专题8.1 平方根（寒假衔接讲义）（5大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期

专题8.1 平方根 知识点1：平方根的概念及表示方法 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，也称为二次方根。 2.表示方法：非负数的平方根记作，读作“正、负根号”，其中叫做被开方数。 3.存在条件：只有非负数（正数和0）有平方根，负数没有平方根。 知识点 2：平方根的性质 1.正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根； 4.平方根与平方互为逆运算，即若，则（）。 知识点3：算术平方根的概念及表示方法 1.定义：正数的两个平方根中，正的平方根叫做的算术平方根；规定0的算术平方根是0。 2.表示方法：非负数的算术平方根记作，读作“根号”。 3.双重非负性：①被开方数非负，即；②算术平方根非负，即。 知识点4：算术平方根的性质 1.正数的算术平方根是一个正数； 2.0的算术平方根是0； 3.算术平方根等于它本身的数是0和1； 4.被开方数越大，对应的算术平方根越大（单调性）。 知识点5：开平方运算 1.定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 2.运算结果：正数开平方得两个互为相反数的数，0开平方得0，负数不能开平方。 【基础必考题型】 【题型1】平方根与算术平方根的概念辨析 1.核心知识点 平方根的定义及表示方法； 算术平方根的定义及双重非负性； 平方根与算术平方根的区别与联系。 2.解题方法技巧 紧扣定义判断：算术平方根一定是非负的，平方根有两个（互为相反数）； 注意符号细节：表示算术平方根（非负），表示平方根； 利用非负性排除错误选项：若被开方数为负数，则无意义。 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【变式题1-1】.（24-25七年级下·陕西榆林·月考）下列各数中没有平方根的是（   ） A．2 B． C．1.5 D．0 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知为实数，则下列各式中，一定有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 【题型2】求具体数的平方根与算术平方根 1.核心知识点 开平方运算与平方运算的互逆关系； 分数、小数、带分数、绝对值的平方根计算。 2.解题方法技巧 先将带分数化为假分数、小数化为分数，再找平方等于该数的数； 绝对值的平方根计算：先化简绝对值，再求平方根； 结果验证：将求得的平方根代入平方运算，验证是否等于原数。 【例题2】.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·期末）求下列各数的平方根及算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 【题型3】根据平方根的性质求字母取值范围 1.核心知识点 平方根的存在条件（被开方数非负）； 算术平方根的非负性。 2.解题方法技巧 若含字母的式子有平方根，则被开方数≥0，列不等式求解； 若算术平方根的表达式等于它的相反数，则算术平方根≤0，结合其非负性得表达式=0。 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）在中，被开方数是非负数，即 0； （2）本身是非负数，即 0． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【变式题3-2】.（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 【培优高频题型】 【题型4】利用平方根的定义解方程 1.核心知识点 平方根的定义； 整体思想在解方程中的应用。 2.解题方法技巧 先将方程变形为（）或（）的形式； 利用平方根定义开平方，得或； 分情况求解一元一次方程，注意不要遗漏负根。 【例题4】.（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）已知，则的值等于 ． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·上海·月考）解方程：． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【题型5】非负数的和为0问题（算术平方根非负性应用） 1.核心知识点 算术平方根的双重非负性； 绝对值、平方数的非负性； 非负数的性质：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 2.解题方法技巧 识别非负形式：、、均为非负数； 列方程组求解：每个非负项分别等于0，解方程组得字母的值； 代入代数式计算：将字母值代入所求代数式，求出结果。 【例题5】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题5-2】.（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 【题型6】平方根与数轴的综合题 1.核心知识点 数轴上点与实数的一一对应关系； 算术平方根的几何意义（正方形的边长）； 绝对值与平方根的化简。 2.解题方法技巧 利用几何图形（如正方形、长方形）的边长表示算术平方根； 结合数轴确定实数的范围，化简绝对值和平方根表达式； 数轴上两点间距离：利用算术平方根表示边长，计算两点间的距离。 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）在数轴上点A表示a， 点B 表示b， 且a， b满足． (1) ， ； (2)求点A 与点B之间的距离； (3)若点A与点C之间的距离用表示，点B与点C之间的距离用表示，请在数轴上找一点C，使得，求点C在数轴上表示的数c的值． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽安庆·月考）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边 ． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东广州·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 则正方形即为所作． 【题型7】跨学科情境题（物理、几何中的平方根应用） 1.核心知识点 算术平方根的实际意义； 跨学科公式的理解与应用（如物理热量公式、几何面积公式）。 2.解题方法技巧 提取题目中的关键信息，明确已知量与未知量； 将实际问题转化为数学问题，代入公式变形为求算术平方根的形式； 结合实际意义取舍结果（如长度、电流等物理量取正值）。 【例题7】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量，已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式题7-1】.（2025九年级·湖南·学业考试）物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间 s． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间t； (2)若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上． ①求玩具抛出前离地面的高度h； ②已知高空物体下落，物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），（单位：），h为高度（单位：m）．根据以上信息，若这处玩具质量为，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【变式题7-3】.（24-25七年级下·广西梧州·期末）综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T 地球 年 火星 年 (1)计算的值； (2)计算火星绕太阳的公转周期；（公式：，结果保留一位小数．参考数据：） (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式：） 【压轴素养题型】 【题型8】平方根的规律探究题 1.核心知识点 被开方数与算术平方根的数位变化规律； 算术平方根的化简规律。 2.解题方法技巧 观察表格数据，总结规律：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位； 利用规律解题：根据已知算术平方根的值，推导相关数的算术平方根； 验证规律：将推导结果代入平方运算，验证是否符合规律。 【例题8】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【变式题8-2】.（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【题型9】探究式问题（完美组合数、新型定义题） 1.核心知识点 平方根的定义及性质； 整数的性质与运算。 2.解题方法技巧 理解新型定义：如“完美组合数”需满足两两乘积的算术平方根为整数； 转化条件：将定义转化为数学关系式（如两两乘积为完全平方数）； 分类讨论：结合负整数的条件，枚举可能的数值，验证是否符合要求。 【例题9】.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·福建厦门·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山西临汾·月考）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 易错点 1.混淆平方根与算术平方根的符号表示：误将当作平方根（漏掉负根），或误将当作算术平方根； 2.忽略被开方数的非负性：求解含字母的平方根问题时，未考虑被开方数≥0，导致取值范围错误； 3.解方程时遗漏负根：将方程变形为后，只取正根，忽略负根； 4.带分数、小数的平方根计算错误：未先化简带分数或小数，直接计算导致结果错误； 5.忽视算术平方根的双重非负性：在非负数和为0的问题中，未识别出算术平方根的非负性。 重点 1.平方根与算术平方根的定义、表示方法及区别与联系； 2.平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根）； 3.算术平方根的双重非负性及其应用； 4.开平方运算与平方运算的互逆关系，利用该关系求平方根、解方程； 5.算术平方根的估算方法（夹逼法）及实际应用。 难点 1.算术平方根双重非负性的灵活应用（如非负数和为0、算术平方根与相反数的关系）； 2.含字母的平方根问题（求字母取值范围、根据平方根的关系求字母的值）； 3.平方根的规律探究题（数位变化规律、新型定义题）； 4.跨学科、探究式问题的转化（将实际问题或新型定义转化为数学问题）； 5.平方根与数轴、几何图形的综合应用（利用几何意义表示算术平方根）。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）已知，则的值是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西铜川·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：（    ） A．0.3 B． C．0.9 D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 5．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的一个平方根，则 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的算术平方根是5，则 ． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速是 ． 9．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，求的值． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 14．（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 15．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平方根 知识点1：平方根的概念及表示方法 1.定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，也称为二次方根。 2.表示方法：非负数的平方根记作，读作“正、负根号”，其中叫做被开方数。 3.存在条件：只有非负数（正数和0）有平方根，负数没有平方根。 知识点 2：平方根的性质 1.正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 2.0的平方根是0； 3.负数没有平方根； 4.平方根与平方互为逆运算，即若，则（）。 知识点3：算术平方根的概念及表示方法 1.定义：正数的两个平方根中，正的平方根叫做的算术平方根；规定0的算术平方根是0。 2.表示方法：非负数的算术平方根记作，读作“根号”。 3.双重非负性：①被开方数非负，即；②算术平方根非负，即。 知识点4：算术平方根的性质 1.正数的算术平方根是一个正数； 2.0的算术平方根是0； 3.算术平方根等于它本身的数是0和1； 4.被开方数越大，对应的算术平方根越大（单调性）。 知识点5：开平方运算 1.定义：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。 2.运算结果：正数开平方得两个互为相反数的数，0开平方得0，负数不能开平方。 【基础必考题型】 【题型1】平方根与算术平方根的概念辨析 1.核心知识点 平方根的定义及表示方法； 算术平方根的定义及双重非负性； 平方根与算术平方根的区别与联系。 2.解题方法技巧 紧扣定义判断：算术平方根一定是非负的，平方根有两个（互为相反数）； 注意符号细节：表示算术平方根（非负），表示平方根； 利用非负性排除错误选项：若被开方数为负数，则无意义。 【例题1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．16的平方根是4 B．0的平方根是0 C．81的平方根是－9 D．负数的平方根有两个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根和算术平方根的定义，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，正数有两个平方根，的平方根是，负数没有实数平方根，逐一判断即可. 【详解】解：A、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； B、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； C、的平方根是，而非仅，该选项说法错误，不符合题意； D、负数在实数范围内无平方根，该选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·陕西榆林·月考）下列各数中没有平方根的是（   ） A．2 B． C．1.5 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了对平方根定义的应用．根据平方根的意义“正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0”． 【详解】解：∵正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根， ∴没有平方根， 故选：B． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知为实数，则下列各式中，一定有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．正数的平方根有两个，的平方根是，负数没有平方根．要判断式子是否一定有平方根，只需判断式子的值是否一定为非负数． 【详解】解：A、是负数，根据平方根的定义负数没有平方根，所以没有平方根，不符合题意； B、当时，是负数；当时，；当时，是正数；因此可能为负数，不一定有平方根，不符合题意； C、当时，；当时，；当时，；因此可能为负数，不一定有平方根，不符合题意； D、因为任何实数的平方都为非负数，所以，那么，即一定是正数，正数一定有平方根，符合题意； 故选：D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）回答下列问题： (1)12是144的平方根吗？ (2)169的负的平方根是哪个数？ (3)是0.9的平方根吗？ (4)哪个数的平方根只有一个？ 【答案】(1)是 (2) (3)不是 (4)0 【分析】本题主要考查了平方根，熟练掌握知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据平方根的定义和性质解答即可； （2）根据平方根的定义和性质解答即可； （3）根据平方根的定义和性质解答即可； （4）根据平方根的定义和性质解答即可． 【详解】（1）解：因为144的平方根是， 所以12是144的平方根； （2）解：因为169的平方根是， 所以169的负的平方根是； （3）解：因为0.09的平方根是， 所以不是0.9的平方根； （4）解：因为0的平方根是0， 所以0的平方根只有一个是0． 【题型2】求具体数的平方根与算术平方根 1.核心知识点 开平方运算与平方运算的互逆关系； 分数、小数、带分数、绝对值的平方根计算。 2.解题方法技巧 先将带分数化为假分数、小数化为分数，再找平方等于该数的数； 绝对值的平方根计算：先化简绝对值，再求平方根； 结果验证：将求得的平方根代入平方运算，验证是否等于原数。 【例题2】.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，根据平方根，算术平方根的含义求解即可． 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，则的计算错误，故选项符合题意． 故选：D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）下列说法不正确的是（    ） A．8是64的算术平方根 B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念，理解相关概念是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断各选项的正确性． 【详解】解：A、的算术平方根是，正确，不符合题意； B、的平方根是，是其中一个平方根，正确，不符合题意； C、，36的平方根是，选项说平方根是不全面，错误，符合题意； D、，的平方根是，正确，不符合题意． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·全国·期末）求下列各数的平方根及算术平方根： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)平方根为，算术平方根为 (2)平方根为，算术平方根为 (3)平方根为，算术平方根为 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；的平方根是；一个数的非负平方根是这个数的算术平方根． (1)因为，可知的平方根是，算术平方根是； (2)因为，可知的平方根是，算术平方根是； (3)因为，可知的平方根是，算术平方根为． 【详解】（1）解：， 的平方根为，算术平方根为； （2）解：， 的平方根为，算术平方根为； （3）解：， 的平方根为，算术平方根为． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·周测）分别求下列各数的平方根： (1)169 (2)0.81 (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：的平方根为； （2）解：的平方根为； （3）解：， 又的平方根为； 的平方根为； （4）解：的平方根为． 【题型3】根据平方根的性质求字母取值范围 1.核心知识点 平方根的存在条件（被开方数非负）； 算术平方根的非负性。 2.解题方法技巧 若含字母的式子有平方根，则被开方数≥0，列不等式求解； 若算术平方根的表达式等于它的相反数，则算术平方根≤0，结合其非负性得表达式=0。 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）在中，被开方数是非负数，即 0； （2）本身是非负数，即 0． 【答案】 ≥ ≥ 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义，注意算术平方根的被开方数是非负数，算术平方根的值是非负数． （1）根据算术平方根的定义，被开方数必须是非负数进行求解即可； （2）根据算术平方根的性质，算术平方根的结果也是非负数进行求解即可． 【详解】解：（1）在实数范围内，算术平方根有意义的条件是被开方数为非负数，即； （2）表示的算术平方根，即非负平方根，因此． 故答案为：≥；≥． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·上海黄浦·期末）若和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了平方根定义，熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个不同的平方根互为相反数，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵和是一个正数的两个不同的平方根， ∴， 解得：， 则，， ∴ 这个正数是：． 故答案为：1． 【变式题3-2】.（23-24七年级下·重庆永川·期中）若一个正数的两个平方根分别为和，则这个正数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义和性质，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求解的值，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【详解】解：由题意，得， 解得， 则一个平方根为， 所以这个正数为． 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，求解和，再代入表达式求值． 本题主要考查了算术平方根的相关定义，熟练掌握并能够运用是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得 ∵， ∴，代入， 得，即， 解得 则 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】利用平方根的定义解方程 1.核心知识点 平方根的定义； 整体思想在解方程中的应用。 2.解题方法技巧 先将方程变形为（）或（）的形式； 利用平方根定义开平方，得或； 分情况求解一元一次方程，注意不要遗漏负根。 【例题4】.（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）已知，则的值等于 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了平方根，运用平方根的性质进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·上海·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）（2）根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：由得， ∴， 解得，． （2）解：由得， ∴， 解得，． 【题型5】非负数的和为0问题（算术平方根非负性应用） 1.核心知识点 算术平方根的双重非负性； 绝对值、平方数的非负性； 非负数的性质：几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 2.解题方法技巧 识别非负形式：、、均为非负数； 列方程组求解：每个非负项分别等于0，解方程组得字母的值； 代入代数式计算：将字母值代入所求代数式，求出结果。 【例题5】.（2026七年级下·全国·专题练习）已知，满足，则的值等于 ． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的值． 本题考查了算术平方根和完全平方式的非负性，掌握非负数的性质并能准确求解字母的值是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ； ∴ ． 故答案为：1． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·江苏·期末）若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质，根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个非负数都为零据此列式解答即可． 【详解】解：∵且， 又∵， ∴且， ∴ ，， 解得，， ∴． 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查绝对值，二次根式的被开方数，平方等的非负性，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将方程左边分组并完成平方，得到三个非负项之和为零，从而每个项必须为零，求出x，y，z的值，即可解答． 【详解】解：原方程可化为． ∵，，， ∴，，， 即， 解得，，． ∴． 故答案为：2025． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·山东枣庄·月考）已知：．求： (1)x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，求平方根，掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可； （2）先求出的值，即可求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ∴，． （2）解：当，时， ， ∴的平方根是． 【题型6】平方根与数轴的综合题 1.核心知识点 数轴上点与实数的一一对应关系； 算术平方根的几何意义（正方形的边长）； 绝对值与平方根的化简。 2.解题方法技巧 利用几何图形（如正方形、长方形）的边长表示算术平方根； 结合数轴确定实数的范围，化简绝对值和平方根表达式； 数轴上两点间距离：利用算术平方根表示边长，计算两点间的距离。 【例题6】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c．已知b是最小的正整数，且a，c满足． (1)求式子的值． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数． (3)已知数轴上存在一点D，使得，求点D表示的数． 【答案】(1)64 (2)－7 (3)点D表示的数是0或4 【分析】（1）根据非负数的性质即可确定出、的值，然后代入进行计算即可得； （2）根据是最小的正整数，确定出点、点的对称点所表示的数，通过计算即可得出与点重合的点表示的数； （3）分点在点的左边、点在点，之间、点在点的右边三种情况进行讨论即可得． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴，， 解得，， ∴． （2）解：∵是最小的正整数， ∴． ∵， ∴，， ∴与点重合的点表示的数是． （3）解：设点表示的数为．分以下三种情况讨论： 若点在点的左侧，则，解得（不合题意，舍去）； 若点在点，之间，则，解得； 若点在点的右侧，则，解得． 综上所述，点表示的数是0或4． 【点睛】本题考查的是非负性的应用、数轴上两点之间的距离、中点公式和一元一次方程的应用，掌握平方、绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离公式、中点公式和等量关系是解决此题的关键． 【变式题6-1】.（24-25八年级上·江苏宿迁·月考）在数轴上点A表示a， 点B 表示b， 且a， b满足． (1) ， ； (2)求点A 与点B之间的距离； (3)若点A与点C之间的距离用表示，点B与点C之间的距离用表示，请在数轴上找一点C，使得，求点C在数轴上表示的数c的值． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，绝对值和二次根式的非负性，两点之间的距离，线段的倍数关系等知识点，解题的关键是熟练掌握数轴的意义． （1）利用绝对值和二次根式的非负性进行求解即可； （2）利用数轴上两点距离公式进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论，利用线段的长度分别求出点表示的数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 故答案为：，3； （2）解：, ∴点A 与点B之间的距离为； （3）解：当点在线段上时， , 此时，点C在数轴上表示的数c的值为； 当点在线段延长线上时， , 此时，点C在数轴上表示的数c的值为； 综上，c的值为或． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽安庆·月考）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边 ． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的四个等腰直角三角形面积和也为8，每个等腰直角三角形面积为2，即可得到直角三角形的两条直角边长均为2即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， 【变式题6-3】.（24-25七年级下·广东广州·期中）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，算术平方根的应用，等积变换， （1）利用割补法求出正方形的面积，再利用开平方运算求解，即可解题； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边：， 故答案为：；； （2）如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【题型7】跨学科情境题（物理、几何中的平方根应用） 1.核心知识点 算术平方根的实际意义； 跨学科公式的理解与应用（如物理热量公式、几何面积公式）。 2.解题方法技巧 提取题目中的关键信息，明确已知量与未知量； 将实际问题转化为数学问题，代入公式变形为求算术平方根的形式； 结合实际意义取舍结果（如长度、电流等物理量取正值）。 【例题7】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量，已知某微观粒子的能量E可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量E的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，掌握无理数大小的估算是解题的关键．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式题7-1】.（2025九年级·湖南·学业考试）物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间 s． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，把h的值代入中即可求解． 【详解】解：把代入，得， 故答案为：2． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间t； (2)若某玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上． ①求玩具抛出前离地面的高度h； ②已知高空物体下落，物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），（单位：），h为高度（单位：m）．根据以上信息，若这处玩具质量为，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要的动能） 【答案】(1)从高空抛物到落地的时间t为3s (2)①玩具抛出前离地面的高度h为；②正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由见解析 【分析】此题考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的混合计算，正确理解题意代入求值是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）①将代入计算求出，②将及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可． 【详解】（1）依题意，当时， ； （2）①当时，， 解得； ②正确，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下： 高空抛物动能， 这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·广西梧州·期末）综合实践 今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题： 行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T 地球 年 火星 年 (1)计算的值； (2)计算火星绕太阳的公转周期；（公式：，结果保留一位小数．参考数据：） (3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式：） 【答案】(1) (2)约年 (3)年 【分析】（1）根据有理数的除法计算即可； （2）根据公式，变形后，代入估算即可； （3）根据公式，变形后，代入估算即可； 本题考查了有理数的除法，立方的计算，算术平方根的计算，公式的变形计算，熟练掌握运算法则，正确进行公式变形是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 （2）解：由公式：， 得， 又，，年， 故， 又， 故（年）． （3）解：由， 得（年）． 【压轴素养题型】 【题型8】平方根的规律探究题 1.核心知识点 被开方数与算术平方根的数位变化规律； 算术平方根的化简规律。 2.解题方法技巧 观察表格数据，总结规律：被开方数的小数点每向右（左）移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位； 利用规律解题：根据已知算术平方根的值，推导相关数的算术平方根； 验证规律：将推导结果代入平方运算，验证是否符合规律。 【例题8】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． 【变式题8-2】.（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：      … 1 …      … 1 … 表格中 ， ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位． （3）规律运用： ①已知，则 ； ②已知，，则 ． 【答案】（1）； （2）右；1 （3）； 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【详解】解：（1），． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②从到小数点向右移动1位，故被开方数的小数点向右移动2位．即． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 【题型9】探究式问题（完美组合数、新型定义题） 1.核心知识点 平方根的定义及性质； 整数的性质与运算。 2.解题方法技巧 理解新型定义：如“完美组合数”需满足两两乘积的算术平方根为整数； 转化条件：将定义转化为数学关系式（如两两乘积为完全平方数）； 分类讨论：结合负整数的条件，枚举可能的数值，验证是否符合要求。 【例题9】.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）设x，y都表示有理数，定义一种新运算“”；当时，；当时，． (1)请根据这种新运算定义计算：________，________． (2)若实数a，b满足． ①请直接写出a，b的值． ②求的值． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）根据题意代入计算即可； （2）①由非负数的性质即可得到答案；②先求出，由得到． 此题考查新定义运算，非负数的性质、有理数的混合运算，读懂题意，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； ∴， 当时，． ∴， 故答案为：， （2）①∵．， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·福建厦门·期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，由，所以分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： ①当时，， ； 且。符合题意； ②当时，， （不符合题意，舍去）； 综上，的值是， 故答案为：． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对数运算是数学中常用的一种重要手段，它的定义为，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：，例如，则，其中的对数叫作常用对数，此时可记为，当，且时，． (1)解方程． (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，求一个数的算术平方根，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则． （1）根据对数运算法则即可求解． （2）根据对数运算法则即可求解． 【详解】（1）解：由得，， ， ． （2）解： ． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·山西临汾·月考）综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64（答案不唯一） (3)81 【分析】本题主要考查了新定义和算术平方根，解题关键是理解已知条件中的定义． （1）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后判断即可； （2）根据已知条件中的定义，先求出任意两个数乘积的算术平方根，然后进行解答即可； （3）分别根据已知条件中的定义和最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列出关于m的方程，求出m即可． 【详解】（1）解：，，， ，20，10都是整数， ，16，25是“漂亮数”； （2）1，9，16这三个数称为“漂亮数”； 4，25，64这三个数称为“漂亮数”，理由如下： ，，， 1，9，16这三个数称为“漂亮数”； ，，， 4，25，64这三个数称为“漂亮数”； （3）∵正整数， ∴。 三个算术平方根为、、。 ∵，， ∴“最小算术平方根”为15，“最大算术平方根”为。” ， ． 解得． 的值为81． 易错点 1.混淆平方根与算术平方根的符号表示：误将当作平方根（漏掉负根），或误将当作算术平方根； 2.忽略被开方数的非负性：求解含字母的平方根问题时，未考虑被开方数≥0，导致取值范围错误； 3.解方程时遗漏负根：将方程变形为后，只取正根，忽略负根； 4.带分数、小数的平方根计算错误：未先化简带分数或小数，直接计算导致结果错误； 5.忽视算术平方根的双重非负性：在非负数和为0的问题中，未识别出算术平方根的非负性。 重点 1.平方根与算术平方根的定义、表示方法及区别与联系； 2.平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根）； 3.算术平方根的双重非负性及其应用； 4.开平方运算与平方运算的互逆关系，利用该关系求平方根、解方程； 5.算术平方根的估算方法（夹逼法）及实际应用。 难点 1.算术平方根双重非负性的灵活应用（如非负数和为0、算术平方根与相反数的关系）； 2.含字母的平方根问题（求字母取值范围、根据平方根的关系求字母的值）； 3.平方根的规律探究题（数位变化规律、新型定义题）； 4.跨学科、探究式问题的转化（将实际问题或新型定义转化为数学问题）； 5.平方根与数轴、几何图形的综合应用（利用几何意义表示算术平方根）。 【对应练习题】 一、单选题 1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）已知，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根定义，平方根为零则被开方数为零求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西铜川·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的概念，算术平方根定义为非负数，因此需计算的非负平方根． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算：（    ） A．0.3 B． C．0.9 D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是解题的关键． 算术平方根定义为非负数的非负平方根，表示求的算术平方根． 【详解】解：， ， 故选：C ． 4．（25-26八年级上·全国·期末）的值在两个连续整数之间，则这两个连续整数是（    ） A．7与8 B．6与7 C．5与6 D．4与5 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的取值范围．通过比较平方数确定的范围． 【详解】解：∵ ， ， 且， ∴， 因此这两个连续整数是7和8． 故选：A． 5．（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值． 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是的一个平方根，则 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，若一个数是的平方根，则它的平方等于． 【详解】解：由题意，是的一个平方根， 因此 ， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的算术平方根是5，则 ． 【答案】13 【分析】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义，由的算术平方根是，可得，解方程即可求出． 【详解】解：∵ 的算术平方根是， ∴ ， 解得． 故答案为：． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速是 ． 【答案】96 【分析】本题考查了代数式求值和算术平方根的计算，掌握代入数值后按运算顺序计算的方法是解题的关键． 将给定的和代入经验公式，先计算 的值，再求算术平方根，最后乘以得到车速． 【详解】解：代入 和 得 ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若x，y为实数，且满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，有理数的乘方运算． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴且， 由，得，解得：， 则可化为，即，解得：， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知与都是的平方根，则的值为 ． 【答案】49或441 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握一个正数的两个平方根互为相反数的性质，以及运用分类讨论思想分析两种可能情况是解题的关键． 根据平方根的性质，分类讨论两种情况：当两个式子表示同一个平方根时，它们相等；当表示两个平方根时，它们互为相反数． 【详解】解：①当 与 是同一个平方根时， ， 解得 ， 此时 ； ②当 与 是两个平方根时， ， 解得 ， 此时 ． 故答案为：或． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （3）根据以及算术平方根的定义进行计算即可； （4）根据以及算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵，且， ，即； （3）解：∵，且， ，即； （4）解：∵， ， ． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）若，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出的值是解题的关键． 直接利用绝对值以及偶次方的性质和算术平方根的性质得出的值，代入计算得出答案． 【详解】解：， 且，，， ，，， 解得，，， ． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，． (1)若x的一个平方根为3，求a的值． (2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】(1) (2)这个数是1或9 【分析】（1）根据平方运算，可得的值，求解可得答案； （2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得的值，根据平方运算，可得答案． 【详解】（1）解：∵的一个平方根是3， ∴，解得． （2）解：∵都是同一个数的平方根， ∴或，解得或， ∴或， ∴这个数是1或9． 【点睛】本题考查了平方根的概念，熟练掌握相关定义是解决本题的关键． 14．（25-26七年级下·全国·周测）（1）计算：_______，_______，_______，_______，_______． （2）根据（1）中的计算结果，解答下列问题： ①一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来：_______________________________． ②利用你总结的规律化简： 若，则_______；_______． 【答案】（1）3  ，0.5 ， 7 ， ， 0 （2）①不一定等于a，当时，；当时， ②，   【分析】（1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）①从（1）中可以得到规律：非负数的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数；②利用①中总结的规律化简即可． 【详解】解：（1）计算：，，，，． （2）①不一定等于， 当时，； 当时，． ②， ，， ；． 【点睛】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律解决问题是解决第（2）小题的关键． 15．（25-26八年级上·上海闵行·期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形． 【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为 ，边长为 ． 【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为 ． 【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，且要求长方形的四周至少留出的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？ 【答案】（1）；；（2）；（3）欢欢的想法不对，理由见解析 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案； （2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案； （3）设长为，则宽为，则得出，解出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵用5个面积为的小正方形纸片剪拼成一个正方形 ∴这个正方形的面积为的大正方形，边长为； 故答案为：；；． （2）如图， ∵用10个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形， 拼成的大正方形的边长为； 故答案为：． （3）欢欢的想法不对，理由如下， 假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为的长方形纸片，且它的长宽之比为，设长为，则宽为，则有： ， 解得，， 为长方形的长， ， ， 则长为， 要求长方形的四周至少留出的边框， 长方形的长应当为， ， 假设错误，不能． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $