精品解析：陕西省延安市2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

延安市25-26学年第一学期期末 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共6页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.命题：涂慧芳 唐铭 李欢 第I卷（选择题共58分） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知一扇形的圆心角是30°，半径为2，则该扇形的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. D. 3. 在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（   ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 已知奇函数的定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 6. 若实数，，且满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知，且，则函数在上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若的图象关于轴对称，且在区间上单调递减，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C D. 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 计算：______． 13. 已知是奇函数，则________． 14. 已知函数，若将该函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（其中）后所得到的曲线依然可以看成是某一个函数的图象，则锐角的最大值为________．（用角度表示） 四、解答题：(本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤) 15. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若 （i）求的值； （ii）求的值. 16. 已知向量 ，，且的最小正周期为 （1）求的值； （2）若，解方程； （3）在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 17. 已知函数为指数函数，函数为定义在上的奇函数． （1）求的解析式； （2）证明函数在上的单调性，若，求的取值范围． 18. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋自然降解后残留量与时间年之间的关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：） （1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，若该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年? （2）为了缩短降解时间，该品牌塑料袋生产商改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的20%．则要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年? 19. 定义：若函数在其定义域内存在实数，使得，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求不动点； （2）若对任意的实数恒有两个不动点，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的图象上A，B两点的横坐标是的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延安市25-26学年第一学期期末 高一数学试题 注意事项： 1.本试题共6页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.命题：涂慧芳 唐铭 李欢 第I卷（选择题共58分） 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】因为集合， 所以， 故选：A． 2. 已知一扇形的圆心角是30°，半径为2，则该扇形的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为扇形的圆心角是，半径为， 则该扇形的面积为. 故选：C. 3. 在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. 4. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性可知在区间上单调递减，解不等式即可． 【详解】在上单调递减， 又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， ，解得． 5. 已知奇函数定义域是．当时，．设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0个 B. 2个 C. 4个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性作出函数的草图，再作出函数的草图，数形结合，判断方程解的个数即可. 【详解】因为时，，作出函数，的草图，如图1： 因为函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，可作出函数的草图，如图2： 保持轴上方的图象不变，将轴下方的图象对称到轴上方，得到函数的草图，如图3： 作直线，与函数的图象有4个交点，所以函数有4个零点. 故选：C 6. 若实数，，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，构造函数，利用单调性可得，即可利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，实数，，满足， ， 而函数在上单调递增，且， ，， 当且仅当时，即时等号成立. 故选：B 7. 已知，且，则函数在上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调递增的条件，求出的取值范围，再根据必要不充分条件的定义判断选项. 【详解】因为函数在上单调递增，所以有， 解得或，结合且，得. 对于选项A，是函数在上单调递增的充要条件，所以A选项错误； 对于选项B，，但，所以是函数在上单调递增的必要不充分条件，所以B选项正确； 对于选项C，，但，所以是函数在上单调递增的充分不必要条件，所以C选项错误； 对于选项D，因为，且，所以是函数在上单调递增的既不充分也不必要条件，所以D选项错误. 故选：B 8. 已知函数，若的图象关于轴对称，且在区间上单调递减，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求出，由的图象关于轴对称得到，结合求出的值，从而得到的表达式，利用的表达式求出. 【详解】， ， 的图象关于轴对称， ，， ，或， 当时，， ，， 在区间上单调递增，不符合题意； 当时，， ，， 设为单调递减函数，在上为单调递增函数， 在区间上单调递减，符合题意； 故，， . 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据图象求得函数的解析式，可判断C，结合三角函数的奇偶性判定A，B，再根据周期结合余弦函数的单调性判断D. 【详解】由题意，可得，所以， 由，可得图象过点，可得， 解得，又， 令，可得，所以，故C错， 由，为奇函数，所以A正确； 由，是偶函数，所以B正确； 由，周期为2，， ， 因为函数单调递增，所以， 所以，所以D不正确； 故选：AB 10. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由及，再结合正弦定理可化简式子得，即求出角B的大小；对于B，结合及正弦定理可解得，再根据三角形正弦定理面积公式即可求解；对于C，根据余弦定理及基本不等式即可求解b的范围；对于D，结合及基本不等式即可判断． 【详解】对于A，已知，所以， 也即， 所以可得，又，故，故A正确； 对于B，， 又由正弦定理，，可得， 所以， 又，所以， 所以，也即，又， 解得，所以，故B错误； 对于C，因为，，所以， 又，当且仅当时取等号， 故，也即，故C正确； 对于D，D是AC中点，所以， 因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，故D正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 计算：______． 【答案】7 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为：7 13. 已知是奇函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数的定义域，然后由奇函数的性质列方程求解. 【详解】根据指数函数性质，，则， 即奇函数的定义域为， 由，故， 即，即， 则 ，即  对任意  恒成立， 当  时，有 ，即  所以. 故答案为： 14. 已知函数，若将该函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（其中）后所得到的曲线依然可以看成是某一个函数的图象，则锐角的最大值为________．（用角度表示） 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图像，由图可知，当函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时，曲线不是一个函数的图象，由此求出答案. 【详解】画出函数的图象，如图，在轴正半轴上取一点，则， 由图可知，当函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角大于时， 旋转所得的图象与垂直于轴的直线就有两个交点，此时曲线不是一个函数的图象， 故的最大值是， 故答案为： 四、解答题：(本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤) 15. 在中，角所对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角公式可求角. （2）（i）利用余弦定理列式，结合条件，可求的值. （ii）利用正弦定理求，结合二倍角公式和和角公式求值即可. 【小问1详解】 由正弦定理及二倍角公式可得， 又因为，所以，解得， 由，可得. 【小问2详解】 （i）将代入余弦定理，得， 解得. （ii）因为，故， 由正弦定理，解得， 由，故， 代入. 16. 已知向量 ，，且的最小正周期为 （1）求的值； （2）若，解方程； （3）在中，为原点，，，且为锐角，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件并结合三角恒等变换求出的表达式，再根据的最小正周期为即可求出． （2）根据求出的范围，结合已知条件即可确定的值． （3）求出向量，及，根据是锐角，得到且向量，不共线，进而得到关于的不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，，所以，解得． 【小问2详解】 由得，，即， 所以，或，， 所以，或，， 又，所以. 【小问3详解】 因为，，所以， 因为为锐角，所以，解得. 若向量，共线，则，即，解得. 所以向量，不共线时，. 综上，m的取值范围为. 17. 已知函数为指数函数，函数为定义在上的奇函数． （1）求的解析式； （2）证明函数在上的单调性，若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义，求得，得到，进而得到，再由，求得，得到，即可求解； （2）利用函数单调性的定义和判定方法，证得函数在上单调递增，再由为奇函数，把不等式转化为，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数为指数函数， 则，解得或（舍去），所以， 又由 因为定义在上奇函数，所以，解得，所以， 经验证：当时，满足， 所以函数为上的奇函数，所以的解析式为. 【小问2详解】 证明：由（1）知 任取，且， 则 因为，可得，所以， 所以，即，所以函数在上的单调递增； 由函数在定义域上单调递增，且为奇函数， 不等式，即为， 则满足，解得，所以的取值范围为． 18. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋自然降解后残留量与时间年之间的关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：） （1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，若该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年? （2）为了缩短降解时间，该品牌塑料袋生产商改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的20%．则要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年? 【答案】（1）72年 （2）26年 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，即，结合对数的运算法则，即可求解； （2）当时，得到，求得，根据题意，得出，结合对数的运算法则，即可求解. 【小问1详解】 解：由塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，且塑料降解到残留量为初始量的20%， 可得，所以，可得，解得． 所以该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要年. 【小问2详解】 解：根据题意，当时，可得，即， 可得，解得，所以， 若残留量不超过初始量的5%，则，可得 两边取常用对数，可得，解得， 所以至少需要26年． 19. 定义：若函数在其定义域内存在实数，使得，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求的不动点； （2）若对任意的实数恒有两个不动点，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的图象上A，B两点的横坐标是的不动点，且的中点在函数的图象上，求的最小值． 【答案】（1）0，3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意解方程即可； （2）由题意可得方程有两个不相等的实根，得，再由可求得结果； （3）设，则，再由题意可得，结合根与系数的关系及题意得，表示出结合二次函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 当时，， 由，解得或， 故的不动点为0，3. 【小问2详解】 令，得，① 由题意知，方程①恒有两个不等实根，所以， 即对任意的实数恒成立， 则需，整理可得，解得， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 设， 是的不动点，， 所以的中点． 又点在的图象上， ， ，② 而，是方程的两个根， ，③ ②③结合得，化简得， ， 由（2）得， ∴当，即时，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $