相等 8.05 10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S1o>0,S1<0,则 A.a4十a8>0 B.公差d<0 C.S6是Sn中的最大值 D.as+as<0 1.已知曲线C.(2+-1)(2+号-1)=0，点A1(-5,0),AW5,0),B,0,-3), B2(0w3),D(0,2),M,N为C上关于y轴对称的两点，则中 A.C由两个离心率相等的椭圆组成 B.经过点A1的直线y=√2x+m与C有4个公共点 C存在四个点P,使得1IPA+|PA2-4|+11PB11+|PB21-4|=0 D.当△DMN为正三角形时，点D到直线MN的距离的最大值为4+6,5 13 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该 乒乓球第3次触地后弹起的高度为▲cm. 13.已知向量a=(1,2,3),b=(2,1,1),则向量a在向量b上的投影向量的模为△ 14.若点(2n,0)(n∈N)到双曲线x2一y2=1的渐近线的距离为an,则数列{an}的前n项和 S4=△_ 【高二数学◇第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.(13分) 在等差数列(an}中，a2=5,a6=11. (1)求{an}的通项公式， (2)设bn= ,(a1十2，求数列6，}的前n项和Tn… 16.(15分) 已知动点C是直线l上的任意一点，动圆C的半径r=3,直线x一y十2=0与动圆C相交 于A,B两点，且|AB|=2√7. (1)求直线l的方程； (2)若P(0,一3)在动圆C上，求此时圆C的方程. 17.（15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD,PA=4,AD= 2,E,F分别为PB,PD的中点. (1)证明：EF⊥PC (2)求平面EFC与平面PAB夹角的余弦值 【高二数学◇第3页（共4页）】 18.(17分) 已知数列1a,}满足a1=1,a=2,且8=q(m≥3，g≠0. an-2 (1)若q=2,求a3,a4; (2)求{an}的通项公式（用n和q表示）； (3)设{an}的前n项和为Sn,若q≠1，求Sn(用n和q表示). 19.(17分) 已知O为坐标原点，A(-a,0),B(a,0),a>0,动点P,Q满足kk4=一k1k2=入，λ>0，其中 1,k2,ka,k4分别是直线PA,PB,QA,QB的斜率.设动点P,Q的轨迹分别为曲线E1,E2 封 (1若a=2,以=}，求曲线E1,E:的方程， (2)若A0+B戒=μ(A户+B驴)，>1，证明：k1十k2十k,十k:为定值. (3)若直线QA,QB分别与曲线E1交于C,D两点，设M为线段CD的中点，当Q在曲线 E2上变化时，证明：OM.O成为定值 线 【高二数学◇第4页（共4页）】