2026年中考数学一轮复习讲义(核心考点+模拟真题突破) 专题24正方形 全国通用版

专题24正方形中考一轮复习 【8大典题模拟真题共计48题】 ●分值占比:正方形是中考四边形板块的核心内容，总分值约 15-20 分，覆盖选择、填空、解答（含压轴）三种题型，常与三角形、圆等图形结合综合考查。 ●常考考点:聚焦正方形基本性质（边、角、对角线的特征）、正方形的判定方法、正方形与全等 / 相似三角形的结合应用、图形变换（折叠 / 旋转 / 平移）与正方形的综合、正方形与圆 / 三角形 / 其他四边形的综合探究、面积与周长计算、动态动点问题与正方形结合七大方向。 ●命题趋势:基础题侧重正方形定义、性质与判定的直接应用；中档题强化逻辑推理与方法迁移，常结合图形变换或简单的全等 / 相似关系考查；难题多为正方形与函数、圆、三角形等多模块知识的综合，且图形变换、实际场景、动态探究类题型占比逐年提升，对几何直观与综合分析能力要求较高 . 知识点01.正方形的定义 知识点02.正方形的性质 知识点03.正方形的判定 知识点04.常考计算结论 模拟01.正方形性质基础题 模拟02.正方形与折叠问题 模拟03.正方形与全等/相似三角形 模拟04.正方形与勾股定理 模拟05.正方形与四边形综合 模拟06.正方形与圆/扇形综合 模拟07.正方形与坐标/函数综合 模拟08.正方形综合压轴题 【知识点01.正方形的定义】 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，是平行四边形的终极特殊形式。 【知识点02.正方形的性质(全考点,必考点)】 正方形兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，核心性质如下： 1.边：四条边都相等，对边平行，邻边互相垂直； 2.角：四个角都是直角（90°）； 3.对角线：互相平分、互相垂直、相等，且每条对角线平分一组对角；对角线把正方形分成 4 个全等的等腰直角三角形； 4.对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形（有4 条对称轴：两条对角线 + 两组对边的垂直平分线）。 【知识点03.正方形的判定(中考证明核心,三步走)】 判定核心：先证是平行四边形，再证是矩形 / 菱形，最后证为正方形（三选一即可）： 法 1：平行四边形+ 一组邻边相等 + 一个角是直角； 法 2：矩形+ 一组邻边相等（或对角线互相垂直）； 法 3：菱形+ 一个角是直角（或对角线相等）。 【知识点04.常考计算结论】 设正方形的边长为 a，则： 对角线长：； 面积：S=a2=d2（d为对角线长）； 周长：4a； 对角线交点到各顶点的距离：a。 【知识点05.中考易错点】 1.判定正方形时，忽略先证平行四边形，直接由 “邻边相等 + 直角” 判定，导致逻辑错误； 2.混淆正方形与菱形 / 矩形的性质：如误认为 “菱形对角线相等”“矩形对角线互相垂直”； 3.计算面积时，误用 “对角线相乘” 代替 “对角线相乘再除以 2”； 4.数对称轴时，漏数对边垂直平分线，只算 2 条对角线。 【模拟01.正方形性质基础应用】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线交点为坐标原点O，点A，C在x轴上，点B，D在y轴上，若正方形的边长为2，则顶点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出对角线的长，再求出的长即可求得A点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边长为2， 所以， 所以， 因为正方形的对角线交点为坐标原点O， 所以A点的坐标为 故答案为：． 2．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是证明为等边三角形，再利用勾股定理来进行求解． 【详解】解：连接， 在正方形中， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 3．如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等．根据正方形的四个角都是，四条边都相等，对角线平分对角得出，，，根据等边三角形的三个角都是，三条边都相等得出，，求出，，根据等边对等角和三角形内角和是求出，即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，， 故， ∴． 故答案为：． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一组邻边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，错误，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形，错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意； 故选：D． 5．在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了正方形的判定定理，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定定理即可得出结论． 【详解】四边形是矩形， 添加一个条件：， 四边形是正方形， 故答案为：（答案不唯一）． 【模拟02.正方形与折叠问题】 7．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 8．如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 9．如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠可得，再根据三角形的外角性质及折叠的性质得到，进而可得，求解即可． 本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质及正方形的性质，解直角三角形． 【详解】解：由折叠可得 正方形中，E是边的中点， ∴ ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），正方形的性质，勾股定理，设的长度为．利用正方形的性质推导出，，在中，，代入数据解答即可． 【详解】解：设的长度为． 四边形是正方形， ． 是的中点， ． ， ． 在中，， ． ． ． 故选：D． 11．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 12．小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展． 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，将沿翻折，得到． (1)问题解决：当点关于的对称点恰好落在边上时，四边形是________形； (2)问题探究：在（1）的条件下，是边上一定点，连接，作关于的对称线段，连接，射线交射线于点，连接．当点落在边上时，如图①，求的度数； (3)拓展延伸：如图②当点不在边上时，直接写出的值． 【答案】(1)正方 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，折叠的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键． （1）由折叠可知，再证明是等腰直角三角形，得到，从而得到四边形是菱形，结合可知四边形是正方形； （2）过点E作，垂足为H．折叠及对称性可知，设，则，继而求出，，再根据对称性可得，从而运用三角形的内角和定理求出即可； （3）过点E作于点H．设，则．得．得，得，得，得，得，： 【详解】（1）在矩形中，，，， 由折叠可知：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方； （2）解：由（1）得：四边形是正方形， ∴， 过点E作，垂足为H． 折叠及对称性可知，设，则， ∴， ∴， ∵、关于对称， ∴ ∴， ∴； （3）解：如解图，过点E作于点H． 由对称的性质可知，， 设， ∴， ∴． ∵， ∴． 由（1）知，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 13．如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 【答案】3或6 【分析】本题考查了矩形与折叠，涉及了勾股定理，正方形的判定与性质，注意分类讨论；掌握折叠的性质是解题关键．分两种情况：；，利用矩形的性质，折叠的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：若，如图， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知：， ∴A、E、C三点共线， 由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，, 即， 解得：， 即； 若，如图， 则， ∴四边形为矩形， 由折叠知，， ∴四边形为正方形， ∴； 综上，的长为3或6； 故答案为：3或6． 【模拟03.正方形与全等/相似三角形】 14．如图，在正方形 中，点 分别在边 上，且 连接 点 在 上，且 ，连接 并延长交 的延长线于点 ， 则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题的关键． 先证明证明，交于点P，过点C作交于点H， 得四边形是平行四边形，推出，证明，得到，根据余角的性质证得，推出，由知，得到，推出是等腰直角三角形，且，即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设交于点P，过点C作交于点H， ∵在正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴． 故选：D． 15．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 首先利用正方形的性质进行角度转化，得到，再利用相似比求得的长度，即可求得的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，过点作，的延长线交于点，设，，则，，，，，， 证明和全等得，，则，进而得，证明是线段的垂直平分线，则，在中，由勾股定理得，整理得，解这个关于的方程得，则，由此得正方形的面积 ，正方形的面积，据此即可得出的值． 【详解】解：连接，过点作，的延长线交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形都是矩形， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得：， 解这个关于的方程得，或（不合题意，舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形的面积， ∵， ∴正方形的面积， ∴， 故答案为：． 17．如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形相似的性质和判定，三角形全等的性质和判定，正方形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点E，可证，则，可证，则，则题目可解． 【详解】解：延长交于点E，如图， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ． 故选：A． 18．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为 ． 【答案】或1- 【分析】分两种情形: ①如图1中, 当FA=FB时, 由ΔDCE≌ΔEMF, 推出FM=BM, 推出四边形BMNF是正方形即可解决问题.(2)如图2中,当BA=BF时,根据CE=BM=FN即可解决问题. 【详解】解： 如图1中,当FA=FB时,作FN⊥AB于N,FM⊥CB于M, 四边形ABCD、DEFG是正方形, ∠C=∠DEF=∠M=∠ABC=,DE=EF,DC=BC, ∠DEC+∠FEM=, ∠CDE+∠DEC=， ∠CDE=∠FEM , 在ΔDCE和ΔEMF中, ∠C=∠M，∠CDE=∠FEM ,DE=EF ΔDCE≌ΔEMF, FM=CE,CD=EM=BC BM=EC=FM , ΔBMF是等腰直角三角形, ∠FBM=∠FBN=, ∠FNB=,FA=FB, AN=BN=NF= ∠M=∠MBN=∠BNF=,四边形BMFN是矩形, NF=NB, 四边形BMFN 是正方形, BM=FN= CE=EB= ②如图2中, 当BA=BF时,由(1)可知,ΔBNF是等腰直角三角形, BF=AB=1, BM=CE=FN=, EB=BC-CE=1- 故答案为或1-. 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形全等. 19．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质，矩形的性质，说明O为中点，G为中点，从而可得是中位线，根据中位线的性质可得，从而可得， 故答案为： （2）先证明四边形是正方形，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，进面可得； （3）先根据正方形的性质得出，，再设，从而可用表示出，借助勾股定理可用表示出，再用表示出，即可求得． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，即O为中点， ∵四边形是矩形， ∴，即G为中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点P作于点M，于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，平分，垂直平分， ，， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴； （3）如图，过点P作于点M，于点N， 由（2）得，四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质综合（），解题关键是掌握上述知识点求解． 20．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例. 过点作于， 作于点，首先证四边形为正方形，再设则 ，然后证和相似，由相似三角形的性质求出，进而在中由勾股定理即可求出． 【详解】解：过点作于， 作于点，    ∵四边形为正方形， ， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵平分， ， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 故答案为： ． 【模拟04.正方形与勾股定理】 21．在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、三角形的内切圆，根据正方形的性质及已知条件判断E为正方形的中心，为等腰直角三角形，根据等面积法即可求出内切圆的半径． 【详解】解：如图： ∵正方形的对角线互相垂直且平分，，为等腰三角形， ∴E即为正方形的中心， ∴为等腰直角三角形， 其中， 设的内切圆半径为r，周长为C， 则利用等面积法可得， 则， 故选：D． 22．如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，若正八边形的边长为2，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和、正方形的性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点、作出适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，先求出正八边形的每个内角为，根据正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，求出，，在中，求出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 八边形是正八边形，正八边形的边长为2， ，， 四边形是菱形，四边形、四边形是正方形， ，，， ， 在中，，， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 23．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 24．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 25．某同学参考“赵爽弦图”，在正方形中，连结，相交于点，分正方形为四个全等的直角三角形，向外延长正方形的边至点，，，，使，得到如图所示的“数学风车”．记四边形的面积为，的面积为，若，则的值为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过O作OM垂直AD于点M，延长MO交BC于点N，则MN⊥BC，先证得△AOE≌△DOH，可得∠AOP=∠DOH，从而得到△AOP≌△DOQ，进而得到S△AOP=S△DOQ，可得到，再求出，即可求解． 【详解】解：如图，过O作OM垂直AD于点M，延长MO交BC于点N，则MN⊥BC， 在正方形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，AO=BO=DO=CO，∠OAP=∠ODQ=45°，，△BOC为等腰直角三角形， ∴∠OAE=∠ODH=135°，OM=ON， ∵AE=DH， ∴△AOE≌△DOH， ∴∠AOP=∠DOH， ∴△AOP≌△DOQ， ∴S△AOP=S△DOQ， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键． 26．如图1，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)________°； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图2，在中，，底边上的高，，则的长度是________． 【答案】(1)45； (2)①见解析；②DF的长为2； (3)． 【分析】（1）根据平角的定义得出，由角平分线的定义求出，最后再由三角形内角和定理即可得解； （2）①作于，先证明四边形为矩形，再由角平分线的性质定理得出，即可得证；②设，由正方形的性质得出，证明，得出，同理可得：，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，设，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：作于， 则， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，外角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形； ②设， ∵， ∴， 由①得四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； （3）解：如图，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠得：， ，， ， 由（2）得：四边形是正方形， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题关键． 【模拟05.正方形与四边形结合】 27．一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三视图求面积、正方形的性质；观察该几何体及其三视图可知，该几何体为底面是正方形的长方体，且正方形的对角线长为2，该长方体的高为3，进而求得侧面积，即可求解． 【详解】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且对角线长为2，该长方体的高为3， ∴正方形的边长为， 故其侧面积为． 故选：C． 28．如图，在正六边形和正方形中，点G、H在正六边形的内部，连结并延长交于点N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和问题、正方形的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．根据正六边形的内角和为，得到，根据正方形的性质得到，再利用四边形的内角和为，即可求解． 【详解】解：∵正六边形的内角和为， ∴， ∵正方形， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴ ． 故选：D． 29．如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则 ； （2）若，，则 ． 【答案】 /45度 【分析】（1）根据题意可得点A，B，F，P均在以为直径的圆上，再由圆周角定理，即可求解； （2）连接，过点P分别作于点Q，于点K，可得四边形为矩形，从而得到，证明，可得，从而得到，进而得到，再由均为等腰直角三角形，可得，再由勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理解答即可．． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵，即， ∴点A，B，F，P均在以为直径的圆上， ∴； 故答案为： （2）如图，连接，过点P分别作于点Q，于点K， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 30．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 31．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】该题考查了正方形的性质和判定，反比例函数的图象和性质，先证明四边形是正方形，得出，再根据点在双曲线上，求解即可． 【详解】解：根据题意可得， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∵点在双曲线上， ∴， 解得：或， ∵点在第一象限内， ∴， 故选：A． 32．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 33．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 【详解】解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 34．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 【详解】解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 【模拟06.正方形与圆/扇形综合】 35．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、求扇形面积等知识点，弄清图形间的面积关系是解题的关键． 根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据求解即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴的半径为：， ∵过点O， ∴根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，即， ∴阴影部分面积为： ． 故选：A． 36．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，从而可得，再证明四边形是正方形，从而可得，再根据当、、三点共线时，最短，利用勾股定理求得，从而可求得的最小值． 【详解】解：作O关于的对称点，连结，，，， 则，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为D′， ∴为的圆心， ∵是等腰直角三角形的外接圆， ∴，，为斜边的中点， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 当、、三点共线时，最短， 此时，， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质与判定求线段长，点与圆上一点的最值问题，折叠问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 37．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、正方形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先连接，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形的面积，然后代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如图所示， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，和全等， ， 故选：A． 38．如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】​ 【分析】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，翻折变换，正方形的判定与性质，解决本题的关键是掌握扇形面积的相关计算． 作O点关于的对称点，连接，可得四边形为菱形，再根据圆的切线的性质可得四边形为正方形，则，最后由阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：如图，作O点关于的对称点，连接， ∵， ∴四边形为菱形， ∵折叠后的与相切， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 39．如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】. 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，扇形的面积公式，勾股定理，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据，，以及角平分线的性质即可得到四边形是正方形，进而根据正方形的性质得到，最后利用扇形的面积公式减去正方形的面积即可解答． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【模拟07.正方形与坐标/函数综合】 40．在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、坐标与图形、二次函数的应用及旋转的性质是解题的关键； （1）由正方形的性质可知，然后问题可求解； （2）①过点作轴于点，由旋转可得：，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解；②由旋转的性质得：，则可证，然后可得是等腰直角三角形，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：正方形的顶点的坐标为， ∴， ∵点在第一象限，点在轴正半轴上， ，， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴于点， 由旋转可得：， ， ，即， ， ， 故答案为：，； ②根据题意，由旋转的性质得：， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ， 当点与重合时，， 又， ， 旋转角为， ， ． 41．如图，在边长为的正方形中，为边上的中点，过点作的垂线分别交和的延长线于点，，点在线段上运动（不与端点重合），点，分别为，的中点．在点运动过程中，当成为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，直角三角形的存在性；得出，转化为的长是解题关键． 过点作直线于点，由点是的中点可得，由此可得点一定在上且求出的长即可．当是直角三角形时，分两种情况讨论即可． 【详解】解：过点作直线于点，则， ∴，则， 点是的中点， ，； 点是的中点， ，， 在正方形中，，， ，又， ， ，即， ，， ， 点是的中点， ； 过点作于点， ∴， ，即， ，； ； 当点是直角顶点，如图，延长交于点， ， ，四边形是矩形， ，， ，， ，即， ． ， ； 当点是直角顶点， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得或， 或． 故答案为：或或． 42．在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可． 【详解】选项A条件： （邻边相等）且（对角线垂直）． 结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。 选项B条件： （邻边垂直）且（对角线相等）． 结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形． 选项C条件： （对角线相等，即）且（邻边相等）． 结论：，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形． ，邻边相等，说明是菱形． 既是菱形又是矩形，因此能推出正方形． 选项D条件： （对角线相等）且（重复对角线相等）． 结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形． 故选：C． 43．如图①，是形如“”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为的正方形中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意得出，，，，，先由勾股定理求出，再证，，根据相似三角形的性质可得，，最后根据正方形的边长为得到，解方程即可得到的值． 【详解】解：依题得：，，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 即， 解得． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解一元一次方程、正方形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 44．如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形． ∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为． 故选：A． 【模拟08.正方形综合压轴题】 45．如图，在正方形中，点M是线段延长线上的一点，线段与，分别交于点P，H，过点P作的垂线交于点N，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，过点P作的垂线分别与，交于S，T．证明，得出，，证明，得出，则，根据三线合一性质得出，同理证明四边形是矩形，得出，，则，设，则，，，．证明，根据相似三角形的性质得出，求出，则，根据平行线分线段成比例求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点P作的垂线分别与，交于S，T． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 同理四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 化简得，解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 46．如图，正方形中，点在对角线上，过点作于，交边于点，连接． (1)求的度数； (2)如图，过点作于，求证：； (3)如图，若交于点，，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积为 【分析】（）过作，交于点，则，由正方形性质可得，，故有，则四边形是矩形，所以，，再证明，故，然后由等边对等角即可求解； （）过作，交于点，则，由（）得，，，则有，再证明，又，从而证明，则有，然后通过勾股定理求出，，然后代入即可求证； （）连接，过作于点，则，由将沿翻折，得到，于，所以，，，得到，，所以，然后证明，根据性质可得，又因为点是边的中点，所以，得到，，通过勾股定理得，，求即可． 【详解】（1）解：如图，过作，交于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，交于点，则， 由（）得，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过作于点，则， ∵将沿翻折，得到，于， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由（）得：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了正方形与折叠，轴对称的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 47．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕，若正方形与五边形面积相等， （1） ；（2）的值是 ． 【答案】 【分析】（1）连接，如图所示，由题意可知，三点共线，根据正方形性质及等腰直角三角形的判定与性质求出相关角度，最后由邻补角定义求解即可得到答案； （2）连接，设直线与边的交点为，如图所示，根据剪纸的过程以及折叠的性质得，且正方形的面积正方形的面积，从而用分别表示出线段和线段的长即可求解． 【详解】解：（1）连接，如图所示： 由题意可知，三点共线， 在正方形中，，则， ， 故答案为：； （2）连接，设直线与边的交点为，如图所示： 由折叠可知点四点共线，且， 设正方形的边长为，则正方形的面积为， ∵正方形与五边形面积相等， ∴由折叠可知，正方形的面积正方形的面积， ∴正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，由剪纸的过程得到图形中边的关系是解题关键． 48．如图，、、分别与相切，切点分别为A、B、C，点 D、E 分别在、上，且．若的周长为4， ，则图中阴影部分（、与 所围）的面积为（   ） A． B． C．π-3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，圆的切线的性质，解直角三角形的应用，扇形面积公式，掌握切线长定理是解题关键．连接、，根据切线的性质，证明四边形是正方形，由的正切值设，，则，再结合的周长，求出的值，得出，利用切线长定理，得到，，，进而得到，则，最后利用阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 、分别与相切，切点分别为A、C，且， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， 在中，， 设，， ， 的周长为4， ， ， ， 、、分别与相切，切点分别为A、B、C， ，，， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：A 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24正方形中考一轮复习 【8大典题模拟真题共计48题】 ●分值占比:正方形是中考四边形板块的核心内容，总分值约 15-20 分，覆盖选择、填空、解答（含压轴）三种题型，常与三角形、圆等图形结合综合考查。 ●常考考点:聚焦正方形基本性质（边、角、对角线的特征）、正方形的判定方法、正方形与全等 / 相似三角形的结合应用、图形变换（折叠 / 旋转 / 平移）与正方形的综合、正方形与圆 / 三角形 / 其他四边形的综合探究、面积与周长计算、动态动点问题与正方形结合七大方向。 ●命题趋势:基础题侧重正方形定义、性质与判定的直接应用；中档题强化逻辑推理与方法迁移，常结合图形变换或简单的全等 / 相似关系考查；难题多为正方形与函数、圆、三角形等多模块知识的综合，且图形变换、实际场景、动态探究类题型占比逐年提升，对几何直观与综合分析能力要求较高 . 知识点01.正方形的定义 知识点02.正方形的性质 知识点03.正方形的判定 知识点04.常考计算结论 模拟01.正方形性质基础题 模拟02.正方形与折叠问题 模拟03.正方形与全等/相似三角形 模拟04.正方形与勾股定理 模拟05.正方形与四边形综合 模拟06.正方形与圆/扇形综合 模拟07.正方形与坐标/函数综合 模拟08.正方形综合压轴题 【知识点01.正方形的定义】 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，是平行四边形的终极特殊形式。 【知识点02.正方形的性质(全考点,必考点)】 正方形兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，核心性质如下： 1.边：四条边都相等，对边平行，邻边互相垂直； 2.角：四个角都是直角（90°）； 3.对角线：互相平分、互相垂直、相等，且每条对角线平分一组对角；对角线把正方形分成 4 个全等的等腰直角三角形； 4.对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形（有4 条对称轴：两条对角线 + 两组对边的垂直平分线）。 【知识点03.正方形的判定(中考证明核心,三步走)】 判定核心：先证是平行四边形，再证是矩形 / 菱形，最后证为正方形（三选一即可）： 法 1：平行四边形+ 一组邻边相等 + 一个角是直角； 法 2：矩形+ 一组邻边相等（或对角线互相垂直）； 法 3：菱形+ 一个角是直角（或对角线相等）。 【知识点04.常考计算结论】 设正方形的边长为 a，则： 对角线长：； 面积：S=a2=d2（d为对角线长）； 周长：4a； 对角线交点到各顶点的距离：a。 【知识点05.中考易错点】 1.判定正方形时，忽略先证平行四边形，直接由 “邻边相等 + 直角” 判定，导致逻辑错误； 2.混淆正方形与菱形 / 矩形的性质：如误认为 “菱形对角线相等”“矩形对角线互相垂直”； 3.计算面积时，误用 “对角线相乘” 代替 “对角线相乘再除以 2”； 4.数对称轴时，漏数对边垂直平分线，只算 2 条对角线。 【模拟01.正方形性质基础应用】 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线交点为坐标原点O，点A，C在x轴上，点B，D在y轴上，若正方形的边长为2，则顶点A的坐标为 ． 2．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接，，若，，则的长为 ． 3．如图，在正方形的内部作等边三角形，连接，，对角线交于于点，则的度数是 ． 4．下列说法中，正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 5．在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（   ） A．，， B．， C．， D．，， 6．如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）． 【模拟02.正方形与折叠问题】 7．如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 8．如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，E 是边的中点，将沿直线翻折，点A落在点F 处， 连接，那么的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 10．如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 11．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 12．小星根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展． 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，将沿翻折，得到． (1)问题解决：当点关于的对称点恰好落在边上时，四边形是________形； (2)问题探究：在（1）的条件下，是边上一定点，连接，作关于的对称线段，连接，射线交射线于点，连接．当点落在边上时，如图①，求的度数； (3)拓展延伸：如图②当点不在边上时，直接写出的值． 13．如图，矩形纸片，．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接，当是直角三角形时，那么的长为 ． 【模拟03.正方形与全等/相似三角形】 14．如图，在正方形 中，点 分别在边 上，且 连接 点 在 上，且 ，连接 并延长交 的延长线于点 ， 则 的度数为（     ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，作于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 16．如图，已知正方形与正方形，，分别是，的中点，当点落在线段上时，点恰好在上．记正方形的面积为，正方形的面积为，则 ． 17．如图，正方形中，M是上一点，于点P，延长交于点Q，且，求的值（　　） A． B． C． D． 18．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为 ． 19．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 20．如图，在正方形中，，延长至E，使，连接，平分交于F，连接，则的长为 ．    【模拟04.正方形与勾股定理】 21．在边长为4的正方形内有一个等腰，连接，若，则内切圆的半径为（    ） A． B．1 C． D． 22．如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，若正八边形的边长为2，则菱形的面积为 ． 23．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ）    A． B． C． D．1 24．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 25．某同学参考“赵爽弦图”，在正方形中，连结，相交于点，分正方形为四个全等的直角三角形，向外延长正方形的边至点，，，，使，得到如图所示的“数学风车”．记四边形的面积为，的面积为，若，则的值为（ 　 ） A． B． C． D． 26．如图1，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，为垂足． (1)________°； (2)①求证：四边形是正方形． ②若，求的长． (3)如图2，在中，，底边上的高，，则的长度是________． 【模拟05.正方形与四边形结合】 27．一个几何体的三视图如图，若其俯视图为正方形，则这个几何体的侧面积是（　　） A．32 B．16 C． D．8 28．如图，在正六边形和正方形中，点G、H在正六边形的内部，连结并延长交于点N，则（    ） A． B． C． D． 29．如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于G， （1）则 ； （2）若，，则 ． 30．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，轴，轴，，分别以点、点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，若点在双曲线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 33．如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【模拟06.正方形与圆/扇形综合】 35．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 36．如图，是等腰直角三角形的外接圆，，．点D在劣弧上，将劣弧与弦组成的弓形沿弦折叠，点D的对应点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．如图，半径为6的扇形中，，C是上一点，，，垂足分别为D，E，若，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 38．如图，在半径为4的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的所在的圆恰好与相切，A，B为切点，则阴影部分的面积等于 ． 39．如图，在扇形中，，，的平分线交弧于点，过点作于点，于点，则图中阴影部分的面积为 ． 【模拟07.正方形与坐标/函数综合】 40．在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点在第一象限，点在轴正半轴上． (1)如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，，，的对应点分别为，，．旋转角为，的延长线交轴于点，与轴交于点． ①如图②，当时，点的坐标为________，点的坐标为________； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于的函数表达式，并直接写出的取值范围． 41．如图，在边长为的正方形中，为边上的中点，过点作的垂线分别交和的延长线于点，，点在线段上运动（不与端点重合），点，分别为，的中点．在点运动过程中，当成为直角三角形时，的长为 ． 42．在平行四边形中，对角线相交于点，下列条件中，能推出四边形是正方形的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 43．如图①，是形如“”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为的正方形中，则的值为（    ） A． B． C． D． 44．如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（   ） A． B． C． D． 【模拟08.正方形综合压轴题】 45．如图，在正方形中，点M是线段延长线上的一点，线段与，分别交于点P，H，过点P作的垂线交于点N，连接，若，则 ． 46．如图，正方形中，点在对角线上，过点作于，交边于点，连接． (1)求的度数； (2)如图，过点作于，求证：； (3)如图，若交于点，，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，求的面积． 47．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕，若正方形与五边形面积相等， （1） ；（2）的值是 ． 48．如图，、、分别与相切，切点分别为A、B、C，点 D、E 分别在、上，且．若的周长为4， ，则图中阴影部分（、与 所围）的面积为（   ） A． B． C．π-3 D． 试卷第66页，共66页 试卷第65页，共66页 学科网（北京）股份有限公司 $