2026年中考数学一轮复习讲义(1)(核心考点+模拟真题突破)专题18三角形（全国通用版）

专题18三角形中考一轮复习讲义(1) 【12大典题模拟真题共计95题】 ● 分值占比：三角形是中考核心板块，总分值约 25 分，覆盖选择、填空、解答（含压轴）三种题型。 ● 常考考点：聚焦三角形基本性质、特殊三角形（等腰 / 等边）的性质与判定、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、图形变换（折叠 / 旋转）与三角形结合、三角形与圆 / 四边形综合、面积计算七大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重定义与性质直接应用，中档题强化逻辑推理与方法迁移，难题多为三角形与多模块知识的综合，且图形变换、实际场景类题型占比逐年提升。 模拟01.三角形基本性质 模拟02.等腰/等边三角形的性质与判定 模拟03.直角三角形的性质与判定 模拟04.全等三角形的判定与性质 模拟05.相似三角形的判定与性质 模拟06.三角形作图 模拟07.三角形折叠与轴对称 模拟08.三角形旋转与中心对称 模拟09.三角形与圆结合 模拟10.三角形面积计算 模拟11.三角形与四边形结合 模拟12.三角形综合压轴题 【知识点01.三角形基本性质（核心基础）】 1.核心性质：三角形具有稳定性（中考高频应用场景：支架、折叠结构）；内角和为 180°，外角等于不相邻两内角和。 2.三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（用于判断能否构成三角形、求边长取值范围）。 3.重要线段：中线（平分对边）、高（垂直于对边）、角平分线（平分内角）的定义与性质（如中线分三角形面积相等）。 4.特殊三角形前提：锐角三角形（三个角均小于 90°）、钝角三角形、直角三角形的分类标准。 【知识点02.特殊三角形（等腰 / 等边 / 直角）】 1. 等腰三角形 性质：两腰相等、两底角相等；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）。 判定：两边相等；两角相等（等角对等边）。 易错点：腰上的高与另一腰的夹角需分顶角为锐角 / 钝角讨论。 2. 等边三角形 性质：三边相等、三角均为 60°；三线合一且相等。 判定：三边相等；三角相等；有一个角为 60° 的等腰三角形。 3. 直角三角形 性质：勾股定理（a²+b²=c²）；斜边中线等于斜边一半；30° 角所对直角边等于斜边一半。 判定：有一个角为 90°；勾股定理逆定理；斜边上的中线等于斜边一半。 特殊判定：HL（直角三角形全等的专属判定：斜边和一条直角边对应相等）。 【知识点03.全等三角形（中考核心考点）】 判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角对边对应相等）、HL（直角三角形专属）。 性质：对应边相等、对应角相等；对应线段（中线、高、角平分线）相等；面积相等。 常用辅助线：倍长中线法（构造全等三角形）、作垂线（构造直角三角形全等）。 【知识点04.相似三角形（中考高频考点）】 判定定理：两角对应相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。 性质：对应边成比例、对应角相等；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 常见模型：网格中的相似（利用平行线判定）、“A” 型相似、“X” 型相似。 【知识点05.图形变换与三角形结合】 1. 折叠与轴对称 性质：折叠前后对应边、对应角相等；对称轴垂直平分对应点连线。 应用：结合全等三角形、勾股定理求边长 / 角度；判断折叠后点的位置（如落在垂直平分线上）。 2. 旋转与中心对称 性质：旋转前后对应边相等、对应角相等；旋转角等于对应边的夹角；对应点到旋转中心距离相等。 应用：构造旋转全等（如等边三角形、正方形背景下的旋转）；求旋转后点的坐标、线段长度。 【知识点06.三角形面积计算（常用方法）】 基本公式：S=× 底 × 高。 等积变换：同底等高的三角形面积相等；中线分三角形面积为 1:1。 . 【模拟01.三角形基本性质】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 2．（2025·吉林松原·模拟预测）网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是 ． 3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 5．（2025·浙江杭州·一模）若是锐角三角形，且，则可能的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 10．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 11．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是 ． 15．（2025·四川达州·三模）化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 【模拟02.等腰/等边三角形性质与判定.】 16．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 18．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 19．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·重庆·模拟预测）在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，，连接，取上一点G，使，延长交于点H．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 21．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 22．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 23．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【模拟03.直角三角形的性质与判定】 24．（2025·贵州六盘水·二模）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是 ． 25．（2025·安徽合肥·模拟预测）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，若，，则大正方形的边长为（   ） A．5 B． C． D． 26．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·湖北·一模）如图，内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 29．（2025·江西抚州·二模）在中，，，，为线段上一动点，连接，以为边长向右侧作正方形，过点作，垂足为，当长为正整数时，的长为 ． 30．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，为的中点，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 31．（2025·海南海口·三模）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【模拟04.全等三角形判定与性质.】 32．（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 33．（2025·山东德州·二模）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 34．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，求的长． 35．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 36．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长 37．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，中，，点B，C是边上任意两点，若，则需要添加一个条件是 ． 38．（2025·北京朝阳·一模）如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 39．（2025·广东广州·二模）如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 40．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【模拟05.相似三角形的判定与性质】 41．（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 42．（2024·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为 ； （2）阴影部分的面积为 ． 43．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 44．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为 ．    45．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 46．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 47．（2025·浙江湖州·三模）数学课上，小美用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，接着在上取点E，F，连，使． （1）若拼成的四边形如图2所示，则的值为 ； （2）若拼成的四边形如图3所示，则的值为 48．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，的中垂线分别交于点E，F． （1）若，，则 ； （2）若，，则 （用含m，n的代数式表示）． 【模拟06.三角形作图】 49．（2025·浙江金华·二模）的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线； (2)在图②中，作出的重心，记为点． 50．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上确定点，连接，使得．保留作图痕迹，不写作法 51．（2025·河北邯郸·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，分别以点M和点B为圆心，相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点G和点N，作直线交于点D，交于点E．若，，则（   ） A． B．2 C． D．3.5 53．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C，A分别在x轴，y轴上，其中点，点D为的中点，连接．点P为边上一点，连接，先以点P为圆心，长为半径作弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点P的坐标为 ． 54．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，在上找一点，连接平分的周长． (2)在图②中，在上找一点，连接平分的面积． (3)在图③中，在上找一点，连接，使． 【模拟07.三角形折叠与轴对称】 56．（2025·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（   ） A．57° B．58° C．59° D．60° 57．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 58．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 59．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 60．（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则 ．    61．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，在矩形中，，E是的中点，连接，点B与点F关于对称，连接并延长，交于点G，交于点．若G是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 62．（2025·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 63．（2025·广西柳州·三模）如图，在矩形中，已知，P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． 64．（2025·河南驻马店·二模）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，点P是矩形内一点，过点P作，分别交，于点E，F．则______．（填“>”“=”或“<”） 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，点P是矩形外一点，过点P作，分别交，的反向延长线于点E，F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，P是外一点，，，，则的最小值为______． 【模拟08.三角形旋转与中心对称】 65．（2025·湖北黄石·一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是 ．    66．（2025·宁夏中卫·二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 67．（2025·浙江·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，，的延长线分别交，于点，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 68．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 69．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 70．（2025·四川雅安·二模）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 71．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 72．（2025·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（    ） A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．圆锥 73．（2025·浙江·模拟预测）把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等．请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法）． 74．（2025·上海·二模）如图，为圆O的一条直径，长度为10，与一弦的交点为C．若弦，且，则 ．    【模拟09.三角形与圆结合】 75．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 76．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 77．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为 ． 78．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，为上一点，连接交于点，作交直线于点，若，，，则（   ） A． B．3 C． D． 【模拟10.三角形面积计算】 79．（2025·河南郑州·三模）如图，丽丽用边长为的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 ．    80．（2025·安徽芜湖·三模）如图，的2个内角与的角平分线相交于点． （1）设，则 ．（用含的式子表示） （2）过的直线分别交，于D，E两点，，的面积分别记为，．若，的周长为8，则的值为 ． 81．（2025·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 82．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    83．（2025·四川成都·二模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 84．（2025·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则（1） ，（2）图中阴影部分的面积是 ． 【模拟11.三角形与四边形结合】 85．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，平行四边形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 86．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 87．（2025·湖北·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，，，点E是BC的中点，连接AE，将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点处，连接，则 ， ． 88．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【模拟12.三角形综合压轴题】 89．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 90．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有 个．（填正确结论的个数） 91．（2025·河南许昌·一模）课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 92．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，点是边上一动点，将四边形沿翻折，得到四边形，、的对应点分别是、，连接，，当点从点运动到点的过程中，设，三角形的面积、三角形的面积、三角形的面积分别用、、表示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③当、、三点在一条直线上时，； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 93．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 94．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 95．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18三角形中考一轮复习讲义(1) 【12大典题模拟真题共计95题】 ● 分值占比：三角形是中考核心板块，总分值约 25 分，覆盖选择、填空、解答（含压轴）三种题型。 ● 常考考点：聚焦三角形基本性质、特殊三角形（等腰 / 等边）的性质与判定、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、图形变换（折叠 / 旋转）与三角形结合、三角形与圆 / 四边形综合、面积计算七大方向。 ● 命题趋势：基础题侧重定义与性质直接应用，中档题强化逻辑推理与方法迁移，难题多为三角形与多模块知识的综合，且图形变换、实际场景类题型占比逐年提升。 模拟01.三角形基本性质 模拟02.等腰/等边三角形的性质与判定 模拟03.直角三角形的性质与判定 模拟04.全等三角形的判定与性质 模拟05.相似三角形的判定与性质 模拟06.三角形作图 模拟07.三角形折叠与轴对称 模拟08.三角形旋转与中心对称 模拟09.三角形与圆结合 模拟10.三角形面积计算 模拟11.三角形与四边形结合 模拟12.三角形综合压轴题 【知识点01.三角形基本性质（核心基础）】 1.核心性质：三角形具有稳定性（中考高频应用场景：支架、折叠结构）；内角和为 180°，外角等于不相邻两内角和。 2.三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（用于判断能否构成三角形、求边长取值范围）。 3.重要线段：中线（平分对边）、高（垂直于对边）、角平分线（平分内角）的定义与性质（如中线分三角形面积相等）。 4.特殊三角形前提：锐角三角形（三个角均小于 90°）、钝角三角形、直角三角形的分类标准。 【知识点02.特殊三角形（等腰 / 等边 / 直角）】 1. 等腰三角形 性质：两腰相等、两底角相等；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）。 判定：两边相等；两角相等（等角对等边）。 易错点：腰上的高与另一腰的夹角需分顶角为锐角 / 钝角讨论。 2. 等边三角形 性质：三边相等、三角均为 60°；三线合一且相等。 判定：三边相等；三角相等；有一个角为 60° 的等腰三角形。 3. 直角三角形 性质：勾股定理（a²+b²=c²）；斜边中线等于斜边一半；30° 角所对直角边等于斜边一半。 判定：有一个角为 90°；勾股定理逆定理；斜边上的中线等于斜边一半。 特殊判定：HL（直角三角形全等的专属判定：斜边和一条直角边对应相等）。 【知识点03.全等三角形（中考核心考点）】 判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角对边对应相等）、HL（直角三角形专属）。 性质：对应边相等、对应角相等；对应线段（中线、高、角平分线）相等；面积相等。 常用辅助线：倍长中线法（构造全等三角形）、作垂线（构造直角三角形全等）。 【知识点04.相似三角形（中考高频考点）】 判定定理：两角对应相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。 性质：对应边成比例、对应角相等；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。 常见模型：网格中的相似（利用平行线判定）、“A” 型相似、“X” 型相似。 . 【知识点05.图形变换与三角形结合】 1. 折叠与轴对称 性质：折叠前后对应边、对应角相等；对称轴垂直平分对应点连线。 应用：结合全等三角形、勾股定理求边长 / 角度；判断折叠后点的位置（如落在垂直平分线上）。 2. 旋转与中心对称 性质：旋转前后对应边相等、对应角相等；旋转角等于对应边的夹角；对应点到旋转中心距离相等。 应用：构造旋转全等（如等边三角形、正方形背景下的旋转）；求旋转后点的坐标、线段长度。 【知识点06.三角形面积计算（常用方法）】 基本公式：S=× 底 × 高。 等积变换：同底等高的三角形面积相等；中线分三角形面积为 1:1。 . 【模拟01.三角形基本性质】 1．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，小明将一根吸管折叠后，伸入一个空玻璃瓶中，使吸管一端顶住瓶壁，再轻轻一提，瓶子就被提起来了．这其中用到的数学原理是（      ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：吸管一端顶住瓶壁，可以构造一个三角形， ∴这其中用到的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 2．（2025·吉林松原·模拟预测）网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，根据该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机，得出这样设计的原理是三角形具有稳定性，即可作答． 【详解】解：依题意，该支架采用了三角形结构，能非常方便地支起手机， ∴这样设计的原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键． 先求出的度数，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：． 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的角度，使得， ，则直线与所夹锐角的大小为 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是关键． 如图：延长交于F，再根据三角形外角的性质列式计算即可． 【详解】解：如图：延长交于F， ∵， ， ． 故答案为：． 5．（2025·浙江杭州·一模）若是锐角三角形，且，则可能的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了锐角三角形，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∵ 是锐角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 7．（2025·辽宁锦州·二模）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点．若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用及等腰直角三角形的性质和判定，熟知性质定理、准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，证明，，即可求解． 【详解】解：连接并延长，交于， 为的高， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求， ， ， 故答案为：B． 8．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 故选：B． 9．（2025·湖南·模拟预测）如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查三角形及其性质、解直角三角形，A选项三边不满足三角形三边关系，B选项为等腰直角三角形，D选项为直角三角形，C选项为等腰三角形，且角度为，，，满足条件． 【详解】解：A．，三边不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不合题意； B．，则此三边构成等腰直角三角形，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； C．1，1，，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，满足一个角是另一个角的4倍，符合题意； D．1，2，，此三边构成直角三角形，最小角为，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； 故选：C． 10．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 11．（2025·贵州贵阳·二模）坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形三边关系，根据三角形两边之和大于第三边得到，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ ∴ ∴段的长可能为． 故选：D． 12．（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．”是解题的关键． 【详解】 解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 13．（2025·甘肃平凉·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 14．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，全等三角形的性质，关键是由三角形三边关系定理得到．连接，由勾股定理求出，由全等三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：连接， ，，， ， ， 点M是的中点，点N是的中点，， ，， 由三角形三边关系定理得到：， 的最小值是 故答案为： 15．（2025·四川达州·三模）化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数． 【答案】，-2 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解． 【详解】解：原式； ∵2，3，a为三角形的三边， ∴， ∴， ∵为整数， ∴，3或4， 由原分式得，， ∴且， ∴， ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入求值是要注意所求的a的值保证原分式有意义． 【模拟02.等腰/等边三角形性质与判定.】 16．（2025·北京东城·二模）如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分顶角是钝角和锐角两种情况，分别根据题意画图，运用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，由题意可得，则顶角； 如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得， 则顶角． 故顶角的度数为或． 故选C． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在和上，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据等腰三角形的性质以及平角的定义判断②的正误；利用勾股定理求正方形的边长和面积可以判断③和④的正误． 【详解】解：正方形， ，， 等边三角形， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ， ， 故结论②正确； ， ， ， 设正方形边长为 在中，， ， 解得或（舍去）， ， 故结论③错误； ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 19．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作，，连接，证明，可得，结合点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，可得当取最小值时，刚好是2个，共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作，，连接， ∵等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个， ∴当取最小值时，刚好是2个， ∴共线时， 最小， ∵为的三等分点， ∴设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20．（2025·重庆·模拟预测）在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，，连接，取上一点G，使，延长交于点H．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．先根据邻补角求出，再由等腰三角形“等边对等角”得，最后利用三角形外角性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 故选：B． 21．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在正三角形中，，，分别是，的中点，以为直径作，是边上的动点，连接，以为直径作半圆交于点，则线段长的最小值是（   ）      A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】作，由题意可知，是的中位线，那么，，由是直径，可知是直角，那么，那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短，根据平行线之间距离处处相等，此时，，接着在中，算得，最后算得答案． 【详解】解：在正三角形中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在上， ， 以为直径作半圆交于点， 那么当最短时，最小，根据垂线段最短，可知当时，最短， 作，如图所示：    当时，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，度角直角三角形的性质，垂线段最短，直径所对的圆周角是90度，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22．（2025·山西太原·一模）如图，是边长为的等边三角形，点是外的一点，，．若，连接，则线段的长为 . 【答案】/ 【分析】以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作，根据等边三角形的性质可知，，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的性质可知，利用勾股定理求出，，根据可证，根据全等三角形的性质可得，从而可求的长度． 【详解】解：如下图所示，以点为圆心，为半径画圆，过点作，过点作， 是边长为的等边三角形， ，， ， 在中， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据图形的性质找到边、角之间的关系． 23．（2025·江西吉安·二模）如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】该题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，先根据题意求出可以取的整数值．分为①当时，②当时，③当时，分别讨论即可． 【详解】解：根据题意求出可以取的整数值． 在 中，， ， ， 点为边上一个动点， ∴当时，最大，当时，最小． 过点作于点， 则， 解得：， ， 的长为整数， ∴或 6 或 7 ． ①当时，为等腰三角形． ②当时， 设点为中点，连接，如图（1）， 则，此时点与点重合， ∴与均为等腰三角形． ③当时，如图（2），过点作于点， 则． 设，则，， ， ， 解得：（负值已舍）， ∴，此时与均不是等腰三角形． 综上，符合条件的点的个数为2． 故选：C． 【模拟03.直角三角形的性质与判定】 24．（2025·贵州六盘水·二模）在中，，，是边上的高，当最大时，的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据是边上的高，可知是以为斜边的直角的其中一条直角边，从而得到，然后根据当且仅当时，此时、两点重合，此时取得最大值，最后利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 是边上的高， 是以为斜边的直角的其中一条直角边， 即，此时， 当且仅当时，如图所示， 此时、两点重合， 即，此时取得最大值， ，， ， ． 故答案为：． 25．（2025·安徽合肥·模拟预测）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，若，，则大正方形的边长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，先对运用勾股定理求出，再对运用勾股定理求出，则即可求得，最后对运用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 26．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵阴影部分的周长， ∴阴影部分的周长． 故选：A． 27．（2025·湖北·一模）如图，内接于，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和性质，圆周角定理，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得，再结合，以及三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 28．（2025·湖南·三模）如图，半径为4，于点C，点D为上一点，且，那么的长是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由圆周角定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，掌握这些知识是关键． 29．（2025·江西抚州·二模）在中，，，，为线段上一动点，连接，以为边长向右侧作正方形，过点作，垂足为，当长为正整数时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明得出，根据当长为正整数时，分类讨论，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵的长为正整数， ∴ ∴当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：或或． 30．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，为的中点，．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，为的中点，，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，，从而可得，根据平行四边形的性质可知，，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在中，，， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是根据平行四边形的性质找到边和角之间的关系，再利用边、角之间的关系求解． 31．（2025·海南海口·三模）如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则 °，线段的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出，由三角形内角和定理得到，取的中点，连接、，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系定理得到：． 故答案为： ． 【模拟04.全等三角形判定与性质.】 32．（2025·北京·模拟预测）下面是老师给出的一道尺规作图题． 如图，已知，求作：，使． 作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画分别交于点E、F； （2）以点 F为圆心，的长为半径画弧，交于点C； （3）作射线即为所求作的角． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，全等三角形的判定方法，根据作图步骤得到，结合，得到，即可． 【详解】解：由作图可知：， 又∵， ∴； 故选：D． 33．（2025·山东德州·二模）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 34．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在和中，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与勾股定理，确定用定理进行证明是关键． （1）由题意可知和为直角三角形，根据定理证明即可； （2）由可知，在中，根据勾股定理可得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴和为直角三角形， 在和中，， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 35．（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 36．（2025·湖南长沙·一模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的长 【答案】(1)详见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质． （1）先证明，然后根据，再结合已知条件可得结论； （2）根据，得出，根据得出，最后根据和差间的关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 37．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，中，，点B，C是边上任意两点，若，则需要添加一个条件是 ． 【答案】或或（其中一个，答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由得，再结合全等三角形的判定方法，逐个添加具体条件进行证明，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ 当添加一个条件时， 则； 当添加一个条件时， ∴ ∴ 则； 当添加一个条件时 则， 故答案为：或或（其中一个，答案不唯一） 38．（2025·北京朝阳·一模）如图，点为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点和，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，圆的切线的性质与判定，切线长定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．题中已判定出直线和是的两条切线，可得，则在与，利用，，即可判定，其判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，即可解决． 【详解】解：∵题中判定出直线和是的两条切线， ∴， 在与， ， ∴， 判定依据为：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 故选：D． 39．（2025·广东广州·二模）如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理得到直线和是的两条切线，利用证明，得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ，， 直线和是的两条切线， 在和中， ， ， ，， 判定的定理是， 故选：D． 40．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【模拟05.相似三角形的判定与性质】 41．（2025·浙江·模拟预测）如图，在的正方形方格中，的顶点，都在边长为1的小正方形的顶点上，边上的点也在小正方形的顶点上，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练利用网格中的平行线判定相似是解题的关键．由图，利用，判定，得出，即可求出，则可求出，再利用，即可求解． 【详解】解：如图， 由图可知，，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 42．（2024·河北唐山·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，将向右平移1个单位长得到． （1）的面积为 ； （2）阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）借助网格求面积即可； （2）设与的交点为，与的交点为，根据平移的性质，推出，进行求解即可． 【详解】解：（1）的面积为：； 故答案为：； （2）设与的交点为，与的交点为， 根据格点可得，四边形是矩形，对角线交于点，，的顶点均在格点上， ∴点G和点H是两个相邻格点的中点 ∴，， 由平移的性质可知，， ∴， ， ， ， 即阴影部分的面积为． 故答案为：．. 43．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形相似问题，利用三角形中位线性质与平行线的性质得到相似三角形是解题关键．根据题意得，和，可证，有，由得，设，则，，即可求得比值． 【详解】解：∵、是的中线，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故答案为：． 44．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 由矩形的性质以及中点的定义可得，即，进而得到；再根据正切的定义可得    、，再运用勾股定理得到；如图：过G作垂直于I，则，易得，设，则，再证，运用相似三角形的性质列比例式可得，即，则，易得、；在和中运用勾股定理可得①；同理可得：②；最后联立即可解答． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴，， ∵点F为边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴ 如图：过G作垂直于I，则    ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图：连接， 设，则， 在中，， 在中，， ∴①； 同理可得：②； ①②联立可得：，（已舍弃负值）． 故答案为：． 45．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作交的延长线于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 46．（2025·上海·模拟预测）如图，在中，为边上的高．过点作的垂线，垂足为点．若， ，的余弦值为． (1)求的长． (2)连接交边于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三角形和相似三角形的判定和性质，解题关键是根据结合图形，利用相似三角形或三角函数转化线段比． （1）根据求出，进而由勾股定理求出， ，再由面积法求出， （2）过点作于点H，由相似三角形的判定和性质先求出，进而由得出结论． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ （2）过点作于点H， ∴， ∴ ∴① ∵在中， 代入①得：， ∴ ， ∴， 47．（2025·浙江湖州·三模）数学课上，小美用两张如图1所示的直角三角形纸片：，，，斜边重合拼成四边形，接着在上取点E，F，连，使． （1）若拼成的四边形如图2所示，则的值为 ； （2）若拼成的四边形如图3所示，则的值为 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，矩形的性质，正确添加辅助线构造相似三角形是解题关键． （1）通过证明，然后利用相似三角形的性质列比例式求解； （2）连接，交于点，利用勾股定理及面积法求得和的长，然后通过证明，利用相似三角形的性质列比例式求解． 【详解】解：（1）如图， 由题意可得：，，且， 四边形是矩形，. ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：； （2）连接，交于点，设与交于点， 由题意，，， 垂直平分， 在中，， ， ， 解得：， ， ， ，，， 又， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 48．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，的中垂线分别交于点E，F． （1）若，，则 ； （2）若，，则 （用含m，n的代数式表示）． 【答案】 16 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由中垂线的性质得，由得，由勾股定理得，进而求得，从而求出； （2）思路方法同（1）． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； 故答案为：16； （2）∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 【模拟06.三角形作图】 49．（2025·浙江金华·二模）的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线； (2)在图②中，作出的重心，记为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图、矩形的性质、三角形的中线、三角形的重心的定义等知识点，掌握三角形中线、重心的定义成为解题的关键． （1）根据三角形中线的定义以及网格的特点找到的中点D，然后连接即可； （2）根据网格的特点作出上的中线，其交点O即为所求； 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，点O为所求作点． 50．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，，请用尺规作图法在边上确定点，连接，使得．保留作图痕迹，不写作法 【答案】见解析 【分析】本题考查作图：复杂作图、三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线交于点，可得，则，则点即为所求． 【详解】解：如图，作的平分线交于点， ，， ， ， ， 则点即为所求． . 51．（2025·河北邯郸·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 52．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，分别以点M和点B为圆心，相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点G和点N，作直线交于点D，交于点E．若，，则（   ） A． B．2 C． D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质、勾股定理，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接， ∵， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴， 则， 即， 解得， 故选：C． 53．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C，A分别在x轴，y轴上，其中点，点D为的中点，连接．点P为边上一点，连接，先以点P为圆心，长为半径作弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，垂直平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设点，射线交y轴于点H，证明，得，由中点定义，得，由勾股定理得，证明，可得，由，得，解出x的值即可解答． 【详解】解：设点，射线交y轴于点H， ∵， ∴正方形的边长为4， ∵D是中点， ∴， 由作图知垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 54．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D． 55．（2025·吉林长春·二模）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，在给定的网格中，按下列要求画图，只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中，在上找一点，连接平分的周长． (2)在图②中，在上找一点，连接平分的面积． (3)在图③中，在上找一点，连接，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取的中点即可．. （2）取的中点即可． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图①，由勾股定理得，， 取的中点， 则点即为所求． （2）解：取的中点， 则点即为所求． （3）解：取格点，，使，且，连接交于点， 此时△△， 则， ， 则点即为所求． 【模拟07.三角形折叠与轴对称】 56．（2025·江苏南京·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（   ） A．57° B．58° C．59° D．60° 【答案】B 【分析】求出∠CDB的度数，再根据翻折求出∠ADE的度数即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠CBD＝26°， ∴∠CDB=90°-∠CBD＝64°， ∴∠ADB=116°， 由翻折可知，∠ADE=∠BDE=58°； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题． 57．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线与边的交点，是边上一点，连接，，将的面积平分．若，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形中线等分面积得到，最后根据即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线与边的交点， ∴， ∵将的面积平分， ∴， ∴， 故选：C． 58．（2025·山东青岛·三模）如图，在正方形中，E是边上一点，将沿翻折至，延长交于点F．若，，则的长是（  ） A．3 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 连接，证明，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】∵正方形中，E是边上一点，将沿翻折至， ∴， 连接，    ∵， ∴， ∴ 设， 则， ∴， 解得， 故选：A． 59．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又， 垂直平分线段，故②正确； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确； ， 在中，，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识的综合运用，找到作图过程中的隐含条件是解题的关键． 60．（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长至点，使得，连接，，首先证明，易得，即有，故当点、、在同一直线上时，取最小值，然后利用勾股定理求解，即可获得答案． 【详解】如图所示，    延长至点，使得，连接，， ， ，，， ， ， ， 当点、、在同一直线上时，取最小值， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案是：． 61．（2025·黑龙江大庆·三模）如图，在矩形中，，E是的中点，连接，点B与点F关于对称，连接并延长，交于点G，交于点．若G是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过B点作，连接交于点H，连接，先证明，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过B点作，连接交于点H，连接，如图所示： 则， ∵， , ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ， 设，则， 为中点， ， ∴，， ， ， 由轴对称性质可知，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， ， ， 即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的斜边中线定理，相似三角形的判定，轴对称的性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，全等三角形的判定，解直角三角形，正确作出辅助线是解题关键，遇轴对称，常常伴随着全等三角形出现，等腰三角形出现． 62．（2025·河北邢台·二模）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质．根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等． 【详解】解：如图：过点作，，，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故选：B． 63．（2025·广西柳州·三模）如图，在矩形中，已知，P是边上一动点（点P不与点B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，，由勾股定理可得．由三边关系可得，当且仅当A、M、C三点共线时取等号，即，即可得答案． 【详解】解：连接，，如图1所示， ∵四边形为矩形，， ∴由勾股定理可得． 由折叠可知， 在中，由三边关系可得，当且仅当A、M、C三点共线时取等号， 即， 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段最值，轴对称的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． 64．（2025·河南驻马店·二模）【问题发现】 （1）如图1，在矩形中，点P是矩形内一点，过点P作，分别交，于点E，F．则______．（填“>”“=”或“<”） 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，点P是矩形外一点，过点P作，分别交，的反向延长线于点E，F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，P是外一点，，，，则的最小值为______． 【答案】（1）；（2）成立，见解析（3） 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由，，，，进一步可得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以（1）中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）∵矩形，， ∴，， ∴， ∴，，，， 在矩形ABCD中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）成立，理由：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）如图，作交的延长线于点M，则， ∴，． 作交的延长线于点N，作交的延长线于点T，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，而， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【模拟08.三角形旋转与中心对称】 65．（2025·湖北黄石·一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是 ．    【答案】或（为整数） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等图形的性质，根据全等图形的性质求出旋转角度是解题的关键．对图形的部分顶点命名，再由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形，得出，分2种情况：①梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；②梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；分别求出旋转角度即可解答． 【详解】解：如图，    由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形， ，， 又， ， 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是或（为整数）． 故答案为：或（为整数）． 66．（2025·宁夏中卫·二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平面直角坐标系中点的坐标，根据旋转的性质可知，根据全等三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可知点的坐标为． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， 点的坐标是， ，， 由旋转可知，， ，， 在和中，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 67．（2025·浙江·三模）如图，将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别为，，的延长线分别交，于点，，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可知，根据全等三角形的性质可得：，根据对顶角相等可得：，根据三角形内角和定理可证，所以可知． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ， ， 但是不能确定与是否相等， 故A选项错误； 由全等的性质可得：， 但是不能确定与是否相等， 故B选项错误； ， ， 又， 在和中， ，， ， 旋转角是， ， ， 故C选项正确； 点在上， 与相交， 故D选项错误． 故选：C． 68．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转、全等三角形的性质与判定，结合图形作垂线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点，作轴于点，由旋转的性质得，，通过证明得到，，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点， 由旋转的性质得，，， ， 轴，轴， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 69．（2025·湖北·模拟预测）分别以的两边、向形外作等边和等边，、分别交、于点、，、相交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的是（   ） ① ② ③ ④平分 ⑤平分． A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解本题的关键． 由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出符合题意；利用全等三角形的对应边相等即可得到，符合题意；利用全等三角形的对应角相等得到，再由对顶角相等和三角形内角和定理得出符合题意；运用全等三角形的判定与性质，角平分线的判定得出符合题意，运用外角性质以及全等三角形的对应角相等进行分析，得出④不符合题意，即可得出结论． 【详解】解：和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， 故符合题意； ∵， ， 故符合题意； ∵， ， 又， ∴ ， 故符合题意， 作于P，于，如图所示； 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 故符合题意； 则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 只有时，即，则， ∵， ∴， 分析题干，不一定相等，不一定相等， ∵，， 故不一定等于． 故不符合题意 故选：C． 70．（2025·四川雅安·二模）如图，边长为4的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确解答此题的关键．根据正六边形的性质知是正三角形，在中，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是正三角形， ， ， 在中，，， ． 故答案为：D． 71．（2025·安徽淮南·二模）已知O为边长为2的正六边形的中心，P为正六边形内一点，且．若，则的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动，连接，连接，交于点G，证明直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形，延长交小圆于点P，连接，易证，得到，此时，；延长交小圆于点P，同理可得． 【详解】解：根据，得点P在以O为圆心，半径为1的圆上运动， 连接，连接，交于点G， ∵O为边长为2的正六边形的中心， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线，，都是等边三角形， ∴，，， ∴，， 延长交小圆于点P，连接，则， 在和中， ∴ ∴，即， 此时，； 延长交小圆于点P，连接，同理可得， 此时，； 故选：B． 72．（2025·江苏南通·模拟预测）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（    ） A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．圆锥 【答案】B 【分析】本题考查简单几何体的三视图及全等图形的概念，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键．根据简单几何体的三视图逐个判断即可． 【详解】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意； B．正方体的三视图都是正方形，且大小一样，即全等，故此选项符合题意； C．三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意； D．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故此选项不符合题意； 故选：B． 73．（2025·浙江·模拟预测）把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等．请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似图形和全等图形，根据相似图形的形状相同，全等图形的形状和大小均相同，进行求解即可． 【详解】解：由题意，分割如下：（画出其中任意4个即可） 74．（2025·上海·二模）如图，为圆O的一条直径，长度为10，与一弦的交点为C．若弦，且，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆的相关性质，三角形全等、相似的判定与性质，解题的关键是根据相似比得到弦的长． 先证得到，结合，得到，继而可证得，可得，设，则，再根据可求，进而得到弦的长，设中点为，根据勾股定理求出相关边长即可求解． 【详解】如图，设中点为，连接，   . 由题知， ， ， ，（等腰三角形底角相等）， （弦所对圆周角相等）， ， 又（对顶角相等）， ， ， ，直径为10，， 即，设，则， ，， ， ，即，解得， ， 又中点为，， ， ， ． 故答案为：． 【模拟09.三角形与圆结合】 75．（2025·陕西西安·三模）如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 76．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 77．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形内角和定理的应用，解题关键是理解反射角等于入射角． 根据题意得到后，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：依题意得：， ， ， 中，． 故答案为：． 78．（2025·安徽马鞍山·一模）如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，为上一点，连接交于点，作交直线于点，若，，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰直角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，过点E作于点M，作于点N，根据正弦的定义求出EM和NE的长，然后证明，利用对应边成比例解题即可． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， 过点E作于点M，作于点N， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：D． 【模拟10.三角形面积计算】 79．（2025·河南郑州·三模）如图，丽丽用边长为的正方形做成了一套七巧板，小组合作将这套七巧板拼成了“人”的形状，则这个“人”的两只脚所占的面积为 ．    【答案】2 【分析】根据七巧板的特征，可知点F是CD的中点，点E是BC的中点，，进而即可得到答案． 【详解】由题意得：点F是CD的中点，即：DF=CF=DC=×4=2， 同理：CE=BE=BC=2， ∴这个“人”的两只脚所占的面积=． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，掌握七巧板的几何特征，是解题的关键． 80．（2025·安徽芜湖·三模）如图，的2个内角与的角平分线相交于点． （1）设，则 ．（用含的式子表示） （2）过的直线分别交，于D，E两点，，的面积分别记为，．若，的周长为8，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，和角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后由角平分线求出，，进而求解即可； （2）如图，连接，作于点于点于点，首先根据角平分线的性质定理得到，然后表示出，，然后结合求解即可． 【详解】（1） 与的平分线相交于点 ， ； 故答案为：． （2）如图，连接，作于点于点于点， ∵平分，， ∴ 同理可得 ∴ ． 的周长为 ． 故答案为：． 81．（2025·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 82．（2025·上海徐汇·二模）如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是 ．    【答案】 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ，. ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 83．（2025·四川成都·二模）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 84．（2025·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则（1） ，（2）图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心、三角形内角和定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由得，因为是的内切圆，所以、，则，再根据三角形的内角和定理求解即可； （2）设与分别相切于点D、F、E，连接，可证明四边形是正方形，由，，求得，再证、、，推导出，则，所以的半径长为2，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）， ， 是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为： （2）设与分别相切于点D、F、E，连接， ，， ， 四边形是矩形， ∵是的内切圆， ∴平分，， ， 同理可证：， ， 四边形是正方形， ，，， ， ，，， ， ， 的半径长为2， ． 故答案为： 【模拟11.三角形与四边形结合】 85．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，平行四边形中，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接并延长交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了尺柜作图，平行四边形的性质，等角对等边．由平行四边形的性质得，，证明得，然后根据求解即可． 【详解】∵平行四边形中，， ∴，， ∴． 由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴． 由作图可知，， ∴． 故选B． 86．（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的重心，线段的垂直平分线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点F作，交于点H，交于点M，易得当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线，由勾股定理可得，证，求得，利用勾股定理求出即可；当点G是的重心时，，易证，利用中位线定理求出，进而得解． 【详解】解：如图：过点F作，交于点H，交于点M， ，，且， ∴四边形为矩形， F是的中点， ∴H是的中点， ， ∴， M也是的中点， 当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线． 与关于对称， ， ， 当点G落在的垂直平分线上时， ， 由题意得，， ， ， 解得， ， 当点G是的重心时，， ，， ， 又为中点，， ， ， H，M分别是，的中点， ， 故答案为：，． 87．（2025·湖北·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD中，，，点E是BC的中点，连接AE，将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在点处，连接，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形、折叠的性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 通过折叠和点E是的中点可得，则、易得；在运用勾股定理可得，进而得到，然后在中运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图：设与相交于点O， ∵将纸片沿直线折叠，使点B落在点，连接，点E是的中点， 点是点B关于直线的对称点，垂直平分， ∴，,， ∴，， 又∵三内角之和为， ∴， ∴， ∴， 解得：； 在中，由，可得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 故答案为：． 88．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【模拟12.三角形综合压轴题】 89．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段、一元二次方程的解法、勾股定理，解决本题的关键是根据“边积三角形”的定义和勾股定理找到三角形各边之间的关系．根据“边积三角形”的定义可得：，根据比例的性质可得：；设，根据三角形三边之间的关系可得：，解得：，根据三角形的三边长度必须是正数，可得：；根据，，由得，则有；根据勾股定理可知，当是直角三角形时，可知，，得，在选项的取值范围中，所以可能是直角三角形． 【详解】解：A选项：且是“边积三角形”， ， ，故A选项正确，不符合题意； 设， B选项：则有，， ， ，， ， ， 是的边， ， 不等式两边同时除以，可得：， 移项得：， 令， 则二次函数的图象开口向上， 当时，可得：， 解得：，， 当时，成立， 又， ， 当时，， ，故选项正确，不符合题意； 选项：由得，， 又， ∴，则， ∴， ∴， 即，故选项正确，不符合题意； 选项：若是直角三角形，则有， ， 等号两边同时除以，得， 则有，解得 由选项可知， 在取值范围内， 故存在“边积三角形”是直角三角形的概率不为， 故选项错误，符合题意． 故选：． 90．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有 个．（填正确结论的个数） 【答案】4 【分析】先证，再证，再由，即可判断（1）；故（1）正确；过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，证明，得到，则四边形是正方形，再证明得到，同理可证四边形是正方形，得到，即可证明得到即可判断（3）；则垂直平分，连接，，得到，即可证明即可判断（2）；，，而不一定等于，则不一定等于，即可判断（4）；证明得到，由此即可判断（5）． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴，故（1）正确； 如图所示，过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 同理可证四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故（3）正确； 又∵， ∴垂直平分． 连接，， ∴． 又∵，， ∴， ∴，故（2）正确； ∵，． 又∵不一定等于， ∴不一定等于，故（4）错误； 如图所示，过点作于， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，故（5）正确， ∴正确的结论有4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 91．（2025·河南许昌·一模）课本再现 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段， 构造出 ，进而得到． 类比迁移 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 拓展探究 （3）如图3，四边形是边长为3的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析（3）的长为2或3 【分析】此题四边形的综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取点，使，连接，由（1）同理可得，得出，设，则，，可得出答案； （3）过点作，交于点，证明，得出，设，则，，解方程可得出答案． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， 四边形是正方形， ， 、分别是和的中点， ， ， ， 交正方形外角的平分线于点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）． 理由：在上取点，使，连接， 由（1）同理可得， ， ， ， ， 设， 则，， ， ； 即． （3）如图所示，过点作，交于点， 四边形是菱形，， ，，，，，， ，，， 是角平分线， ，， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 可得， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上， 如图所示， ； 综上所述，的长为2或3． 92．（2025·江苏无锡·一模）如图，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，点是边上一动点，将四边形沿翻折，得到四边形，、的对应点分别是、，连接，，当点从点运动到点的过程中，设，三角形的面积、三角形的面积、三角形的面积分别用、、表示，则下列结论正确的是（    ） ①； ②； ③当、、三点在一条直线上时，； ④． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据，是边的中点，得出，，结合，表示出，即可得出，可判断①正确；根据，，得出，根据折叠可得，，设，则，，，得出，结合，证明可得，判断出②正确；当、、三点在一条直线上时，，得出，设，则，在中，勾股定理求解，判断出③正确；根据题意，延长交于点K，根据，得出，，证出点是中点，即可得，证明，得出，即可求出，判断出④正确； 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， 根据折叠可得，， 连接， 设， ， ， ， ， ， 又， ∴ ，故②正确； 当、、三点在一条直线上时，， ∴， 设，则， 在中，， 解得：，故③正确； ， 延长交于点K， ∵， ∴，， ∴点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：A． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 93．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 94．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，，，且点A在上，点D在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定方法是关键．依据题意，添加各个选项的条件后逐个分析判断可以得解． 【详解】解：A，添加，结合，， ∴不能满足判定的条件，故A符合题意． B，添加，结合，， ∴，故B不符合题意． C，添加，结合，， ∴，故C不符合题意． D，添加，结合，， ∴，故D不符合题意． 故选：A． 95．（2025·陕西西安·二模）如图，是的直径，点B在上，且，连接交于点E，交于点M，过点E作的切线，交于点F，当时． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线性质得到，结合得到，根据圆周角定理求出，进而证明，即可证明； （2）连接，证明，根据得到，证明，得到，求出，﹒再依次求出，，，即可求出的半径为﹒ 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵与相切于点E， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴﹒ ∴， ∴； （2）解：连接，如图． ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由(1)知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 在中，， ∴在中，， 在中，， ∴的半径为﹒ 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，综合性强，难度较大﹒ . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $