安徽省黄山市屯溪第一中学2025-2026学年高二上学期10月教学质量检测数学试题

高二年级上学期10月教学质量检测 一、单选题（每题5分） 1．直线x+y﹣8=0的倾斜角是（D　　） A． B． C． D． 2．已知直线和直线，则“”是“”的（C    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（  A  ） A． B． C． D． 4．已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（  D  ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 5. 如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ D ） A. B. C. D. 6设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（   B ） A． B． C． D． 【解题思路】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得. 【解答过程】 如图，设点关于直线的对称点为， 则得，即， 由题意知与直线不平行，故， 由，得，即， 故直线的斜率为， 直线的直线方程为：， 令得，故， 令得，故由对称性可得， 由得，即， 解得，得或， 若，则第二次反射后光线不 7．已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（  B  ） A． B． C． D．0 【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【解答过程】如图，是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为, 设外接球球心为，则， 则 , 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为， 故选：B. 8．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（ D） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9.关于直线，以下结论正确的有( ACD   ) A. 时，直线l在两坐标轴上的截距相等 B. 直线l必过第二象限 C. 时，直线l不过第四象限 D. 时，直线I过第二、三、四象限 10．关于空间向量，以下说法正确的是（ACD    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　ABC　） A．直线D1D与直线AF不垂直 B．直线A1G与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题（每题5分） 12．已知直线，若，则 13.过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 2x-y=0或x+y-3=0 . 14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是 ①② ③ . 四、解答题（15题13分，16题15分，17提15分，18题17分，19题17分） 15(13分)已知在中，点，角A的角平分线为，AC边上的中线所在直线为求点A的坐标;求BC边所在直线方程. 解：设，由题意知A，C的中点在直线上，则有，， 点坐标为 由题意知C关于的对称点在直线AB上， 则有边AB所在直线方程为，即 联立方程有，解得 又，则BC所在直线方程为 16．（15分）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 17．（15分）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等．(1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 【解题思路】（1）先求出直线，的交点坐标，再设直线为，将交点坐标代入求出，从而可求出直线的方程； （2）设直线l交直线，分别于点，则有，，，从而可求出两点的坐标，则可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【解答过程】（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得， 所以直线，的交点坐标为， 由题意设直线为，则，得， 所以直线的方程为； （2）设直线l交直线，分别于点， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以，即， 由，解得， 所以，所以， 所以， 所以直线的方程为，即 18．如图，三棱柱中，平面，，．过侧棱的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点． (1)求证：; (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）在三棱柱中，平面平面， 所以平面． 又平面平面平面，所以． 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以． 所以四边形为平行四边形．所以． （2）在平面内过点作， 因为平面，平面，所以，． 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为， 所以， ． 因为， 所以， ． 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，， 所以为平面的一个法向量． 而，设直线与平面所成角为， 于是得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19．如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【解答】解：过A作AE⊥CD于点E，则DE＝1，以A为原点，AE、AB、AP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（0，1，0），E（，0，0），D（，﹣1，0），C（，1，0），P（0，0，1）， ∵N为PD的中点，∴N（，，）． （1）（，，），（0，﹣1，1），（，0，0）． 设平面PBC的法向量为（x，y，z），则， 令y＝1，则x＝0，z＝1，∴（0，1，1）， ∴•0，即⊥， 又AN⊄平面PBC，∴AN∥平面PBC． （2）由（1）知，（0，0，1），（，﹣1，0）， 设平面PAD的法向量为（a，b，c），则， 令a＝1，则b，c＝0，∴（1，，0）， ∴cos，． 故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为． （3）令λ，λ∈[0，1]，设M（x，y，z）， ∴（x，y+1，z）＝λ（，1，1），∴M（，λ﹣1，λ）， ∴（，λ﹣2，λ）． 由（1）知，平面PBC的法向量为（0，1，1）， ∵直线CM与平面PBC所成角的正弦值为， ∴||，化简得21λ2﹣50λ+24＝0，即（3λ﹣2）（7λ﹣12）＝0， ∵λ∈[0，1]，∴λ， 故 试卷第4页，共4页 试卷第2页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期10月教学质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分） 1．直线x+y﹣8=0的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 2．已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 5. 如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6设直线 ， 一束光线从原点 出发沿射线 向直线 射出， 经 反射后与 轴交于点 ， 再次经 轴反射后与 轴交于点 . 若 ， 则 的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 8．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9.关于直线，以下结论正确的有(    ) A. 时，直线l在两坐标轴上的截距相等 B. 直线l必过第二象限 C. 时，直线l不过第四象限 D. 时，直线I过第二、三、四象限 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 11．正方体﹣的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点．则（）　　 A．直线与直线AF不垂直 B.直线与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题（每题5分） 12．已知直线，若，则 13.过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 14．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题（15题13分，16题15分，17提15分，18题17分，19题17分） 15(13分)已知在中，点，角A的角平分线为，AC边上的中线所在直线为 (1) 求点A的坐标; (2) 求BC边所在直线方程. 16．（15分）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值 17．（15分）已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等． (1)求直线的方程； (2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程． 18（17分）．如图，三棱柱中，平面，，．过侧棱的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点． (1) 求证：; (2) 若，求直线与平面所成角的正弦值． 19(17分)．如图，在四棱锥中，平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司高二数学试题 第2页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $