2026年中考数学一轮复习讲义(核心考点+模拟真题突破)专题19勾股定理及逆定理（全国通用版）

专题19勾股定理及逆定理中考一轮复习讲义 【8大模拟真题共计55题】 · 分值占比：勾股定理及逆定理是中考核心几何考点，总分值约 3-8 分，覆盖选择、填空、解答（含综合压轴）三种题型。 · 常考考点：聚焦直角三角形边长计算、三角形形状判定、折叠 / 动点等变换综合、实际应用（航海 / 测量 / 最短路径）、与全等 / 四边形 / 函数的综合题、勾股数创新应用六大方向。 · 命题趋势：基础题侧重定理直接应用与勾股数识别，中档题强化数形结合与方程思想，难题多为几何变换、函数与几何的综合，且结合实际场景的建模题型占比逐年提升。 题型01 直角三角形直接计算............................................................................4 题型02 三角形形状判定....................................................................................9 题型03 折叠变换综合题...................................................................................16 题型04 动点问题综合.......................................................................................24 题型05 实际应用问题.......................................................................................35 题型06 勾股数创新应用...................................................................................41 题型07 与几何图形/函数/坐标综合.................................................................46 题型08 最短路径问题........................................................................................61 【知识点01.勾股定理】 1.内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2。 2.适用范围：仅限直角三角形，且c为斜边。 3.证明方法（中考常考面积法） 赵爽弦图：以直角三角形的斜边为边长作正方形，用四个全等的直角三角形拼接，利用大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积推导。 4.常见勾股数（正整数组，需牢记） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41 倍数组：若a,b,c是勾股数，则ka,kb,kc（k为正整数）也是勾股数，如 6,8,10；10,24,26 【知识点02.勾股定理的逆定理】 1.内容： 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长为c的边所对的角为直角。 2.作用：判断一个三角形是否为直角三角形（非直角三角形的判定依据）。 3.解题步骤 (1)确定最长边c； (2)计算a2+b2和c2的值； (3)比较两者是否相等，若相等则为直角三角形，否则不是。 【知识点03.勾股定理与逆定理的关系】 勾股定理 勾股定理的逆定理 由 “直角三角形” 得 “三边数量关系” 由 “三边数量关系” 得 “直角三角形” 性质定理 判定定理 【知识点04.易错点总结】 一、概念类 1.乱套定理：在非直角三角形里直接用 a2+b2=c2 ✅ 避坑：先确认是直角三角形，非直角三角形先作高构造直角三角形。 2.找错直角：用逆定理时，把非最长边对应的角当成直角 ✅ 避坑：先找最长边，满足 a2+b2=c2 时，最长边对的角才是直角。 3.错认勾股数：把非正整数（如 2,3,​）当成勾股数 ✅ 避坑：勾股数必须是正整数且满足平方和关系。 二、计算类 1.平方 / 开方算错：如 错算成 13−5 ✅ 避坑：分步计算，先平方再加减，最后开方，算完验证结果。 2.保留负根：解方程求边长时不舍去负根 ✅ 避坑：线段长度为正，负根直接舍去。 三.图形应用类 1.折叠找错对应边：折叠后混淆相等的边 / 角 ✅ 避坑：先在图中标注折叠后的对应边、角，再列勾股定理方程。 2.动点漏分类：直角三角形动点问题只考虑一种直角顶点 ✅ 避坑：先明确直角顶点的所有可能位置，逐一分析。 3.实际建模错：航海 / 最短路径问题中方向、展开图对应错 ✅ 避坑：先画示意图，标注方向、边长；圆柱展开时看清 “底面周长” 与 “高”。 【模拟01.直角三角形边长直接计算】 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 2．（2025·甘肃天水·一模）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（　　）米． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 3．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 5．（2025·四川南充·二模）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 6．（2020·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，，上一点，满足，，则 ．    7．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 8．（2025·安徽芜湖·二模）如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【模拟02.三角形状判定】 9．（2025·山西临汾·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 10．（2025·山东临沂·二模）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 11．（2025·广西南宁·三模）如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． (1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求等腰的面积． 12．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 14．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 15．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 【模拟03.折叠变换综合题】 16．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·广东东莞·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为 ． 18．（2025·云南昆明·一模）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2 19．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 20．（2025·北京·二模）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 21．（2025·山东青岛·二模）【问题背景】 如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图. 【问题探究】 （1） ______ ； （2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ． 【拓展延伸】 在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ． 【模拟04.动点问题综合】 22．（2025·四川宜宾·三模）如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是 ． 23．（2025·湖北襄阳·二模）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·四川成都·二模）如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为 ；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为 ． 25．（2025·安徽滁州·三模）如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 26．（2025·吉林长春·期末）如图，中，，，，动点P从点A出发，沿折线 以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．D是的中点，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒．（） (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当点E落在边上时，求t的值． (3)当点P在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为y，求y与t之间的函数关系式． (4)当点E到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出t的值． 【模拟05.实际应用问题】 27．（2025·山西太原·二模）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 28．（2025·吉林·二模）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 29．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 30．（2025·福建莆田·二模）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 31．（2025·四川广元·一模）如图，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为．若的长为，试问鱼竿有多长？设长为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2025·广西贵港·一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·湖北黄冈·二模）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【模拟06.勾股数创新应用.】 34．（2025·浙江·二模）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 35．（2025·河北廊坊·一模）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 36．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 37．（2025·河南·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 38．（2025·广东深圳·三模）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 39．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【模拟07.与几何图形/函数/坐标综合】 40．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 41．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是 ． 42．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为 ． 43．（2025·安徽淮南·二模）在矩形中，为对角线上一点（），连接，过点作交的延长线于点，交于点，设． (1)如图1，已知． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）求证：． (2)如图2，若，，求的值． 44．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 45．（2025·河南安阳·二模）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 46．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 47．（2025·浙江·模拟预测）有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 48．（2025·浙江杭州·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．如图是由四个全等的直角三角形（）拼接而成，直线与分别交于点M，N，已知，则正方形与正方形的面积比为（    ） A． B． C． D． 49．（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【模拟08.最短路径问题.】 50．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 51．（2025·广西桂林·二模）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 52．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 53．（2025·浙江台州·二模）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 54．（2025·河南郑州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作， 连接交于点F， 则弧的长是 ． 55．（2025·广西南宁·二模）消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米． (1)求此时消防车的位置与楼房的距离的长； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19勾股定理及逆定理中考一轮复习讲义 【8大模拟真题共计55题】 · 分值占比：勾股定理及逆定理是中考核心几何考点，总分值约 3-8 分，覆盖选择、填空、解答（含综合压轴）三种题型。 · 常考考点：聚焦直角三角形边长计算、三角形形状判定、折叠 / 动点等变换综合、实际应用（航海 / 测量 / 最短路径）、与全等 / 四边形 / 函数的综合题、勾股数创新应用六大方向。 · 命题趋势：基础题侧重定理直接应用与勾股数识别，中档题强化数形结合与方程思想，难题多为几何变换、函数与几何的综合，且结合实际场景的建模题型占比逐年提升。 题型01 直角三角形直接计算............................................................................4 题型02 三角形形状判定....................................................................................9 题型03 折叠变换综合题...................................................................................16 题型04 动点问题综合.......................................................................................24 题型05 实际应用问题.......................................................................................35 题型06 勾股数创新应用...................................................................................41 题型07 与几何图形/函数/坐标综合.................................................................46 题型08 最短路径问题........................................................................................61 【知识点01.勾股定理】 1.内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 a2+b2=c2。 2.适用范围：仅限直角三角形，且c为斜边。 3.证明方法（中考常考面积法） 赵爽弦图：以直角三角形的斜边为边长作正方形，用四个全等的直角三角形拼接，利用大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 中间小正方形面积推导。 4.常见勾股数（正整数组，需牢记） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41 倍数组：若a,b,c是勾股数，则ka,kb,kc（k为正整数）也是勾股数，如 6,8,10；10,24,26 【知识点02.勾股定理的逆定理】 1.内容： 如果三角形的三边长a、b、c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长为c的边所对的角为直角。 2.作用：判断一个三角形是否为直角三角形（非直角三角形的判定依据）。 3.解题步骤 (1)确定最长边c； (2)计算a2+b2和c2的值； (3)比较两者是否相等，若相等则为直角三角形，否则不是。 【知识点03.勾股定理与逆定理的关系】 勾股定理 勾股定理的逆定理 由 “直角三角形” 得 “三边数量关系” 由 “三边数量关系” 得 “直角三角形” 性质定理 判定定理 【知识点04.易错点总结】 一、概念类 1.乱套定理：在非直角三角形里直接用 a2+b2=c2 ✅ 避坑：先确认是直角三角形，非直角三角形先作高构造直角三角形。 2.找错直角：用逆定理时，把非最长边对应的角当成直角 ✅ 避坑：先找最长边，满足 a2+b2=c2 时，最长边对的角才是直角。 3.错认勾股数：把非正整数（如 2,3,​）当成勾股数 ✅ 避坑：勾股数必须是正整数且满足平方和关系。 二、计算类 1.平方 / 开方算错：如 错算成 13−5 ✅ 避坑：分步计算，先平方再加减，最后开方，算完验证结果。 2.保留负根：解方程求边长时不舍去负根 ✅ 避坑：线段长度为正，负根直接舍去。 三.图形应用类 1.折叠找错对应边：折叠后混淆相等的边 / 角 ✅ 避坑：先在图中标注折叠后的对应边、角，再列勾股定理方程。 2.动点漏分类：直角三角形动点问题只考虑一种直角顶点 ✅ 避坑：先明确直角顶点的所有可能位置，逐一分析。 3.实际建模错：航海 / 最短路径问题中方向、展开图对应错 ✅ 避坑：先画示意图，标注方向、边长；圆柱展开时看清 “底面周长” 与 “高”。 【模拟01.直角三角形边长直接计算】 1．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于点M，若，，则 ． 【答案】 【分析】连接，根据已知易得：，再根据垂径定理可得：，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故答案为：． 2．（2025·甘肃天水·一模）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了（　　）米． A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米． 【详解】在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米， 故AC===2米． 在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米， 故EC===1.5米， 故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米． 故选A． 【点睛】本题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度． 3．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 利用勾股定理求得所有台阶横面长度，横面长度加上竖面长度即为总长度，总长度乘单价即为总造价． 【详解】解：根据题意得，整个楼梯图形为直角三角形，根据勾股定理得： 所有台阶横面长为：（m） ∴所有楼梯表面的长度为：（m） ∴总造价为：元． 故答案为：． 4．（2025·湖南长沙·一模）如图是由边长均为1的小正方形组成的的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，两点都在格点上，连接，请完成下列作图： (1)在网格中找一个格点，使得是等腰直角三角形（作一个即可）； (2)在网格中找一个格点，使得的面积为6（作一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合勾股定理、勾股定理的逆定理画图即可． （2）利用网格按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求（答案不唯一）． （2）解：如图，点N即为所求（答案不唯一）． 5．（2025·四川南充·二模）在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（      ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】该题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理和勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2020·湖北武汉·模拟预测）如图，已知，，上一点，满足，，则 ．    【答案】 【分析】作交于，作于，令（个单位长度），根据平行法判定，进而得到对应边成比例，求得BE的长，再由锐角三角函数，求得AH、BH的长，由勾股定理计算HE的长，据此解题即可． 【详解】解：作交于，作于，令（个单位长度）   ’ 则 ， HE= 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键． 7．（2025·安徽芜湖·三模）为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算，其中，，点在上且，．通过计算可得 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，勾股定理的应用，以及三角形的三边的关系，解答此题的关键是要明确：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 首先根据，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根据三角形的三边的关系，判断出与的大小即可． 【详解】解：，， 在中，， ，， 在中，， ，在上且， ， 在中，， ． 故答案为：． 8．（2025·安徽芜湖·二模）如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 【模拟02.三角形状判定】 9．（2025·山西临汾·二模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 10．（2025·山东临沂·二模）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，． (1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离； (2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则，利用勾股定理，建立等式解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． 且， ∴， ∴， 根据垂线段最短， ∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 答：工厂C到B市的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，解方程，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 11．（2025·广西南宁·三模）如图，有一块三角形硬纸板，其中，现要从中剪下一个以为底边的等腰． (1)在图中用直尺和圆规作出符合要求的等腰（不写作法，保留作图痕迹）． (2)求等腰的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图复杂作图，三角形的面积，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点，连接，即为所求； （2）证明，设，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，，， ， ， 设，则有， ， ， 的面积． 12．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键． 将向下平移一格，再向左平移格，得到，连接，利用勾股定理及其逆定理，证明，即可由平行线的性质求得，从而求得． 【详解】解：如图，平移至处，则均在正方形格点上，连接， 设小正方形的边长为1，由勾股定理得： ，，， ∴ ∴ ∵平移至处，． ∴ ∴ ∴ 故选：C． 13．（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则 度． 【答案】150 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．以为边，构造等边，连接，，先根据等边三角形的性质，用判定证得，再根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，从而有，最后根据求得角度． 【详解】解：如图，以为边，构造等边，连接，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，，，， ∴， 为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 14．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 15．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明，再分，，三种情况根据全等三角形的性质求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 如答图1所示，当时，， ∴， ∴； 如答图2所示，当且E在B的右边时，， ∴， ∴． 如答图3所示，当且E在B的左边时，． ∴． ∴． 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【模拟03.折叠变换综合题】 16．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 17．（2025·广东东莞·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为 ． 【答案】1.5 【分析】根据矩形及翻折的性质得，，，，，在中，由勾股定理可求出，则，然后在中，由勾股定理可求出，进而可得的长． 此题主要考查了矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 设， ， 由翻折的性质得：，，，，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 故答案为： 18．（2025·云南昆明·一模）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置时，若AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣4 D．π﹣2 【答案】D 【分析】先求出，求出，求出，，分别求出扇形和三角形的面积，即可求出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， 中，，， ，， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是能正确求出扇形和三角形的面积，题目比较好，难度适中． 19．（2025·广西玉林·三模）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 20．（2025·北京·二模）如图，在中，，D、E是斜边上两点，将绕点A顺时针旋转，得到，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①② D．①②④ 【答案】D 【分析】先求出，再根据旋转和全等的性质得到，即可判断①；，，即可判断②；根据旋转和全等三角形的性质得到，，再根据三角形三边关系即可判断③；证明，在中，利用勾股定理和等量代换即可判断④． 【详解】解：在中，， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 故②正确； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故结论③错误； ∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故结论④正确， 综上可知，正确的是①②④， 故选：D． 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 21．（2025·山东青岛·二模）【问题背景】 如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图. 【问题探究】 （1） ______ ； （2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ． 【拓展延伸】 在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ． 【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】 【分析】（1）根据题意，可求得，第一次剪取后剩余三角形面积和为：，第二次剪取后剩余三角形面积和为：； （2）同理可得规律：即是第次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案； （3）依此规律可得第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 同理：等于第二次剪取后剩余三角形面积和， ， 故答案为：； （2）等于第次剪取后剩余三角形面积和， 第一次剪取后剩余三角形面积和为：， 第二次剪取后剩余三角形面积和为：， 第三次剪取后剩余三角形面积和为：， 第十次剪取后剩余三角形面积和为：， 第次剪取后剩余三角形面积和为：， 故答案为：，； （3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为， 故答案为：． 【模拟04.动点问题综合】 22．（2025·四川宜宾·三模）如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，将问题进行转化是解题的关键；设，得出，，勾股定理表示出，转化为平面内一点到和点的距离的和，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴,， ∴， 即表示的点到和点的距离的和， 如图 ∴当在线段上时，取得最小值，最小值为的长为； 故答案为：． 23．（2025·湖北襄阳·二模）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为，大正方形的边长为c， 则， ∴， ∴， 故选：A． 24．（2025·四川成都·二模）如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为 ；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查圆的相关以及锐角三角函数，熟练掌握圆的相关定理以及解直角三角形的应用是解题的关键．本题先得出四点共圆，可知，进一步求出；第二空主要分析出点经过的路径，才可能对症下药，进一步得出答案． 【详解】解：连接，过点作于，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵四点共圆， ∴, ∴,即为定值， 可知在直线上运动， 如图，经过的路径长为， , 在中，由勾股定理得： , 此时， , ∴经过的路径长为． 故答案为：，． 25．（2025·安徽滁州·三模）如图，是的直径，弦于点E，F是上一点，C是的中点，与交于点G，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若是直径且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握有关性质是解题的关键． （1）先求得，可得，再证得，在和中，，可得，从而得出，即可求证； （2）先求得，再求得，证明是等边三角形，再由可得，再由勾股定理求得，再证明是直角三角形，再求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ，AB是直径， ， 在和中，， ， ， 即； （2）解：DF是直径，由（1）知 ， 又 ， 又， 是等边三角形， 又 ， ， 是直径， ， 是直角三角形， 又G是AC的中点， ． 26．（2025·吉林长春·期末）如图，中，，，，动点P从点A出发，沿折线 以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．D是的中点，以为邻边作平行四边形．设点P的运动时间为t秒．（） (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当点E落在边上时，求t的值． (3)当点P在线段上运动时，平行四边形与重叠部分图形的周长为y，求y与t之间的函数关系式． (4)当点E到的一条直角边和斜边所在的直线距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）当点在线段上时，，当点在线段上时，，从而得出结果； （2）证明从而得出，进一步得出结论； （3）分当时和当时两种情况分析即可； （4）当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，可得，则，求解得到；当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，延长交于， 此时，由，得到，然后证明得到，再由，得到，解得；当点到和的距离相等时，点在的平分线上，点在上， 可得，则，故，解得，当点到线段和的距离相等时，即点在的平分线上时，点在上，连接并延长交于，作，则，设，则，由，求出，则，同理可得，则，解得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 综上所述：； （2）解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（）得， 由题意得：， 如图，当时， ∵平行四边形， ∴ ∴， 如图，当时， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴； （4）解：当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点到和距离相等时，点在的平分线上，点在上，延长交于，如图， ∴， 此时， ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点到和的距离相等时，点在的平分线上，点在上，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到线段和的距离相等时，即点在的平分线上时，点在上，连接并延长交于，作，如图， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用及分类讨论的思想是解题的关键． 【模拟05.实际应用问题】 27．（2025·山西太原·二模）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，竹竿的长为x尺，则门框的长为尺，宽为尺，利用勾股定理即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， ∴可列方程为， 故选：B． 28．（2025·吉林·二模）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 29．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，    因为尺，所以尺， 在中，， 解之得， ∴水深为(尺)． 故答案为：12． 30．（2025·福建莆田·二模）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 31．（2025·四川广元·一模）如图，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为．若的长为，试问鱼竿有多长？设长为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，是解题关键．利用钓鱼竿长度不变列出方程即可． 【详解】解：设长，则， 在中，， 在中，， ， ， 即． 故选：A． 32．（2025·广西贵港·一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 33．（2025·湖北黄冈·二模）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)6小时 【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可． 【详解】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下： 如图：过A作，垂足为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴A城会受台风影响． （2）解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， ∴（千米）， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：（小时）． 【模拟06.勾股数创新应用.】 34．（2025·浙江·二模）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，， 则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或， 故答案为：（答案不唯一）． 35．（2025·河北廊坊·一模）观察下列等式： 第1个等式 第2个等式 第 3个等式 第 4个等式 …… …… （1）补充上述表格． 发现： （2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ； 应用： （3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查找规律，涉及勾股数，根据题中所给等式的结构特征找准规律即可，熟练掌握寻找规律的方法是解决问题的关键． （1）由题中所给等式的结构特征即可得到答案； （2）根据题中所给等式的结构特征即可得到答案； （3）由（2）中找到的规律，结合题意可得这个直角三角形的直角边，从而结合规律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）补充上述表格，， 故答案为：； （2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：， 故答案为：； （3）由（2）中规律， 则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形， 当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得， 直角三角形的另一个直角边是， 则这个直角三角形的面积为． 36．（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，勾股数问题，观察可知本原勾股数的第一个数是从3开始的连续的奇数，且第一个数的平方等于第二个数加上第三个数，并且第三个数等于第二个数加1，据此规律求解即可． 【详解】解：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41…， …．．， 以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方， 设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 37．（2025·河南·模拟预测）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．以点F为圆心，FE长为半径画弧，恰好经过小正方形的顶点G．若AB＝5，且每个直角三角形的两直角边之和为7，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理、弧长公式等知识．设，则，根据勾股定理求出或，根据小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差，得到正方形的边长为，利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：∵每个直角三角形的两直角边之和为7， ∴设，则． 在中，由勾股定理可得到， ， 解得或． 由题图可知，小正方形的边长即为每个直角三角形的两直角边之差， ∴正方形的边长为， ∴的长为 故答案为： 38．（2025·广东深圳·三模）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的证明，正方形面积的计算，整式的运算等，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【详解】解：设图中八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：， 由题意，得：，，， ， ， ， 即， ， 故选：A． 39．（2025·河北沧州·模拟预测）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是将图1放入矩形内得到的，，点D，E，F，G，H，I都在矩形的边上，则空白部分的面积为 【答案】60 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得和是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，通过证明得到，同理可得，得到，再计算、的长，最后由长方形的面积公式计算得出总面积，然后减去三个正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 则， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ∵， ∴， ，， 长方形的面积为， ∴空白部分的面积为：， 故答案为：． 【模拟07.与几何图形/函数/坐标综合】 40．（2025·江西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点和．点P是坐标轴上一动点，连接，，，当为直角三角形时，P点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分三种情况讨论：当点在轴上，在原点，在轴上，根据勾股定理列出式计算即可求解． 【详解】解：①当点在轴上运动，时，连接． ∵，， ∴，，， 设点的坐标是， ∵， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是； ②当点在原点时，， ∴点的坐标为； ③当点在轴上运动，时，连接， 设点的坐标是， ∴，， ∴，即， 解得． ∴点的坐标是． 故答案为：或或． 41．（2025·上海虹口·二模）如图，点，，，平移得，顶点、、分别与点、、对应，如果点、都在抛物线上，那么点到点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 42．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将绕点O旋转得到，此时，则C点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形在平面直角坐标系中的应用，勾股定理，平行线的判定和性质．正确作好辅助线并判定相似三角形，利用相似三角形的性质求长度是解题的关键．延长交于点F，过点C作轴， 垂足为点E，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，，根据点C在第三象限，得出点C坐标为． 【详解】解：延长交于点F，过点C作轴， 垂足为点E，如图所示： 则， 由题意知，，， ∴， 根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：，， ∵点C在第三象限 ∴点C坐标为． 故答案为：． 43．（2025·安徽淮南·二模）在矩形中，为对角线上一点（），连接，过点作交的延长线于点，交于点，设． (1)如图1，已知． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）求证：． (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析； (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）（ⅰ）根据已知等边对等角可得。进而证明，根据线段的和差以及等量代换即可得证； （ⅱ）过点作，交于点，交于点．证明得出，设，，进而根据勾股定理，即可得证； （2）过点作，交于点，交于点．设，则，证明，得出，根据已知可得，，代入比例式，即可求解． 【详解】（1）解： （ⅰ）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （ⅱ）如图1，过点作，交于点，交于点， ， 矩形为正方形， ，和均为等腰直角三角形， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， 设，， ， ， ． （2）解：如图2，过点作，交于点，交于点． 设，则， ， ∴ ∴ ∴， ， 为的中点，为的中点， ，， ， 解得（负值舍去）． 44．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查求阴影部分的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理．勾股定理求出，根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 45．（2025·河南安阳·二模）如图，已知四边形是平行四边形，，，，点是上一动点，为的中点，连接，，当时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行四边形性质确定点坐标，进而得出中点坐标，设出点坐标，利用，结合两点间距离公式列方程求解．本题主要考查平行四边形的性质、中点坐标公式及两点间距离公式，熟练掌握这些知识并灵活运用方程思想是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形中，，，，且（为坐标原点 ）， ∴， ∵为中点，，， ∴． 设 ∵， ∴， 解方程得， ∴， 故选：D． 46．（2025·江苏·一模）如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 47．（2025·浙江·模拟预测）有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】过点E作于点M，利用相似三角形的性质计算长度，即可得到的周长． 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点M， 由题意得：，，，，， ， ，， 设，则， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为： 48．（2025·浙江杭州·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．如图是由四个全等的直角三角形（）拼接而成，直线与分别交于点M，N，已知，则正方形与正方形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点M作于K，证明，可得，设，则，表示的长，由勾股定理计算，根据正方形的面积公式即可解答． 本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，过点M作于K， ∵， ∴ ∵， ∴（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴（正方形的对角线平分一个内角）， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 49．（2025·福建福州·一模）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图． 已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 任务1： （1）某一时刻测得米， ①请直接写出________； ②请求出此时影子的长度； 任务2： （2）这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】任务米，;米；任务小明会被照射到 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，涉及正弦、余弦、正切三角函数的运用，等腰三角形的性质与勾股定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握三角函数是解题关键． 任务1：①由可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案；②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； 任务2：如图，过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而， 故答案为：; ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， 由条件可知米， 在中，， 又， 解得：米， 此时影子的长度为米； 任务2：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点 由条件可知， 由条件可知是等边三角形， 米， . 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到. 【模拟08.最短路径问题.】 50．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 51．（2025·广西桂林·二模）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知． (1)求当x等于何值时，? (2)当时，求的长． (3)利用图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，线段和最小，数形结合思想 （1）根据题意，时，，继而得到，结合，得到，解方程即可． （2）当时，，利用勾股定理计算即可． （3）根据得， 构造．当A，C，E三点共线时，最小，计算即可． 【详解】（1）根据题意， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）根据题意，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， 故． （3）根据得， 构造．如图所示， 当A，C，E三点共线时，最小， 延长到点F，过点A作于点F， 则四边形是矩形， 故． 故． 52．（2025·广东肇庆·三模）综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 53．（2025·浙江台州·二模）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长 米． 【答案】1000 【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C， 由题意可得：， 由图中数据可得：， ， ∴米， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 54．（2025·河南郑州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E均为格点，过A，B，C作， 连接交于点F， 则弧的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，网格与勾股定理，勾股定理逆定理的应用等知识，取的中点O，易知点O为格点．连接，， ，进而可求出半径，得出所在圆的圆心是O．半径是．取格点P，连接，，利用勾股定理的逆定理得出，再结合网格得出，进而得出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，取的中点O，易知点O为格点． 连接，， ， 则， ∴所在圆的圆心是O．半径是． 取格点P，连接，， 则，， ∴ ∴， ∴． 根据网格可知， ∴， ∴， 的长是， 故答案为： 55．（2025·广西南宁·二模）消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，某栋楼房发生火灾，在这栋楼离地面24米的处有一老人需要救援，已知消防车高为4米，救人时消防车上的云梯必须伸长至最长25米． (1)求此时消防车的位置与楼房的距离的长； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车需从处驶近到处，云梯移动至，消防车高为，问消防车靠近的距离也为4米吗？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)不是，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，利用勾股定理解是解题关键． （1）根据题意得：米，米，米，四边形为矩形，结合图形，利用勾股定理求解即可； （2）由题意得 米，米，确定米，再由（1）中结果，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米，四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∴米； （2）解：不是，理由如下： 由题意得 米，米， 米， 由（1）得米； 米， 即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为8米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $