8.3实数及其简单运算寒假预习讲义-2025-2026学年人教版七年级下学期数学（知识点归纳+题型解读+综合测试）

8.3实数及其简单运算寒假预习讲义（人教版） 💧 预习内容概览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 2. 核心考点◆精讲精练 4.巩固提升◆综合测试 ✅ 课前预习◆目标 ●能准确区分有理数与无理数，掌握实数的两大分类（有理数、无理数），能准确列举常见无理数实例； ●理解相反数、绝对值、倒数的核心定义，能快速求出简单实数的相反数、倒数，初步掌握绝对值的表示方法； ●了解实数与数轴的一一对应关系，并能比较实数的大小； ●感受实数的逻辑性和实用性，激发学生课堂学习兴趣和主动性。 ☘ 重点知识◆梳理归纳 【知识点1】有理数与无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数又叫无理数． 重点提示：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． （2）常见的无理数有三种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……．③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如． 【知识点2】实数 1.概念：有理数和无理数统称为实数． 2．实数的分类 ❈ 按定义分： ❈ 按与0的大小关系分： 实数 实数 3. 实数与数轴上的点一一对应 ◦ 数轴上右边的数 ＞ 左边的数； ◦ 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应． 【知识点3】实数的性质 ◦ 性质：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【知识点4】实数的运算 1.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0、乘方运算，而且正数及0）可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。 （1）运算种类：加、减、乘、除、乘方、开方 （2）运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减有括号先算括号里，同级从左到右 （3）运算律：加法：交换律 a+b=b+a，结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法：交换律 ab=ba，结合律 (ab)c=a(bc)，分配律a(b+c)=ab+a ✍ 核心考点◆精讲精练 题型1无理数 例1．下列实数，，，中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数，，，中，无理数是和，有2个， 故选：B． 变式1．下列实数，，，中，属于无理数的是 ． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数或开方开不尽的数是无理数，逐一判断各数． 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中常见无理数包括开方开不尽的数（如非完全平方数的平方根）和π类数等．熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：，是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 7不是完全平方数， 是无理数； 是有限小数，是有理数． 故答案为：． 变式2．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 题型2无理数的大小估算 例2．一个正方形的边长为米，若其面积为平方米，则介于哪两个相邻整数之间?（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，关键是熟练应用方法进行解题；先根据正方形面积公式得出，再通过计算相邻整数的平方，利用平方数的大小关系估算的取值范围． 【详解】∵，， ∴ ∵， ∴， 即：， 故选：B． 变式1．满足的所有整数的和是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了无理数的估算，估算出和的范围，进而确定满足题意的整数x的值，再求和即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴满足的整数有 ， ， 故答案为：2． 变式2．已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 【答案】(1) (2)11或5 【分析】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）根据平方根、立方根的定义以及算术平方根的性质解决此题． （2）根据平方根的定义以及性质解决此题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是c的立方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根与c的差为或． 题型3无理数整数部分的有关计算 例3．下列说法错误的是（    ） A．3的平方根是 B．4的算术平方根是2 C．的整数部分是2 D．的小数部分是 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根，解题关键是熟练掌握如何估算无理数大小和平方根的定义． 根据算术平方根，平方根的定义和无理数的估算逐项求解判断即可． 【详解】解：A．3的平方根是，原说法错误，符合题意； B．4的算术平方根是2，说法正确，不符合题意； C．∵， ∴， ∴的整数部分是2，说法正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴的整数部分是5，小数部分是，说法正确，不符合题意． 故选：A． 变式1．设的整数部分为，的整数部分为，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 估算和的整数部分，通过比较相邻平方数确定和的值，最后代入，进行计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分； ∵ ，即， ∴ 的整数部分； 则． 故答案为：． 变式2．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求，的值； (2)是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根、无理数的估算，关键是灵活应用知识点解题；根据立方根的定义、算术平方根的定义求出，接着估算出的范围，从而求出的值，最后根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根是 ， ∴即：， 的立方根是， ∴， 即， ∴； （2）解：， ∴ ， ∴， 由（1）得， ∴， ∴的平方根是． 题型4实数概念理解 例4．实数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 根据相反数的含义以及求法，在实数的前边加上“”，求出实数的相反数即可． 【详解】解： 的相反数为，   故选： A． 变式1．（1）实数25的平方根是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的概念是解题的关键； （1）根据平方根的概念可求解； （2）根据平方根的概念可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴实数25的平方根是； 故答案为； （2）∵， ∴0.01的平方根是； 故答案为． 变式2．若m，n为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值与平方的非负数性，实数的含义，求解代数式的值，根据非负数的性质可得，，求解，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 题型5实数的分类 例5．下列实数中，是无理数的为（    ）． A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数的定义是关键． 根据有理数和无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：是分数，属于有理数，不是无理数，故A错误； 对于选项B：0是整数，属于有理数，不是无理数，故B错误； 对于选项C：是有限小数，属于有理数，不是无理数，故C错误； 对于选项D：是无理数，故D正确． 故选：D． 变式1．在实数，，，，中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数定义和实数分类，熟记实数分类及无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数，对每个实数进行判断． 【详解】解：在实数，，，，中，无理数有，，共2个， 故答案为：2． 变式2．把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 【答案】（1）整数：； （2）分数：； （3）无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0）}． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键； 根据实数的分类将题干的八个数分别填到三个空内． 【详解】解：是整数；无法化简也不能化为分数形式，是无理数；是分数；0是整数，是无理数；是有限小数，是分数；是有限小数，是分数；（相邻两个3之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； ∴整数：； 分数：； 无理数：{，，（相邻两个3之间依次多一个0，…} ． 题型6实数的性质 例6．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义．先求给定实数的倒数，再求该倒数的相反数，即可得到结果， 【详解】解：实数的倒数， 则的相反数是2， 即实数的倒数的相反数是2， 故选：C． 变式1．“对于任何实数，”是一个 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了判断命题真假、实数的性质，分情况讨论和的大小关系，即可得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴“对于任何实数，”是一个假命题． 故答案为：假． 变式2．判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 【答案】(1)不正确；举例见详解 (2)不正确；举例见详解 【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性． （1）考虑b的符号并举例即可判断． （2）考虑互为相反数的无理数即可求解． 【详解】（1）解：不正确，理由如下： 当时，，例如，则，因此说法不正确． （2）解：不正确，理由如下： 两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和， 它们的和为0（有理数），因此说法不正确． 题型7实数与数轴 例7．如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，相反数的含义，绝对值的含义，实数的加减运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．由题意得：再利用相反数与绝对值的含义，实数的加减运算逐一分析判断即可． 【详解】解：由题意得：， ，，，， ∴结果小于1的是，故C符合题意，A，B，D不符合题意． 故选：C． 变式1．点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求算术平方根，数轴上两点间的距离． 先根据正方形面积求出边长的长度，再利用数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积是10， ∴边长， ∵点对应的数是， ∴点对应的数是或 故答案为：或． 变式2．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴以及实数的运算，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）起始位置的数加上移动的单位长度就是m的值； （2）根据题意列出式子求得的值，即可求得的平方根． 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 题型8实数的大小比较 例8．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数比较大小的基本规则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较时，绝对值大的反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，，均为正数，为负数， ∴这四个数中，最小的数是负数， 故选：C． 变式1．比较大小： 3（填，，） 【答案】 【分析】本题考查了实数比较大小，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 由得到，即可比较大小． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 变式2．比较大小：和． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解题的关键； 运用作差法，判断两数之差的结果是否大于0． 【详解】解：． ，，且， ， ， ． 题型9实数的混合运算 例9．下列关于圆周率说法错误的是（   ） A．它是无限不循环小数 B．它可以用数轴上唯一的一个点来表示 C．它的相反数小于 D．它与任何无理数的和是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，实数比较大小，是一个无限不循环的无理数，据此可判断A；根据实数与数轴一一对应可判断B；根据实数比较大小的方法可判断C；根据可判断D． 【详解】解：A、是无限不循环小数，原说法正确，不符合题意； B、可以用数轴上唯一的一个点来表示，原说法正确，不符合题意； C、∵， ∴，原说法正确，不符合题意； D、，而0是有理数，原说法错误，符合题意； 故选：D． 变式1．若，其中，则b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算（利用加法各部分的关系：加数和另一个加数），解题关键是通过移项将b表示为和与的差，再代入计算． 根据已知条件 和 ，通过等式变形求解 的值． 【详解】解：由 ，得 ，代入 ，得 ． 故答案为 ：． 变式2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，有理数的加法运算： （1）先进行乘方，开方和去绝对值运算，再进行加减运算即可； （2）根据有理数的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式． 题型10程序设计与实数运算 例10．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 变式1．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 变式2．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 题型11新定义下的实数运算 例11．定义一种新的加法运算法则：，其中a，b，c，d均为实数．若，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查实数的运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于和的方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将已知条件转化为方程求解. 【详解】解：∵ , ∴ , , ∴ , . 故选：B． 变式1．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和平方根，根据“最美实数”的定义，非零实数的算术平方根等于它的立方根，解得该实数为，代入表达式求． 【详解】解：设最美实数为，则，且， 两边六次方得， 即， 解得：或， 由于为非零实数， ， ， 解得：． 故答案为：． 变式2．若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 【答案】（1）①  ②  （答案不唯一） （2）  2 （3）或 【分析】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解； ② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于； （2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解； （3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到的值． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴数，的另一个“平方和数”为． ②∵，且， ∴还可以是数，的“平方和数”． （2）解：（2）由题意得 ∵平方数具有非负性， ∴， 要使两个非负数的和为，必须两个数都为： 解得 ：，． （3）解：（3）根据题意，得 当时，； 当时，． ∴或． 【点睛】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解． 题型12实数运算的实际运用 例12．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 变式1．已知，则实数x的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的计算，绝对值方程的解法，掌握若，则或是解题的关键． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：由绝对值的性质，可得 或． 解这两个方程，得或． 故答案为：或． 变式2．如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的应用，求三角形的面积， 根据三角形的面积公式求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得； （2）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得． 题型13与实数运算相关的规律题 例13．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 变式1．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 变式2．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． ✍ 巩固提升◆综合测试 一、单选题 1．下列各数中，无理数的是（    ） A．5 B． C． D．0.1010010001 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，需依据有理数（整数、分数，即有限小数和无限循环小数）与无理数（无限不循环小数）的概念判断各选项． 【详解】解：整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数， A选项5是整数，属于有理数． B选项是分数，属于有理数． C选项中π是无理数，6是有理数，非零有理数与无理数的乘积是无理数，故是无理数． D选项0.1010010001是有限小数，属于有理数． 故选：C． 2．计算的结果，下列说法正确的是（  ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查立方根的估算，关键是找到与被开方数相邻的两个完全立方数，利用立方根的单调性确定其取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 故选：B． 3．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 4．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 5．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B． 6．如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴、绝对值等知识，解题的关键是理解题意． 根据数轴上点的位置关系以及可知与互为相反数，再结合的值和求出的值，进而得到的值． 【详解】解：∵，且从数轴上可知，， ∴与互为相反数，即， ∵，，且， ∴， ∴， 故选：B． 7．在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先区分正数与负数，负数小于正数，再比较两个正数的大小即可确定最大数． 【详解】解：∵， ∴， ∵正数大于负数， ∴中，最大的数为； 故选：C． 8．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间距离的方法是用数轴上右边的数减去数轴上左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离． 首先根据数轴上，的对应点分别是点和点，可以求出线段的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【详解】解：数轴上，的对应点分别是点和点， ， 是线段的中点， ， 点表示的数为：． 故选：． 9．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 10．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 【详解】解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 12．在，，，，这几个数中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，关键是利用定义进行判断；根据无理数的定义（无限不循环小数），逐个判断每个数是否为无理数． 【详解】解：∵是有限小数，可以化为分数，因此是有理数； 是整数，因此是有理数； π 是无限不循环小数，不能表示为分数，因此是无理数； 是分数，因此是有理数； 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，因此是无理数， ∴无理数有 个， 故答案为：． 13．对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的新定义运算，掌握题意，列出算式，准确计算是关键． 根据新运算的定义，将 ， 代入公式 ，计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 15．的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了实数的概念，相反数，倒数的定义，化简绝对值，根据相反数，倒数的定义，化简绝对值进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：的相反数是，的倒数是，， 故答案为：，，． 16．如图，小亮设计了一个计算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与实数计算，直接利用运算公式代入x的值，进而计算得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．已知下列个实数：，，，，，，． (1)将它们分别填入相应的圈内． (2)将这个实数用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查实数的分类，根式的化简，实数的大小比较，准确识别无理数是解题关键． （1）根据无理数和整数的定义，先化简根式，再将，归入无理数，将，，​归入整数； （2）将各数化简或估算为小数，再按照“负数正数”的顺序排列，得到最终的大小关系． 【详解】（1）解：，，，，，，中， ，， 则无理数有：，； 整数有：，，． 故填数如下： （2）解：对个实数排序如下： ． 18．（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）或；（2）9 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根的性质解方程． （1）直接利用平方根的性质解方程即可； （2）分别计算算术平方根、立方根，再进行加减计算． 【详解】（1）解： 解得或； （2）解： ． 19．已知的立方根是4，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，再根据无理数的估算求出c的值即可； （2）先代入求出代数式的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是4， ， 的算术平方根是3， ， ， ，即， 的整数部分是4，又是的整数部分， ； （2）解：，，， ， 的平方根为． 20．求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 【答案】(1)的相反数为3， (2)的相反数为， 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的化简，以及相反数和绝对值的定义，掌握先化简根式，再根据定义求相反数和绝对值，绝对值要先判断数的正负是解题的关键． （1）先化简立方根得到，再根据相反数、绝对值的定义，分别计算的相反数和绝对值； （2）先判断的正负性，再根据相反数的定义改变符号，正数的绝对值为其本身，直接得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴的相反数为3． 由绝对值的意义，得． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的相反数为． 由绝对值的意义，得． 21．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 22．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字的规律探索，算术平方根，熟练掌握运算法则，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意结合算术平方根的运算法则计算即可得解； （2）根据题干所给例子得出结论即可； （3）根据（2）中得出的规律计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：（为自然数）； （3）解：． 23．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查了非负数的性质、算术平方根、求代数式的值、数轴上两点之间的距离，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点的间的距离公式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，将其代入所求式子计算即可得出结果； （3）根据非负数的性质求出，，再求出的值，再根据算术平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴ ； （3）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的算术平方根为． 24．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3实数及其简单运算寒假预习讲义（人教版） 💧 预习内容概览 1. 课前预习◆目标 2.重点知识◆梳理归纳 2. 核心考点◆精讲精练 4.巩固提升◆综合测试 ✅ 课前预习◆目标 ● 能准确区分有理数与无理数，掌握实数的两大分类（有理数、无理数），能准确列举常见无理数实例； ● 理解相反数、绝对值、倒数的核心定义，能快速求出简单实数的相反数、倒数，初步掌握绝对值的表示方法； ● 了解实数与数轴的一一对应关系，并能比较实数的大小； ● 感受实数的逻辑性和实用性，激发学生课堂学习兴趣和主动性。 ☘ 重点知识◆梳理归纳 【知识点1】有理数与无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数．无限不循环小数又叫无理数． 重点提示：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式． （2）常见的无理数有三种形式：①含类．②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111……．③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如． 【知识点2】实数 1.概念：有理数和无理数统称为实数． 2．实数的分类 ❈ 按定义分： ❈ 按与0的大小关系分： 实数 实数 3. 实数与数轴上的点一一对应 ◦ 数轴上右边的数 ＞ 左边的数； ◦ 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应． 【知识点3】实数的性质 ◦ 性质：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【知识点4】实数的运算 1.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0、乘方运算，而且正数及0）可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用。 （1）运算种类：加、减、乘、除、乘方、开方 （2）运算顺序：先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减有括号先算括号里，同级从左到右 （3）运算律：加法：交换律 a+b=b+a，结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 乘法：交换律 ab=ba，结合律 (ab)c=a(bc)，分配律a(b+c)=ab+a ✏ 核心考点◆精讲精练 题型1无理数 例1．下列实数，，，中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．下列实数，，，中，属于无理数的是 ． 变式2．把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 题型2无理数的大小估算 例2．一个正方形的边长为米，若其面积为平方米，则介于哪两个相邻整数之间?（   ）． A． B． C． D． 变式1．满足的所有整数的和是 ． 变式2．已知在两个连续的自然数a和b之间，是c的立方根． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根与c的差． 题型3无理数整数部分的有关计算 例3．下列说法错误的是（    ） A．3的平方根是 B．4的算术平方根是2 C．的整数部分是2 D．的小数部分是 变式1．设的整数部分为，的整数部分为，则 ． 变式2．已知的算术平方根是的立方根是． (1)求，的值； (2)是的整数部分，求的平方根． 题型4实数概念理解 例4．实数的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 变式1．（1）实数25的平方根是 ． （2）的平方根是 ． 变式2．若m，n为实数，且，求的值． 题型5实数的分类 例5．下列实数中，是无理数的为（    ）． A． B．0 C． D． 变式1．在实数，，，，中，无理数有 个． 变式2．把下列各数填在相应的括号里：，，，0，，，2.9，1.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个0）． （1）整数：{                                                    …}； （2）分数：{                                                    …}； （3）无理数：{                                                    …}． 题型6实数的性质 例6．实数的倒数的相反数是（ ） A． B． C．2 D． 变式1．“对于任何实数，”是一个 （填“真”或“假”）命题． 变式2．判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． (1)已知两个实数a，b，则． (2)两个无理数的和一定是无理数． 题型7实数与数轴 例7．如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（   ） A． B． C． D． 变式1．点，在数轴上，以为边作正方形，该正方形的面积是10，若点对应的数是，则点对应的数是 ． 变式2．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 题型8实数的大小比较 例8．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D．0 变式1．比较大小： 3（填，，） 变式2．比较大小：和． 题型9实数的混合运算 例9．下列关于圆周率说法错误的是（   ） A．它是无限不循环小数 B．它可以用数轴上唯一的一个点来表示 C．它的相反数小于 D．它与任何无理数的和是无理数 变式1．若，其中，则b的值为 ． 变式2．计算： (1)； (2)． 题型10程序设计与实数运算 例10．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 变式1．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为 ． 变式2．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 题型11新定义下的实数运算 例11．定义一种新的加法运算法则：，其中a，b，c，d均为实数．若，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 变式1．规定：若一个非零实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则的值是 ． 变式2．若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 题型12实数运算的实际运用 例12．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 变式1．已知，则实数x的值为 ． 变式2．如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 题型13与实数运算相关的规律题 例13．已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 变式1．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为 ． 变式2．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． ✍ 巩固提升◆综合测试 一、单选题 1．下列各数中，无理数的是（    ） A．5 B． C． D．0.1010010001 2．计算的结果，下列说法正确的是（  ） A．值介于4和5之间 B．值介于5和6之间 C．值介于6和7之间 D．值介于7和8之间 3．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 4．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 5．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 7．在四个数中，最大的数是（   ） A．-3 B． C． D．2 8．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是（ ） A． B． C． D． 9．若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 10．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．在，，，，这几个数中，无理数有 个． 13．对于任意两个不相等且乘积为非负的实数，，定义一种新运算：．如，则 ． 14．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 15．的相反数是 ，的倒数是 ， ． 16．如图，小亮设计了一个计算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 三、解答题 17．已知下列个实数：，，，，，，． (1)将它们分别填入相应的圈内． (2)将这个实数用“”连接起来． 18．（1）解方程：； （2）计算：． 19．已知的立方根是4，的算术平方根是3，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 20．求下列各数的相反数和绝对值： (1)． (2)． 21．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 22．阅读下列解题过程，解答问题． ； ； ； … (1) ， ； (2)观察上面的解题过程，求（为自然数）； (3)计算： ． 23．如图，有一只蚂蚁从点沿数轴向左爬行个单位长度到达点，点表示数，设点表示数． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)数轴上另有，两点分别表示实数和，且，求的算术平方根． 24．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $