专题8.2 立方根（寒假衔接讲义）（4大知识点预习+ 8大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

专题8.2 立方根 知识点1：立方根的概念与表示方法 1.定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根(也叫做三次方根)。 2.表示方法：一个数的立方根用符号表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数(不能省略)。 知识点2：立方根的性质 1.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即。 3.对任意实数，都有和。 知识点3：开立方运算 1.求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 2.开立方运算中，被开方数可以是任意实数(正数、0、负数)。 知识点4：立方根与平方根的区别 对比维度 平方根 立方根 被开方数取值范围 被开方数为非负数，即 被开方数为任意实数 结果个数 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根 正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根为0 符号表示 表示为（根指数2省略，表示算术平方根） 表示为（根指数3不能省略） 【基础必考题型】 【题型1】求具体数的立方根(含整数、小数、分数、带分数) 1.核心知识点 立方根的定义与性质。 开立方与立方的逆运算关系。 2.解题方法技巧 先将带分数化为假分数、小数化为分数，再找哪个数的立方等于被开方数。 利用简化负数的立方根计算。 【例题1】.（25-26八年级上·河北承德·期末） ． 【变式题1-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【题型2】立方根的基本性质应用(判断正误、相反数关系) 1.核心知识点 立方根的符号性质。 互为相反数的立方根关系。 2.解题方法技巧 紧扣“正数立方根为正、负数立方根为负、0的立方根为0”判断。 利用等价于解题。 【例题2】.（25-26七年级上·山东威海·月考）下列说法错误的是（　　） A．与相等 B．与相等 C．与 是互为相反数 D．与互为相反数 【变式题2-1】.（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【题型3】利用立方根定义解简单方程(或型) 1.核心知识点 立方根的定义。 等式的基本性质。 2.解题方法技巧 先将方程化为“立方等于一个数”的形式，再对两边同时开立方。 开立方后得到一元一次方程，求解即可(注意符号准确性)。 【例题3】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）方程的解是 ． 【变式题3-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）求下列各等式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东深圳·周测）解方程： (1)； (2)． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）求x的值： (1) (2) 【培优高频题型】 【题型4】立方根与数轴的综合应用 1.核心知识点 立方根的估算。 数轴上点与实数的对应关系。 2.解题方法技巧 先估算立方根的整数范围，确定其在数轴上的大致位置。 结合数轴上的距离、点的移动等条件列关系式求解。 【例题4】.（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，这是一条不完整的数轴，数轴上有A，B，C，D，E五个点，且原点是这五个点中的一个．已知，点A，E对应的数的绝对值相等． (1)原点是点______，点A对应的数为______． (2)设点A，B，D，E对应的数分别为a，b，d，e，计算的值． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·期中）如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，总体积为． (1)这个魔方的棱长为　　（用含V代数式表示）． (2)当魔方体积时： ①这个魔方的棱长为　　． ②图甲中阴影部分是一个正方形，阴影部分正方形的边长为　　． ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　　． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ． 【题型5】平方根与立方根的综合求值 1.核心知识点 平方根的性质(正数有两个平方根，互为相反数)。 立方根的定义与计算。 2.解题方法技巧 由平方根条件求出字母参数值(如的平方根为，则)。 代入含立方根的表达式计算，注意符号和运算顺序。 【例题5】.（25-26八年级上·四川眉山·期末）正数的两个平方根分别是和，则的立方根为 ． 【变式题5-1】.（2025—2026学年上学期学生学业质量监测八年级数学试卷）已知的平方根是，的算术平方根是3． (1)求m，n的值； (2)求的立方根． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知且A是的算术平方根，且B是的立方根，为整数，求的值的平方根． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【题型6】立方根的实际应用(体积相关) 1.核心知识点 正方体、球体等几何体的体积公式。 立方根的实际意义(体积求棱长)。 2.解题方法技巧 根据几何体体积公式建立等式，转化为“棱长的立方等于体积”。 开立方求出棱长，注意单位统一(如立方厘米转厘米)。 【例题6】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【变式题6-2】.（23-24八年级上·陕西榆林·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方） 【变式题6-3】.（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【压轴素养题型】 【题型7】立方根的规律探究(小数点移动问题) 1.核心知识点 立方根的运算性质。 被开方数与立方根的变化规律。 2.解题方法技巧 观察实例总结规律：被开方数的小数点每向左(或向右)移动3位，立方根的小数点对应向左(或向右)移动1位。 利用规律逆向求解(如已知求，或已知求)。 【例题7】.（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 【变式题7-3】.（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【题型8】阅读材料型——方根新定义与估算应用 1.核心知识点 新定义理解（四次方根、五次方根的定义）。 阅读提炼解题方法（立方根的位数、个位、十位确定技巧）。 2.解题方法技巧 精读材料：提取新定义的本质（如“则是的次方根”）或估算步骤（判位数→定个位→推十位）。 精准应用：按材料中的定义或方法，结合方根性质计算或求解，注意偶次方根的非负性和奇次方根的 任意性。 【例题8】.（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·湖北荆州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是 ； ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 易错点 1.混淆立方根与平方根的性质，误将正数的立方根写成两个(如认为)。 2.计算负数的立方根时符号出错(如误将算成3)。 3.忽略开立方运算中被开方数可以是负数，错误认为“负数没有立方根”。 4.解型方程时，开立方后忘记求解一元一次方程(如仅得出，未求)。 重点 1.立方根的概念与表示方法(正确书写，牢记根指数3不能省略）。 2.立方根的核心性质（符号与被开方数一致、互为相反数的立方根关系）。 3.利用开立方与立方的逆运算求立方根、解简单立方方程。 4.立方根的基础应用（求代数式值、简单体积问题）。 难点 1.立方根的规律探究（被开方数与立方根的小数点移动规律及逆向应用）。 2.平方根与立方根的综合求值（结合平方根的非负性、相反数关系）。 3.跨学科与新定义题型（准确提取数量关系、转化新定义为常规运算）。 4.立方根在复杂实际情境中的应用（如多几何体组合、体积变化问题）。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法中，正确的是 （    ） A．平方根等于本身的数是0和1 B．立方根等于本身的数是0和1 C．表示64的根的平方根 D．是3的一个平方根 2．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 3．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 4．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 5．下列说法不正确的是（    ） A．是的平方根 B．9的算术平方根是3 C．0.4的平方根是 D．有立方根 二、填空题 6．若有意义，则x的取值范围是 ． 7．一个体积是64的小正方体的棱长是 ． 8．根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ． 9．一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为 ． 10．求下列各式中x的值 （1）， ；（2）， ． 三、解答题 11．求式子中的x的值： (1) (2) 12．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 13．按要求完成下列各题： (1)已知是的算术平方根，是的立方根，求的值． (2)已知一个正数的两个平方根分别是与，求这个正数． 14．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是，求的算术平方根． 15．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2 立方根 知识点1：立方根的概念与表示方法 1.定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根(也叫做三次方根)。 2.表示方法：一个数的立方根用符号表示，读作“三次根号”，其中是被开方数，3是根指数(不能省略)。 知识点2：立方根的性质 1.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2.互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，即。 3.对任意实数，都有和。 知识点3：开立方运算 1.求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 2.开立方运算中，被开方数可以是任意实数(正数、0、负数)。 知识点4：立方根与平方根的区别 对比维度 平方根 立方根 被开方数取值范围 被开方数为非负数，即 被开方数为任意实数 结果个数 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根 正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根为0 符号表示 表示为（根指数2省略，表示算术平方根） 表示为（根指数3不能省略） 【基础必考题型】 【题型1】求具体数的立方根(含整数、小数、分数、带分数) 1.核心知识点 立方根的定义与性质。 开立方与立方的逆运算关系。 2.解题方法技巧 先将带分数化为假分数、小数化为分数，再找哪个数的立方等于被开方数。 利用简化负数的立方根计算。 【例题1】.（25-26八年级上·河北承德·期末） ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题1-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列运算正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，算术平方根为非负数，立方根可为负数． 本题考查了算术平方根，立方根，熟练掌握相关概念是解题关键． 【详解】解：∵ 算术平方根定义，表示的算术平方根；立方根定义，表示的立方根． A、，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误； 故选：B． 【变式题1-2】.（2026七年级下·全国·专题练习）计算： （1） ； （2） ． 【答案】 9 【分析】本题考查了立方根的定义和计算，掌握立方根的计算方法，尤其是分数立方根的拆分计算是解题的关键． 计算立方根时，需找到使立方等于被开方数的数；分数立方根可分解为分子分母分别开立方；负号表示取相反数． 【详解】解：（1） ， ． 故答案为：； （2），首先计算 ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·周测）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4) 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据以及立方根的定义进行计算即可； （3）根据以及立方根的定义进行计算即可； （4）根据以及立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ． 【题型2】立方根的基本性质应用(判断正误、相反数关系) 1.核心知识点 立方根的符号性质。 互为相反数的立方根关系。 2.解题方法技巧 紧扣“正数立方根为正、负数立方根为负、0的立方根为0”判断。 利用等价于解题。 【例题2】.（25-26七年级上·山东威海·月考）下列说法错误的是（　　） A．与相等 B．与相等 C．与 是互为相反数 D．与互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查平方、平方根、立方根及绝对值的性质． 解决本题的关键是根据平方、平方根、立方根及绝对值的性质得到正确结果，再进行判断． 【详解】A选项： ， 与相等，故A选项正确，不符合题意； B选项： ，， 与相等，故B选项正确，不符合题意； C选项： ， 与互为相反数，故C选项正确，不符合题意； D选项： ，， ，两者相等，不互为相反数，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 【答案】（1）    （2）或 【分析】本题考查了相反数的应用，算术平方根、立方根的性质和代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据相反数的定义得到，再根据算术平方根的性质得到，，进而求得、的值，最后将、的值代入即可得解； （2）由得，再根据相反数的定义得，进而得到，再分情况把、的值代入即可得解． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ，， ； （2）， ， 与互为相反数， ， ，即， 当时，，， 当时，，， 综上，代数式的值为或． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知与互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、立方根、解一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意得出方程． 根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，即， 解得． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知某个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a与b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根的定义，立方根的定义． （1）根据平方根的定义，立方根的定义作答即可； （2）先求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵某个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：； ∵的立方根是2， ∴， 即， 解得：； （2）解：， ∴的平方根为． 【题型3】利用立方根定义解简单方程(或型) 1.核心知识点 立方根的定义。 等式的基本性质。 2.解题方法技巧 先将方程化为“立方等于一个数”的形式，再对两边同时开立方。 开立方后得到一元一次方程，求解即可(注意符号准确性)。 【例题3】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求立方根，解题的关键是通过移项、系数化为1等步骤将方程转化为的形式，再根据立方根的定义求出方程的解． 先将常数项移到等号右边，再把未知数的系数化为1，得到的值，最后根据立方根的定义求出x的值． 【详解】解： 移项得： 系数化为1得： 两边开立方得： 故答案为：． 【变式题3-1】.（2026七年级下·全国·专题练习）求下列各等式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，以及利用开方解一元二次、一元三次方程的方法，掌握开方运算的规则和步骤是解题的关键． （1）先将的系数化为，再利用平方根的定义开平方求解； （2）先移项、系数化为，得到的值，再开平方求出，进而解出； （3）先移项、系数化为，得到的值，再利用立方根的定义开立方求解； （4）先系数化为，得到的值，再开立方求出，进而解出． 【详解】（1）解： （2）解： ​解得：或 （3）解： （4）解：​ 【变式题3-2】.（25-26八年级上·广东深圳·周测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴或； （2）解： ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）求x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是掌握求一个数的平方根和立方根． （1）根据求一个数的平方根解方程； （2）根据求一个数的立方根解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 【培优高频题型】 【题型4】立方根与数轴的综合应用 1.核心知识点 立方根的估算。 数轴上点与实数的对应关系。 2.解题方法技巧 先估算立方根的整数范围，确定其在数轴上的大致位置。 结合数轴上的距离、点的移动等条件列关系式求解。 【例题4】.（25-26八年级上·河北秦皇岛·期中）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提． 根据实数在数轴上对应的点的位置判断出： ，的符号，再根据算术平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：实数a，b在数轴上对应的点的位置可知：，，且， 因此，，， 所以，．， 故选D 【变式题4-1】.（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，这是一条不完整的数轴，数轴上有A，B，C，D，E五个点，且原点是这五个点中的一个．已知，点A，E对应的数的绝对值相等． (1)原点是点______，点A对应的数为______． (2)设点A，B，D，E对应的数分别为a，b，d，e，计算的值． 【答案】(1)C； (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，解题的关键是根据数轴确定，，，． （1）根据A，B，C，D，E五个点，原点是这五个点中的一个，点A，E对应的数的绝对值相等可以确定中间的一个为原点，根据，，求出，得出点E表示的数，然后求出结果即可； （2）根据数轴求出，，，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵A，B，C，D，E五个点，原点是这五个点中的一个，点A，E对应的数的绝对值相等，且， ∴原点是点C， ∵，， ∴， ∴点E表示的数为， ∵点A，E对应的数的绝对值相等， ∴点A对应的数为； （2）解：根据解析（1）可知：，， ∵，， ∴，， ∴ ． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·期中）如图甲，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，总体积为． (1)这个魔方的棱长为　　（用含V代数式表示）． (2)当魔方体积时： ①这个魔方的棱长为　　． ②图甲中阴影部分是一个正方形，阴影部分正方形的边长为　　． ③把正方形放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为　　． 【答案】(1) (2)①4；②；③ 【分析】本题考查正方体的体积公式，数轴上两点的距离，求一个数的立方根. （1）根据正方题的体积公式解答即可； （2）①由（1）所得公式，有体积可求出棱长； ②根据魔方的棱长为4，可知每个小立方体的棱长为（），则阴影部分正方形ABCD的面积，则正方形的边长 ； ③根据数轴上两点的距离就是用右边点所对的数字减去左边点所对的数字计算并解答即可． 【详解】（1）解：根据：（a为正方体的棱长）， 则正方体的棱长为：， 故答案为：． （2）解：①根据（1）可知：正方体的棱长为：， 故， 故答案为：4； ②∵魔方的棱长为4， ∴每个小立方体的棱长为（）， ∴阴影部分正方形的面积， ∴正方形ABCD的边长 ， 故答案为：； ③∵A与数1重合，且D点在A的左侧距离A点 ， 故D点的坐标为：， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·四川眉山·期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，符号确定，绝对值的化简，有理数的大小比较，立方根，熟练掌握绝对值的化简，有理数的大小比较是解题的关键．根据数轴上有理数的位置，有理数的运算法则，有理数的大小比较法则，立方根，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，且， ∴，， ∴， ， 故答案为：． 【题型5】平方根与立方根的综合求值 1.核心知识点 平方根的性质(正数有两个平方根，互为相反数)。 立方根的定义与计算。 2.解题方法技巧 由平方根条件求出字母参数值(如的平方根为，则)。 代入含立方根的表达式计算，注意符号和运算顺序。 【例题5】.（25-26八年级上·四川眉山·期末）正数的两个平方根分别是和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．利用平方根的性质，两个平方根互为相反数，列方程求出值，再求出值，然后计算的立方根即可得答案． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根为． 故答案为： 【变式题5-1】.（2025—2026学年上学期学生学业质量监测八年级数学试卷）已知的平方根是，的算术平方根是3． (1)求m，n的值； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，得到，，求出m，n的值即可；、 （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ， 的算术平方根为3， ， ， ． 答：m的值为5，n的值为1． （2）解：由（1）得 的立方根为2． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·全国·周测）已知且A是的算术平方根，且B是的立方根，为整数，求的值的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义求出，将求出的代入得到的值，根据立方根的定义求出，将求出的代入得到的值，从而可求出的值的平方根． 【详解】解：且是的算术平方根， ， 解得， ． 且是的立方根， ， 解得， ， ， 的值的平方根是． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）由算术平方根的定义和立方根的定义列方程组即可求解； （2）把、的值代入求得代数式的值，最后再求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：，， ， 的平方根是， 的平方根是． 【题型6】立方根的实际应用(体积相关) 1.核心知识点 正方体、球体等几何体的体积公式。 立方根的实际意义(体积求棱长)。 2.解题方法技巧 根据几何体体积公式建立等式，转化为“棱长的立方等于体积”。 开立方求出棱长，注意单位统一(如立方厘米转厘米)。 【例题6】.（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）已知一个正方体的体积是，现要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去小正方体后余下部分的体积恰好是，则截去的每个小正方体的棱长是（   ） A．6 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的应用．设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是， 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）一个铅球体积是，则它能否被装到容积为的立方体容器中？请说明理由．（球的体积公式为，其中为球的体积，为球的半径） 【答案】能，理由见解析 【分析】本题考查了利用立方根解题，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据球的体积公式求出铅球半径，进而得到直径，再根据立方体容积求出棱长，最后比较铅球直径与立方体棱长的大小． 【详解】解：能． 理由：设铅球的半径为， 根据题意，得 ， 即， ． 设立方体容器从里面测量棱长为， 则， ． ， 铅球能被装到容积为的立方体容器中． 【变式题6-2】.（23-24八年级上·陕西榆林·期中）有一块正方体木块，体积是216，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？（正方体的体积棱长的立方） 【答案】54 【分析】本题考查了正方体的表面积，以及开立方运算，根据题意得到每个小正方体木块体积，进而得到每个小正方体木块棱长，最后求出正方形表面积，即可解题． 【详解】解：由题知每个小正方体木块体积为：（）， 每个小正方体木块棱长为：， 每个小正方体木块的表面积是：（）， 答：每个小正方体木块的表面积是54． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 【压轴素养题型】 【题型7】立方根的规律探究(小数点移动问题) 1.核心知识点 立方根的运算性质。 被开方数与立方根的变化规律。 2.解题方法技巧 观察实例总结规律：被开方数的小数点每向左(或向右)移动3位，立方根的小数点对应向左(或向右)移动1位。 利用规律逆向求解(如已知求，或已知求)。 【例题7】.（25-26七年级上·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东河源·月考）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（） ； ． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（） ； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由 ； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2） ；大约需要平方米的铁皮． 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解： ， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 【题型8】阅读材料型——方根新定义与估算应用 1.核心知识点 新定义理解（四次方根、五次方根的定义）。 阅读提炼解题方法（立方根的位数、个位、十位确定技巧）。 2.解题方法技巧 精读材料：提取新定义的本质（如“则是的次方根”）或估算步骤（判位数→定个位→推十位）。 精准应用：按材料中的定义或方法，结合方根性质计算或求解，注意偶次方根的非负性和奇次方根的 任意性。 【例题8】.（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·湖北荆州·期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ ∵；， ∴是两位数， ∵59319的个位数是9， ∴的个位数是9． 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位数是3，所以． 阅读以上材料，的个位数是 ； ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．仿照题干中的解答步骤解答即可． 【详解】解：∵；， ∴是两位数， ∵19683的个位数是3， ∴的个位数是7． ∵；， ∴是两位数， ∵110592的个位数是2， ∴的个位数是8． 如果划去110592后面的三位592得到数110，而，， 由此确定的十位数是4， 所以， 所以． 故答案为：，； 【变式题8-2】.（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读下面内容，并解答问题． 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求出它的立方根．华罗庚不假思索地给出了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． (1)请按照下面的分析试一试： ①由，，可知是______位数； ②由59319的个位上的数是9，可知的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此确定的十位上的数是______； ④因此，______． (2)求的值． 【答案】(1)①两；②9；③3；④39 (2) 【分析】本题考查了立方根的估算方法（利用立方数的位数特征、个位数字规律及范围界定十位数字），解题的关键是掌握“立方数的位数对应原数位数”“立方数个位数字与底数个位数字的唯一对应关系”“通过划去后三位数字确定底数十位数字的范围”这三个核心规律． （1）①通过对比（1000）和（1000000）与59319的大小，确定的位数；②根据“只有个位为9的数，其立方个位为9”确定的个位数字；③划去59319后三位得59，对比（27）和（64）的范围，确定的十位数字；④综合个位与十位数字得的结果； （2）求时，同理先判位数（对比与），再根据“个位为3的立方数对应底数个位为7”定个位，划去后三位得50，对比与定十位，最终得结果． 【详解】（1））①解：∵，，且， ∴是两位数； 故答案为：两． ②解：∵只有个位数字为9的数，其立方的个位数字为9（），且59319的个位为9， ∴的个位为9； 故答案为：9． ③解：划去59319后面三位319得59， ∵，，且， ∴的十位为3； 故答案为：3． ④解：由①知是两位数，②知其个位为9，③知其十位为3， ∴；故答案为：39． （2）解：∵，，且， ∴， ∴是两位数； ∵只有个位数字为7的数，其立方的个位数字为3（），且50653的个位为3， ∴的个位为7；划去50653后面三位653得50， ∵，，且， ∴的十位为3； 综合得． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． (1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______； (3)求的值：． 【答案】(1)； (2)；任意实数 (3)或 【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． （1）根据，，，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴81的四次方根为， ∵， ∴的五次方根为， 故答案为：；； （2）解：若有意义，则， 故的取值范围是； 若有意义，则的取值范围是任意实数， 故答案为：；任意实数； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 易错点 1.混淆立方根与平方根的性质，误将正数的立方根写成两个(如认为)。 2.计算负数的立方根时符号出错(如误将算成3)。 3.忽略开立方运算中被开方数可以是负数，错误认为“负数没有立方根”。 4.解型方程时，开立方后忘记求解一元一次方程(如仅得出，未求)。 重点 1.立方根的概念与表示方法(正确书写，牢记根指数3不能省略）。 2.立方根的核心性质（符号与被开方数一致、互为相反数的立方根关系）。 3.利用开立方与立方的逆运算求立方根、解简单立方方程。 4.立方根的基础应用（求代数式值、简单体积问题）。 难点 1.立方根的规律探究（被开方数与立方根的小数点移动规律及逆向应用）。 2.平方根与立方根的综合求值（结合平方根的非负性、相反数关系）。 3.跨学科与新定义题型（准确提取数量关系、转化新定义为常规运算）。 4.立方根在复杂实际情境中的应用（如多几何体组合、体积变化问题）。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法中，正确的是 （    ） A．平方根等于本身的数是0和1 B．立方根等于本身的数是0和1 C．表示64的根的平方根 D．是3的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念． 根据平方根和立方根的概念逐一判断即可． 【详解】解：选项A：平方根等于本身的数是0，故A错误； 选项B：立方根等于本身的数是0和1和，故B错误； 选项C：表示64的平方根，故C错误； 选项D：是3的算术平方根，是3的一个平方根，故D正确； 故选：D． 2．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根，绝对值，相反数与立方根，熟记概念是解题的关键． 判断各组数是否互为相反数，即和是否为零，需计算每组数值并验证. 【详解】解：A、，，，不是相反数，不符合题意； B、，，不是相反数，不符合题意； C、，，是相反数，符合题意； D、，不是相反数，不符合题意； 故选：C． 3．若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 4．正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 5．下列说法不正确的是（    ） A．是的平方根 B．9的算术平方根是3 C．0.4的平方根是 D．有立方根 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根、立方根，分清平方根、算术平方根、立方根是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义判断各选项的正确性即可． 【详解】解：对于A：，是25的平方根，∴说法正确，不符合题意； 对于B：9的算术平方根是3，∴说法正确，不符合题意； 对于C：，∴不是0.4的平方根，∴说法不正确，符合题意； 对于D：任何实数都有立方根，∴有立方根，∴说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 6．若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 7．一个体积是64的小正方体的棱长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查立方根，根据正方体的体积公式，体积等于棱长的立方，即棱长是体积的立方根，故求出64的立方根即可． 【详解】解：设正方体的棱长为a，由题意得， 所以， 故答案为：4． 8．根据图中呈现的运算关系，可知a＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数，解题关键是掌握开立方的意义． 根据开立方的意义求解． 【详解】解：∵2025开立方得， 开立方得， ∴是2025的相反数， 即， 故答案为：． 9．一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根的性质及立方根的计算，根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列方程求解x，再求a，进而计算的立方根． 【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴，即，解得， 则一个平方根为， ∴， ∴，8的立方根为2， 故答案为：2． 10．求下列各式中x的值 （1）， ；（2）， ． 【答案】 或 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程． （1）直接利用平方根性质求解； （2）先化简方程，再利用立方根性质求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； 故答案为：或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．求式子中的x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，或； （2）解：， ， ， ． 12．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 13．按要求完成下列各题： (1)已知是的算术平方根，是的立方根，求的值． (2)已知一个正数的两个平方根分别是与，求这个正数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根的计算． （1）根据算术平方根和立方根的定义求出和的值，代入表达式计算； （2）利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解，再求这个正数． 【详解】（1）解：是的算术平方根，． 是的立方根，． （2）解：一个正数的两个平方根互为相反数， ． 整理得， 解得． 一个平方根为， 这个正数为． 14．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】本题考查平方根，立方根，算术平方根，掌握相关知识是解决问题的关键．一个正数的两个不同的平方根分别是与，则与互为相反数；的立方根是，则，由此可求出的值，代入求出其算术平方根即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ， 解得． 的立方根是， ， 解得， ， 的算术平方根是4． 15．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $