第二单元 因数和倍数（知识梳理+十三大考点讲练+真题演练+难度分层练 共51题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册重难点培优讲义

该小学数学讲义以“因数和倍数”单元为核心，通过导图指引构建知识体系，将因数与倍数的定义及特征、2/5/3的倍数特征、奇偶数与质数合数的性质等知识点系统梳理，用思维导图呈现知识脉络，清晰展现概念间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“考点讲练+分层训练”设计，精选近两年名校易错题、压轴题，如“已知自然数有5个因数且最小与最大因数和为17，求中间两因数和”的典例，培养学生推理意识与数学思维。20题分层训练满足不同学生需求，5道小升初真题检验掌握水平，助力教师实施精准教学，提升学生知识运用能力。

第二单元 因数和倍数 【解析版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 高频考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·河北邢台·期中）一个自然数，它有5个因数，从小到大依次是a，b，c，d，e。已知a＋e＝17，那么b＋d＝ 。 【答案】10 【思路引导】已知一个自然数的5个因数从小到大依次是a，b，c，d，e，其中a最小，e最大；根据“一个数的最小因数是1，最大因数是它本身”可知，a是1，因为a＋e＝17，可得出e＝16，那么这个自然数是16； 列举出16的所有因数，按从小到大的顺序排列，可得出b、d的值，再用加法求出它们的和。 【完整解答】a＝1 e＝17－1＝16 16的因数：1，2，4，8，16； 即a＝1，b＝2，c＝4，d＝8，e＝16； b＋d＝2＋8＝10 那么b＋d＝10。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北武汉·期末）以下说法正确的有（    ）句。 ①9比4大，所以9的因数比4的因数多    ②一个自然数至少有两个因数 ③因为，所以6是30的倍数    ④17的最大因数和最小倍数都是17 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】①根据求一个是因数的方法：找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。分别求出9和4的因数，再进行判断。 ②1是自然数，求出1的自然数，再进行判断； ③倍数需在整数范围内讨论，据此解答。 ④一个数最大的因数和最小的倍数是它本身，据此判断解答。 【完整解答】①9＝1×9＝3×3 9的因数有1，3，9一共3个； 4＝1×4＝2×2 4的因数有1，2，4一共3个。 3＝3，9比4大，但是9的因数与4的因数一样多，原题干说法错误。 ②1是自然数，1只有1个因数，所以不能说一个自然数至少有两个因数，原题干说法错误。 ③6÷0.2＝30，因为0.2是小数，所以不能是6是0.2的倍数，原题干说法错误。 ④17的最大因数和最小倍数都是17，原题干说法正确。 正确的有17的最大因数和最小倍数都是17，有1句。 故答案为：A 高频考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东韶关·期中）2024年4月广东部分地区出现洪水浸城，各地消防员紧急救援被困群众。平平一家为抗洪救灾的工作人员准备了苹果、牛奶和面包等干粮，其中苹果有80个，把这些苹果全部装到袋子里，每袋装得同样多，正好装完，一共有多少种装法？请写出你的装法。（每袋至少装2个，最多装30个） 【答案】7种；袋法见详解 【思路引导】将80个苹果装入袋子，每袋数量为80的因数，且介于2至30之间。需找出符合条件的因数个数。 【完整解答】80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80； 每袋至少装2个，最多装30个；剩余有2，4，5，8，10，16，20； 每袋可以装2个：80÷2＝40（袋） 每袋可以装4个：80÷4＝20（袋） 每袋可以装5个：80÷5＝16（袋） 每袋可以装8个：80÷8＝10（袋） 每袋可以装10个：80÷10＝8（袋） 每袋可以装16个：80÷16＝5（袋） 每袋可以装20个：80÷20＝4（袋） 一共有7种装法。 答：每袋装得同样多，正好装完，一共有7种装法。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【思路引导】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【完整解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 高频考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【答案】3个装；因为3是57的因数 【思路引导】根据题意可知，如果包装盒正好能装完蛋挞，则盒子的数量×每个盒子蛋挞的个数＝57个，根据因数的定义，5、3、2哪个是57的因数，对应的包装盒正好能装完。 【完整解答】57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 【变式训练】（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【思路引导】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【完整解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 高频考点四：找—个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数既是36的因数，又是2和3的倍数，而且比15小。这个数最大是( )。 【答案】12 【思路引导】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出36的因数，15以内2的倍数和15以内3的倍数，最后从这些数中找出符合条件的最大数，据此解答。 【完整解答】36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 2×1＝2 2×2＝4 2×3＝6 2×4＝8 2×5＝10 2×6＝12 2×7＝14 15以内2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14。 3×1＝3 3×2＝6 3×3＝9 3×4＝12 15以内3的倍数有：3，6，9，12。 由上可知，一个数既是36的因数，又是2和3的倍数，而且比15小，这个数可能是6，12，所以这个数最大是12。 【变式训练】（22-23五年级下·江西吉安·期末）一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 【答案】D 【思路引导】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此20应该是这个数的2倍，据此解答。 【完整解答】任何一个非0自然数的最大因数和最小倍数都是它本身。 20÷2＝10 这个数是10。 故答案为：D 【考点再现】考查一个数因数和倍数的特征。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 高频考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（22-23五年级下·安徽马鞍山·期中）饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 【答案】5千克装或3千克装；9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；如果刚好把菜籽油装完，那么菜籽油的总质量是油桶可以装菜籽油质量的倍数，需要油桶的数量＝菜籽油的总质量÷每个油桶可以装菜籽油的质量，据此解答。 【完整解答】45÷5＝9（个） 45÷3＝15（个） 由上可知，45是5和3的倍数，则用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要5千克装的油桶9个或3千克装的油桶15个。 答：用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶。 【考点再现】本题主要考查因数、倍数的应用，掌握因数、倍数的意义是解答题目的关键。 【变式训练】欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了3支相同的钢笔，售货员说应付22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。 【答案】售货员的说法错误；判断方法见详解 【思路引导】根据单价×数量＝总价，所以总价应该是数量的倍数，22不是3的倍数，据此解答。 【完整解答】22÷3＝7（元）……1（元） 答：钢笔上的标价为整数，买了3支相同的钢笔，付的钱应该是3的倍数，但22不是3的倍数。所以售货员的说法错误。 高频考点六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·河南信阳·期中）如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【答案】C 【思路引导】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【完整解答】a的最大因数是a；b的最小倍数是b； a的最大因数等于b的最小倍数，则a＝b。 如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较，a＝b。 故答案为：C 【变式训练】实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【思路引导】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【完整解答】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【考点再现】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 高频考点七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·天津河西·期中）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 【答案】 15 30 【思路引导】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此解答。 【完整解答】一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位是0或5，十位最小是1，1＋5＝6，6÷3＝2，所以这个数最小是15； 一个数同时是2、3、5的倍数，这个数的个位只能是0，则十位最小是3，所以这个数最小是30。 一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是15；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是30。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数： 。 (2)3的倍数： 。 (3)5的倍数： 。 (4)既有因数3又有因数5的数： 。 【答案】(1)52；72 (2)27；57；72；75 (3)25；75 (4)75 【思路引导】（1）2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数； （2）3的倍数特征：各个数位上的数字相加，和要能被3整除； （3）5的倍数特征：个位上是0或5的数。 （4）既有因数3又有因数5的数的特征：各个数位上的数字相加，和是3的倍数，且个位上是0或5的数。 【完整解答】（1）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是2的数有52、72，所以可以摆出的2的倍数有52、72； （2）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75； 27各位数字之和：，9是3的倍数，所以27是3的倍数； 57各位数字之和：，12是3的倍数，所以57是3的倍数； 72各位数字之和：，9是3的倍数，所以72是3的倍数； 75各位数字之和：，75是3的倍数，所以75是3的倍数； 所以3的倍数有27；57；72；75。 （3）从三张数字卡片2、5、7中任意取两张，可以组成的两位数有25、27、52、57、72、75；在组成的这些两位数中，个位是5的数有25、75，所以可以摆出的5的倍数有25、75。 （4）既有因数3又有因数5的数，就是既是3的倍数又是5的倍数的数。由前面的计算可知，是3的倍数的数有27、72、57、75，是5的倍数的数有25、75，所以既是3的倍数又是5的倍数的数是75。 高频考点八：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。 (1)翻动15次后杯口朝( )，翻动20次后杯口朝( )。 (2)得出上述答案的理由：15是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )；20是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )。 【答案】(1) 下 上 (2) 奇 奇 下 偶 偶 上 【思路引导】（1）（2）由题意可知，原来杯口朝上，则翻动1次，杯口朝下．翻动2次，杯口向上，3次向下，4次向上，…．由此可以发现，当翻动奇数次时，杯口向下，偶数次时，杯口向上，据此完成即可。 【完整解答】（1）由分析可知，翻动15次后杯口朝下，翻动20次后杯口朝上。 （2）得出上述答案的理由：15是奇数，当翻动奇数次时，杯口朝下；20是偶数，当翻动偶数次时，杯口朝上。 【变式训练】（24-25五年级下·福建福州·期中）从四张卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)奇数：( )，( )。 (2)偶数：( )，( )。 (3)3的倍数：( )，( )。 (4)5的倍数：( )，( )。 (5)既是2的倍数，又是5的倍数：( )，( )。 (6)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 【答案】(1) 603 605 (2) 630 306 (3) 603 306 (4) 630 635 (5) 630 350 (6) 630 360 【思路引导】（1）奇数是不能被2整除的整数，个位需是1、3、5、7、9 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选3或5可构成奇数。 （2）偶数是能被2整除的整数，个位需是0、2、4、6、8 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选0或6可构成偶数。 （3）一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。计算所选三张卡片数字和，判断是否为3的倍数。 （4）5的倍数个位是0或5 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选0或5可构成5的倍数。 （5）既是2的倍数又是5的倍数，个位一定是0 。从6、0、3、5选三张且个位为0组成三位数。 （6）同时是2、3、5的倍数，个位是0且各位数字和是3的倍数。从6、0、3、5选三张，个位为0且数字和是3的倍数来组成三位数。 【完整解答】（1）当个位是3时，组成603；个位是5时，组成605 。 奇数为603，605（答案不唯一） （2）当个位是0时，组成630；个位是6时，组成306。 偶数为630，306（答案不唯一） （3）6＋0＋3＝9（9是3的倍数），组成603；3＋0＋6＝9，组成306 。 3的倍数为603，306（答案不唯一） （4）个位是0时，组成630；个位是5时，组成635 。 5的倍数为630，635（答案不唯一） （5）个位是0时，组成630、350 。 既是2的倍数，又是5的倍数为630，350（答案不唯一） （6）6＋3＋0＝9（9是3的倍数），组成630；3＋6＋0＝9，组成360 。 同时是2，3，5的倍数为630，360。 高频考点九：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期中）为了验证“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个结论，小丽以465为例，把465进行拆分。（如下图） 从图中可以发现，4个99和6个9都是3的倍数，所以只要判断方框中的数合起来是不是3的倍数即可。方框中共有15个1，是3的倍数，所以465就是3的倍数。请你用小丽的方法分一分并说一说564是不是3的倍数？比较两次验证过程，你有什么发现？ 【答案】见详解 【思路引导】根据小丽的拆分方法，将564进行拆分，564＝500＋60＋4，5个100可以拆成5个99和5个1，6个10可以拆成6个9和6个1，4就是4个1，因为99是3的倍数，无论几个99都是3的倍数，只需要将1的个数相加，是3的倍数，这个数就是3的倍数。观察465和564，只是将百位和个位上的数字进行了交换，都是3的倍数，换成456、546、645、654，依然都是3的倍数，因此3的倍数只与各数字各位上数的和有关，与顺序无关。 【完整解答】 从图中可以发现，5个99和6个9都是3的倍数，所以只要判断方框中的数合起来是不是3的倍数即可。方框中共有15个1，是3的倍数，所以564就是3的倍数。 比较两次验证过程，我的发现：示例：判断一个数是否为3的倍数只与各数字各位上数的和有关，与顺序无关。 【变式训练】（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个两位数既有因数3又是5的倍数，而且是偶数，这个两位数最小是（    ）。 A．12 B．15 C．30 D．90 【答案】C 【思路引导】5的倍数特征是个位是0或5；3的倍数特征是各个数位上数字之和是3的倍数；偶数是能被2整除的数，也就是个位是偶数（0、2、4、6、8）。要找到符合这三个条件的最小两位数，我们需要先根据5的倍数和偶数的特征确定个位数字，再结合3的倍数特征确定十位数字。 【完整解答】确定个位数字：因为这个数是5的倍数且是偶数，所以个位只能是0。 确定十位数字：当个位是0时，要满足是3的倍数，那么十位上的数是一定3的倍数，所以十位上只能3、6、9，十位上是3时，这个两位数最小。 所以这个两位数最小是30。 故答案为：C 高频考点十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）54是一个四位数，它既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 5040 5940 【思路引导】同时是2和5的倍数，个位必为0，四位数为“5□40”；是3的倍数，各位和能被3整除，即5＋□＋4＋0＝9＋□能被3整除；百位最小取0，9＋0＝9能被3整除，得最小数5040；百位最大取9，9＋9＝18能被3整除，得最大数5940。 【完整解答】个位必为0，此时四位数为“5□40”； 5＋□＋4＋0＝9＋□ 百位取0，9＋0＝9，能被3整除，最小数是5040； 百位取9，9＋9＝18，能被3整除，最大数是5940。 这个四位数最小是5040，最大是5940。 【变式训练】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）12的因数有( )，50以内12的倍数有( )。同时是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是( )，最小三位数是( )。 【答案】 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48 90 120 【思路引导】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。因为12÷1＝12，12÷2＝6，12÷3＝4，12÷4＝3，12÷6＝2，12÷12＝1，商都是整数且没有余数，所以12的因数有1，2，3，4，6，12。 倍数是指一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，12×5＝60＞50（舍去），所以50以内12的倍数有12，24，36，48。 同时是2和5的倍数：2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，所以数的个位一定是0；有因数3：即这个数是3的倍数，特征是各位数字相加的和是3的倍数。 要找最大两位数，十位需取最大的一位数（从9开始试）；十位是9、个位是0的数是90，各位数字和为9＋0＝9（9是3的倍数），满足所有条件。因此最大两位数是90。 要找最小三位数，百位需取最小的非0一位数（即1），再看十位；百位是1、个位是0，先试十位最小的数0：组成100，各位和为1＋0＋0＝1（1不是3的倍数，不满足）；试十位为1：组成110，各位和为1＋1＋0＝2（2不是3的倍数，不满足）；试十位为2：组成120，各位和为1＋2＋0＝3（3是3的倍数，满足）。因此最小三位数是120。 【完整解答】12÷1＝12 12÷2＝6 12÷3＝4 12÷4＝3 12÷6＝2 12÷12＝1 商都是整数且没有余数，所以12的因数有1，2，3，4，6，12。 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 所以50以内12的倍数有12，24，36，48。 最大两位数：90，9＋0＝9（9是3的倍数） 最小三位数：120，1＋2＋0＝3（3是3的倍数，满足） 同时是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是90，最小三位数是120。 高频考点十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“运动手环”能记录运动的步数，帮助我们分析运动效果。李爷爷每天早上戴着运动手环去公园锻炼，一天李爷爷锻炼回来发现运动手环记录的步数是一个四位数，千位上的数字是最小的合数，百位上的数字既是偶数又是质数，十位上的数字既不是质数也不是合数，个位上的数字既是奇数又是合数，李爷爷运动手环记录的步数是( )。 【答案】 4219 【思路引导】只有1和它本身两个因数的数是质数，如2、3、5、7等，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数，如4、6、8、9等； 是2的倍数的数是偶数，如2、4、6、8等，不是2的倍数的数是奇数，如1、3、5、7、9等。据此解答。 【完整解答】最小的合数是4，因此千位数字为4；既是偶数又是质数的数只有2，因此百位数字为2；既不是质数也不是合数的数是1，因此十位数字为1；既是奇数又是合数的个位数是9（9＝3×3），因此个位数字为9；将各位数字组合，得到四位数4219。 所以李爷爷运动手环记录的步数是4219。 【变式训练】（24-25五年级下·河南信阳·期末）2025年6月1日是第75个儿童节，阳光小学五年级5个班176名学生和7名老师在学校礼堂里举行了庆六一联欢活动，51名小演员给大家带来了魔术、小品、诗朗诵、舞蹈、独唱、课本剧等16个节目，中间还穿插了“你画我猜”“我演你猜”等6个师生互动节目和抽奖环节，在这2小时15分钟里，孩子们的笑声一直在礼堂中回荡。 文中画横线的数中，偶数有( )，合数有( )，奇数有( )，质数有( )，( )既是3的倍数又含有因数5。 【答案】 176、16、6、2 75、176、51、16、6、15 75、5、7、51、15 5、7、2 75、15 【思路引导】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数；既是3的倍数又含有因数5的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【完整解答】75，5，176，7，51，16，6，2，15中， 偶数有：176、16、6、2； 合数有：75、176、51、16、6、15； 奇数有：75、5、7、51、15； 质数有：5、7、2； 75是5的倍数；7＋5＝12，12能被3整除，所以75也是3的倍数； 5是5的倍数；5不能被3整除，所以5不是3的倍数； 15是5的倍数；1＋5＝6，6能被3整除。所以15也是3的倍数。 75、15既是3的倍数又含有因数5。 偶数有176，16，6，2，合数有75，176，51，16，6，15，奇数有75、5、7、51、15，质数有5、7、2，75、15既是3的倍数又含有因数5。 高频考点十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（22-23五年级下·河南三门峡·期中）李浩和王乐玩数字游戏，李浩设置了一个六位数字密码如下： 个位：既是偶数，又是质数。 十位：既是5的倍数，又是5的因数。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数。 千位：既不是质数，也不是合数。 万位：既是奇数，又是合数。 十万位：一位数中最大的合数。 如果你是王乐，你能解开此密码吗？试一试：( )。 【答案】991652 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 据此确定各数位上的数，写出这个数即可。 【完整解答】个位：既是偶数，又是质数，这个数是2。 十位：既是5的倍数，又是5的因数，这个数是5。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数，这个数是6。 千位：既不是质数，也不是合数，这个数是1。 万位：既是奇数，又是合数，这个数是9。 十万位：一位数中最大的合数，这个数是9。 因此密码是：991652 【考点再现】关键是理解因数和倍数的含义，掌握2和3的倍数的特征，掌握奇数、偶数、质数、合数的分类标准。 【变式训练】一个长方形的周长是32米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是( )、( )。 【答案】 39平方米/39m2 55平方米/55m2 【思路引导】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”可知，用周长除以2可求出长与宽的和；再根据质数的意义，确定长、宽的米数；最后根据“长方形的面积＝长×宽”，把长、宽数据代入面积公式计算即可。 【完整解答】32÷2＝16（米） 16＝13＋3＝11＋5 13×3＝39（平方米） 11×5＝55（平方米） 所以这个长方形的面积是39平方米或55平方米。 【考点再现】此题主要考查质数的意义、长方形的周长公式、长方形的面积公式，要熟记公式及100以内的质数。 高频考点十三：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【答案】(1) 偶 偶 偶 (2) 奇 偶 奇 (3) 奇 偶 【思路引导】（1）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断海海卡片上的数的奇偶性。根据“偶数＋偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数”进行解答。 （2）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断园园卡片上的数的奇偶性。根据“奇数＋奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数”进行解答。 （3）根据奇数与偶数的运算性质，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，进行判断即可。 【完整解答】（1），，，， 海海卡片上的数都是偶数，根据偶数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是偶数。 （2），，， 园园卡片上的数都是奇数，根据奇数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是奇数。 （3）海海和园园各拿出一张卡片，海海卡片上的数都是偶数，园园卡片上的数都是奇数，那么卡片上两数的和是奇数，积是偶数。 【变式训练】（24-25五年级下·河南新乡·期末）某数学家在1900年国际数学家大会上提出“孪生质数猜想”，孪生质数是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数并且相差2，那么3和5就是孪生质数，同理5和7也是孪生质数。 (1)请你再写出一组20以内的孪生质数( )。 (2)和表示孪生质数，那么是( )，是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】(1)11和13 (2) 奇数 偶数 【思路引导】（1）质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。孪生质数是相差为2的两个质数。所以要找出20以内满足相差2的质数对。 （2）因为m和n是孪生质数，除了2，其他质数都是奇数（因为2是唯一的偶质数），所以m和n都是奇数。根据奇数和偶数的运算性质：奇数＋偶数＝奇数，偶数×奇数＝偶数。 【完整解答】（1）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。其中相差2的质数对有3和5、5和7、11和13、17和19。 11和13是20以内的孪生质数。（答案不唯一） （2）因为m是奇数，2是偶数，奇数＋偶数＝奇数。 因为n是奇数，2是偶数，偶数×奇数＝偶数。 和表示孪生质数，那么是奇数，是偶数。 【演练1】（2025·山东菏泽·小升初真题）两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有（    ）种。 A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】由三角形的三边关系可知，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。所以第三根木棒大于（8－5）、小于（8＋5），据此确定第三根木棒的长度范围在3到13之间；三角形的周长等于三角形的三边之和且三角形的周长为奇数，因为5＋8＝13是奇数，根据“奇数＋偶数＝奇数”可知，第三根木棒的长度为3到13之间的偶数，3到13之间的偶数有4、6、8、10、12共5种情况。 【完整解答】8－5＝3（cm） 8＋5＝13（cm） 所以3＜第三根木棒长＜13； 因为8＋5＋第三根木棒长＝奇数，即13＋第三根木棒长＝奇数，所以第三根木棒长是偶数； 所以第三根木棒长可能是4、6、8、10、12共5种情况。 两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有5种。 故答案为：B 【演练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）袋子里有写着1～6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况；是3的倍数的两位数有( )种可能情况。 【答案】 5 10 【思路引导】5的倍数特征：个位是0或5的数字是5的倍数；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。 【完整解答】根据分析： 15、25、35、45、65是5的倍数，其中是5的倍数的两位数有5种可能； 12、15、24、36、45、21、51、42、63、54是3的倍数，其中是3的倍数的两位数有10种可能。 【考点再现】本题考查5和3的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。 【演练3】（2025·浙江杭州·小升初真题）表示一个四位整数，那么( )；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝( )。 【答案】 5 【思路引导】已知表示一个四位整数，千位上是2，表示2个1000即2×1000；百位上是a，表示a个100即a×100，十位上是5，表示5个10即5×10；个位上是0，表示0个1即0×1。 如果是3的倍数，根据3的倍数特征“一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，再结合a是一个奇数即可能是1、3、5、7、9，逐一验证即可。 【完整解答】（） 如果是3的倍数，2＋a＋5＋0＝7＋a，且a是一个奇数，那么： 当a＝1时，7＋1＝8，不是3的倍数； 当a＝3时，7＋3＝10，不是3的倍数； 当a＝5时，7＋5＝12，是3的倍数； 当a＝7时，7＋7＝14，不是3的倍数； 当a＝9时，7＋9＝16，不是3的倍数。 填空如下： 表示一个四位整数，那么（）；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝（5）。 【演练4】（2025·湖北武汉·小升初真题）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 【答案】D 【思路引导】连续偶数之间的差值为2，已知三个连续偶数中最大的是A，那么中间的偶数是（A－2），最小的偶数是A－2－2＝A－4。 【完整解答】A－2－2＝A－4 因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（A－4）。 故答案为：D 【演练5】（2025·重庆北碚·小升初真题）若自然数能被它各数位上的数字之积整除，我们就称这样的自然数为“闪亮数”。 （1）若三位数为“闪亮数”，请直接写出的值； （2）请求出所有的两位“闪亮数”。 【答案】（1）1、7 （2）11、12、15、24、36 【思路引导】（1）根据“闪亮数”的定义，可知为的倍数，由此可以看出这个数是3的倍数，那么3＋5＋a＝8＋a必须能被3整除，据此解答此题。 （2）我们按个位数字从 1 到 9 一个一个来分析，算出这个数“十位数字 × 个位数字”的积，最后看“这个两位数除以数字之积”的结果是不是整数 —— 如果是整数，这个数就是“闪亮数”。 【完整解答】（1）根据“闪亮数”的定义，可知为的倍数，，即能被3整除， 所以必须能被3整除，能被3整除则的取值可以是1、4、7， 又时，＝7……1，有余数，故满足题意的只能是1或7。 答：的值是1、7。 （2）当个位数字为1时，“闪亮数”可以是11； 当个位数字为2时，“闪亮数”可以是12； 当个位数字为3时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为4时，“闪亮数”可以是24； 当个位数字为5时，“闪亮数”可以是15； 当个位数字为6时，“闪亮数”可以是36； 当个位数字为7时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为8时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为9时，不存在“闪亮数”。 答：所有的两位“闪亮数”为：11、12、15、24、36。 【考点再现】“闪亮数” 的核心是：自然数能被它各数位数字之积整除。解题时需根据数位表示数的方法，结合整除的条件分析。 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级上·吉林四平·期末）两个相邻偶数的和是98，这两个数分别是（    ）。 A．48；46 B．54；52 C．48；50 D．46；52 【答案】C 【思路引导】是2的倍数的数是偶数。已知两个相邻偶数的和是98，且相邻两个偶数差为2。据此逐一分析。 【完整解答】A．48＋46＝94，这两个偶数的和不是98，不符合； B．54＋52＝106，这两个偶数的和不是98，不符合； C．48＋50＝98，且50－48＝2，符合； D．52－46＝6，这两个偶数的差不是2，即不是相邻的偶数，不符合。 所以这两个偶数分别是48和50。 故答案为：C 2．（24-25五年级上·天津河西·期末）想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【思路引导】要使饮料正好装完，每箱装的瓶数必须是90的因数，找出各选项中哪个是90的因数，再找哪个选项不是90的因数，该选项即为不合适。 【完整解答】A．一箱装8瓶，90÷8＝11（箱）……2（瓶），8不是90的因数，选择A种包装盒不合适； B．一箱装5瓶，90÷5＝18（箱），5是90的因数，选择B种包装盒合适； C．一箱装3瓶，90÷3＝30（箱），3是90的因数，选择C种包装盒合适； D．一箱装6瓶，90÷6＝15（箱），6是90的因数，选择D种包装盒合适。 只有A种包装盒不合适。 故答案为：A 3．（25-26五年级上·广东韶关·期中）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 【答案】B 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。先列举出36的所有因数，再看三个选项中的3个数是否都是36的因数，据此解答。 【完整解答】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 A．1、13、18中，13不是36的因数，所以1、13、18不可能是获奖作品编码。 B．2、6、12都是36的因数，所以2、6、12可能是获奖作品的编码。 C．4、9、16中，16不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 D．3、15、18中，15不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 故答案为：B 4．（2026五年级下·全国·专题练习）如图是一个六等分的转盘（转盘上的数字为 1、2、3、4、5、6，每个区域面积相等），游戏规则：指针指向奇数时青青赢，指向偶数时乐乐赢。这个游戏（    ）。 A．对青青有利 B．对乐乐有利 C．是公平的 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】根据题意，转盘被六等分，每个区域面积相等，数字为1、2、3、4、5、6。我们可以先分别数出其中奇数和偶数的个数，结合六等分的条件，说明每个数字被指针指向的机会相同，通过比较奇数和偶数的个数是否相等来判断游戏是否公平，据此解答。 【完整解答】转盘被六等分，共6个数字区域。 奇数有1、3、5，共3个； 偶数有2、4、6，共3个。 因为奇数和偶数的个数一样，且每个区域被指向的机会相同，所以青青和乐乐赢的机会相同，游戏是公平的。 故答案为：C 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。 【答案】因数；因数；倍数 【思路引导】在非0自然数范围内，如果两个数相乘的积是另一个数，那么这两个数就是积的因数，积就是这两个数的倍数。据此解答。 【完整解答】根据分析可知： 在（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的（因数），b是c的（因数），c是a和b的（倍数）。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）在□里填上一个数字，使其成为3的倍数。 (1)31□，□里可以填( )。 (2)☐25，☐里可以填( )。 (3)2☐0，☐里可以填( )。 (4)☐66，☐里可以填( )。 【答案】(1)2或5或8 (2)2或5或8 (3)1或4或7 (4)3或6或9 【思路引导】根据能被3整除的数的特征，即一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除，来确定方框里可填的数字。 【完整解答】（1）先计算31□中已有的数字3和1的和为，然后找出与4相加的和能被3整除的数，，，6、9、12都能被3整除，所以□里可以填2或5或8； （2）先计算 □25中已有的数字2和5的和为，然后找出与7相加的和能被3整除的数，，，，9、12、15都能被3整除，所以□里可以填2或5或8； （3）先计算2□0中已有的数字2和0的和为，然后找出与2相加的和能被3整除的数，，，3、6、9都能被3整除，所以□里可以填1或4或7； （4）先计算□66中已有的数字6和6的和为，12能被3整除，然后找出与12相加的和能被3整除的数，，，，15、18、21都能被3整除，所以□里可以填3或6或9。 7．（22-23五年级下·河南周口·期中）把下面各数分解质因数。 45         28          104 【答案】45＝3×3×5 28＝2×2×7 104＝2×2×2×13 【思路引导】分解质因数就是把这个数分解成几个质数相乘的式子。 【完整解答】45的质因数有3，5所以45＝3×3×5 28的质因数有2，7所以28＝2×2×7 104的质因数有2，13所以104＝2×2×2×13 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）王先生和李先生是同一研究所的科研人员，他们总是相隔不同的天数到图书馆查阅资料。王先生每3天去一次，李先生每5天去一次，8月8日他们都去了图书馆。下次两人同一天去图书馆的日期是几月几日？ 【答案】8月23日 【思路引导】两人再次同一天去图书馆的时间间隔，是他们各自去图书馆周期（3天、5天）的最小公倍数，再结合日期推算即可得到结果。 【完整解答】求时间间隔（最小公倍数）： 3和5是互质数，最小公倍数为， 即再过15天两人会再次同一天去图书馆。推算日期：（日）。 答：下次两人同一天去图书馆的日期是8月23日。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 【答案】找回的钱不对。理由见解析。 【思路引导】根据赣南脐橙和南丰蜜橘的单价，分析购买这两种水果所花费的钱数的个位数字特征，进而判断找回钱数是否正确。 【完整解答】找回的钱不对。 理由：赣南脐橙10元/份，南丰蜜橘5元/份，10和5都是5的倍数，所以购买这两种水果所花费的钱数一定是5的倍数，那么花费钱数的个位数字一定是0或5。 园园给了50元，50是5的倍数，个位是0，花费钱数个位是0或5，那么找回的钱数个位上一定是5或0，而实际找回12元，个位是2，所以找回的钱不对。 10．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【思路引导】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【完整解答】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26五年级上·天津河西·期中）16位同学分组训练，要求每组人数相同，且每组人数不能为1人、16人，有几种分法？（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【思路引导】先找出16的所有因数，因为要求每组人数不能为1人、16人，所以排除1和16这两个因数，把剩下的因数分别看作组数，用总人数除以组数即可得到每组的人数，据此解答。 【完整解答】16＝1×16＝2×8＝4×4 ①16÷2＝8（人），可以分成2组，每组8人； ②16÷8＝2（人），可以分成8组，每组2人； ③16÷4＝4（人），可以分成4组，每组4人； 所以一共有3种分法。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·河南周口·期末）在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【思路引导】能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8； 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除； 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能同时被2，3，5整除的数需要同时满足以上三个条件，即个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除；在四位数150中，个位数字是0，已经满足能被2和5整除的条件，只需考虑各个数位上的数字之和能被3整除；据此解答。 【完整解答】 150中已知数字1、5、0的和为：1＋5＋0＝6；因为6能被3整除，所以里的数字加上6之后仍需是3的倍数；里可填的数字是一位数，找出符合是3的倍数的：6＋0＝6；6＋3＝9；6＋6＝12；6＋9＝15 所以，里可填0、3、6、9，共有4种填法。 故答案为：C 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 【答案】B 【思路引导】数码之和指的是每个数的各位数字相加的总和。 数列为从1到99的连续奇数，包括一位数和两位数，一位数奇数有：1、3、5、7、9，其数码之和为1＋3＋5＋7＋9＝25；两位数奇数（从11到99）：十位数字从1到9，个位数字为1、3、5、7、9，两位数奇数的十位是1~9，每个十位对应5个奇数（如十位是1时，对应11、13、15、17、19），因此十位数码之和为（1＋2＋3＋…＋9）×5＝45×5＝225；个位数码之和为：（1＋3＋5＋7＋9）×9＝25×9＝225。最后将一位数奇数的数码之和和两位数奇数的数码之和（分为十位数码之和和个位数码之和）相加即可。 【完整解答】1＋3＋5＋7＋9 ＝5×5 ＝25 （1＋2＋3＋…＋9）×5 ＝（5×9）×5 ＝45×5 ＝225 （1＋3＋5＋7＋9）×9 ＝（5×5）×9 ＝25×9 ＝225 25＋（225＋225） ＝25＋450 ＝475 因此所有数码（数字）之和等于475。 故答案为：B 【考点再现】本题需把连续奇数1、3、5、…、97、99按一位数、两位数分类，两位数再分为十位数和个位数，分别计算它们的数码之和，再相加。 4．（2026五年级下·全国·专题练习）“趣味数学节” 上，同学们玩 “掷骰子比输赢” 游戏，同时掷 2个完全相同的骰子，以点数之和判断输赢。 (1)点数之和共有( )种可能。 (2)若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。 【答案】(1) 11 (2) 相同 【思路引导】一个骰子共有6个面，分别对应6个不同的数字，所以朝上的面的点数可能是1、2、3、4、5、6共6种可能；列表格分析两个骰子的点数之和，由表格可知，点数之和可能是2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12共11种可能。偶数：是2的倍数的数叫偶数；个位是0、2、4、6、8的数字是2的倍数；奇数：不是2的倍数的数叫奇数。据此判断谁赢的可能性大。 【完整解答】根据分析得出表格： 2、4、6、8、10、12是偶数，由表格知：点数之和为偶数有18种情况；3、5、7、9、11是奇数，由表格知：点数之和为奇数有18种情况；所以同时掷2个骰子，以点数之和判断输赢。 （1）点数之和共有（11）种可能。 （2）若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性（相同）。 5．（25-26五年级上·天津河西·期中）小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是( )岁。 【答案】 15 【思路引导】解答这道题需根据5的倍数的特征找出20以内5的倍数，再找出45的所有因数，确定10到20之间5的倍数和45的因数中公有的数即可。据此解答。 【完整解答】根据分析： 10到20之间的5的倍数：10、15、20。 45的因数：1、3、5、9、15、45。 10到20之间公有的数：15。 所以小精灵今年的年龄是15岁。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）由编号1~150的150名YMO小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次所有编号是3的倍数的小朋友再向左转……最后一次所有编号是150的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有 名小朋友面朝南方。 【答案】 7 【思路引导】每个小朋友左转的次数等于其编号的约数个数。初始面朝东方，每次左转方向变化：东→北→西→南→东，每4次左转方向循环一次。因此，最终方向取决于约数个数除以4的余数。面朝南方需要约数个数是3，或约数个数除以4余3。约数个数为奇数的编号必为完全平方数，因此只需检查1到150中的完全平方数，计算其约数个数并判断余数是否为3。 【完整解答】编号1~150中，完全平方数有12个：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144。计算每个平方数的约数个数并求模4余数： 1：约数个数1，1 ≠3 4：约数个数3，3 ＝3，符合 9：约数个数3，3 ＝3，符合 16：约数个数5，5÷ 4 ＝1……1，1 ≠3 25：约数个数3，3 ＝3，符合 36：约数个数9，9 ÷ 4 ＝2……1，1 ≠3 49：约数个数3，3 ＝3，符合 64：约数个数7，7÷ 4 ＝1……3，3＝3，符合 81：约数个数5，5 ÷ 4 ＝1……1，1 ≠3 100：约数个数9，9 ÷ 4 ＝2……1，1 ≠3 121：约数个数3，3 ＝3，符合 144：约数个数15，15÷ 4 ＝3……3，3 ＝3，符合 符合条件的有7个编号：4，9，25，49，64，121，144。因此，有7名小朋友面朝南方。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10       7和16        45和60         24和30 【答案】最大公因数：2；最小公倍数：180； 最大公因数：1；最小公倍数：112； 最大公因数：15；最小公倍数：180； 最大公因数：6；最小公倍数：120 【思路引导】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【完整解答】 故最大公因数：2，最小公倍数：； 7是质数 故最大公因数：1，最小公倍数：； 故最大公因数：，最小公倍数： 故最大公因数：，最小公倍数： 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 【答案】7：00 【思路引导】用枚举法，不重复不遗漏有序列举出12路车与17路车每一次发车时间后，比较得出下一次同时发车时间。 【完整解答】10分钟发一次车，12路车发车时间：6：00、6：10、6：20、6：30、6：40、6：50、7：00、7：10…… 12分钟发一次车，17路车发车时间：6：00、6：12、6：24、6：36、6：48、7：00、7：12、7：24…… 12路车与17路车下次同时发车时间是：7：00。 答：这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是7：00。 9．（24-25五年级上·广东揭阳·期末）淘气和笑笑玩掷骰子游戏，掷出质数淘气赢，掷出合数笑笑赢，这个游戏规则公平吗？ 如果不公平，请你修改这个游戏规则，使它是公平的。 【答案】不公平；掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢 【思路引导】质数：只有1和它本身2个因数的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数；1既不是质数也不是合数，据此分别列举出淘气和笑笑赢的情况数，如果两人赢的情况数相同，则公平，反之则不公平；如果不公平，可以修改游戏规则使淘气和笑笑赢的可能性相同即可。 【完整解答】质数：2，3，5，有3种情况；合数：4，6，有2种情况；笑笑和淘气赢的情况数不相同，所以游戏不公平。奇数：1，3，5，有3种情况，偶数：2，4，6，有3种情况，因为奇数和偶数都有3个，所以可以改变游戏规则为：掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢。 答：游戏规则不公平。可以改变游戏规则为：掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢。 10．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【完整解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点再现】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 因数和倍数 【原卷版】 同学你好，该份讲义用于人教版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 高频考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·河北邢台·期中）一个自然数，它有5个因数，从小到大依次是a，b，c，d，e。已知a＋e＝17，那么b＋d＝ 。 【变式训练】（24-25五年级下·湖北武汉·期末）以下说法正确的有（    ）句。 ①9比4大，所以9的因数比4的因数多    ②一个自然数至少有两个因数 ③因为，所以6是30的倍数    ④17的最大因数和最小倍数都是17 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（24-25五年级上·广东韶关·期中）2024年4月广东部分地区出现洪水浸城，各地消防员紧急救援被困群众。平平一家为抗洪救灾的工作人员准备了苹果、牛奶和面包等干粮，其中苹果有80个，把这些苹果全部装到袋子里，每袋装得同样多，正好装完，一共有多少种装法？请写出你的装法。（每袋至少装2个，最多装30个） 【变式训练】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 高频考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【变式训练】（23-24五年级下·辽宁鞍山·期末）端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 高频考点四：找—个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期中）一个数既是36的因数，又是2和3的倍数，而且比15小。这个数最大是( )。 【变式训练】（22-23五年级下·江西吉安·期末）一个非0自然数的最大因数和最小倍数的和是20，这个数是（    ）。 A．18 B．19 C．20 D．10 高频考点五：根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（22-23五年级下·安徽马鞍山·期中）饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 【变式训练】欣欣到文具店买钢笔，钢笔上的标价为整数但模糊不清，她买了3支相同的钢笔，售货员说应付22元，欣欣认为不对，请你说明欣欣是如何作出判断的。 高频考点六：倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（23-24五年级下·河南信阳·期中）如果a的最大因数等于b的最小倍数，那么a和b比较（    ）。 A．a＞b B．a＜b C．a＝b 【变式训练】实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 高频考点七：2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级上·天津河西·期中）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 【变式训练】（25-26六年级·全国·随堂练习）从2、5、7三张数字卡片中任意取两张，再按下面的要求写数。 (1)2的倍数： 。 (2)3的倍数： 。 (3)5的倍数： 。 (4)既有因数3又有因数5的数： 。 高频考点八：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）一个杯子杯口朝上放在桌上，翻动1次杯口朝下，翻动2次杯口朝上。 (1)翻动15次后杯口朝( )，翻动20次后杯口朝( )。 (2)得出上述答案的理由：15是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )；20是( )数，当翻动( )数次时，杯口朝( )。 【变式训练】（24-25五年级下·福建福州·期中）从四张卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)奇数：( )，( )。 (2)偶数：( )，( )。 (3)3的倍数：( )，( )。 (4)5的倍数：( )，( )。 (5)既是2的倍数，又是5的倍数：( )，( )。 (6)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 高频考点九：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·山西忻州·期中）为了验证“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”这个结论，小丽以465为例，把465进行拆分。（如下图） 从图中可以发现，4个99和6个9都是3的倍数，所以只要判断方框中的数合起来是不是3的倍数即可。方框中共有15个1，是3的倍数，所以465就是3的倍数。请你用小丽的方法分一分并说一说564是不是3的倍数？比较两次验证过程，你有什么发现？ 【变式训练】（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个两位数既有因数3又是5的倍数，而且是偶数，这个两位数最小是（    ）。 A．12 B．15 C．30 D．90 高频考点十：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（24-25五年级下·浙江杭州·期中）54是一个四位数，它既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最小是( )，最大是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·福建龙岩·期中）12的因数有( )，50以内12的倍数有( )。同时是2和5的倍数，又有因数3的最大两位数是( )，最小三位数是( )。 高频考点十一：质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·黑龙江哈尔滨·期末）“运动手环”能记录运动的步数，帮助我们分析运动效果。李爷爷每天早上戴着运动手环去公园锻炼，一天李爷爷锻炼回来发现运动手环记录的步数是一个四位数，千位上的数字是最小的合数，百位上的数字既是偶数又是质数，十位上的数字既不是质数也不是合数，个位上的数字既是奇数又是合数，李爷爷运动手环记录的步数是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·河南信阳·期末）2025年6月1日是第75个儿童节，阳光小学五年级5个班176名学生和7名老师在学校礼堂里举行了庆六一联欢活动，51名小演员给大家带来了魔术、小品、诗朗诵、舞蹈、独唱、课本剧等16个节目，中间还穿插了“你画我猜”“我演你猜”等6个师生互动节目和抽奖环节，在这2小时15分钟里，孩子们的笑声一直在礼堂中回荡。 文中画横线的数中，偶数有( )，合数有( )，奇数有( )，质数有( )，( )既是3的倍数又含有因数5。 高频考点十二：质数与合数的综合应用 【典例精讲】（22-23五年级下·河南三门峡·期中）李浩和王乐玩数字游戏，李浩设置了一个六位数字密码如下： 个位：既是偶数，又是质数。 十位：既是5的倍数，又是5的因数。 百位：既是2的倍数，又是3的倍数。 千位：既不是质数，也不是合数。 万位：既是奇数，又是合数。 十万位：一位数中最大的合数。 如果你是王乐，你能解开此密码吗？试一试：( )。 【变式训练】一个长方形的周长是32米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是( )、( )。 高频考点十三：运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【变式训练】（24-25五年级下·河南新乡·期末）某数学家在1900年国际数学家大会上提出“孪生质数猜想”，孪生质数是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数并且相差2，那么3和5就是孪生质数，同理5和7也是孪生质数。 (1)请你再写出一组20以内的孪生质数( )。 (2)和表示孪生质数，那么是( )，是( )。（填“奇数”或“偶数” 【演练1】（2025·山东菏泽·小升初真题）两根木棒的长分别是5cm，8cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果三角形的周长为奇数，那么第三根木棒的取值情况有（    ）种。 A．4 B．5 C．8 D．9 【演练2】（2025·湖北武汉·小升初真题）袋子里有写着1～6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况；是3的倍数的两位数有( )种可能情况。 【演练3】（2025·浙江杭州·小升初真题）表示一个四位整数，那么( )；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝( )。 【演练4】（2025·湖北武汉·小升初真题）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 【演练5】（2025·重庆北碚·小升初真题）若自然数能被它各数位上的数字之积整除，我们就称这样的自然数为“闪亮数”。 （1）若三位数为“闪亮数”，请直接写出的值； （2）请求出所有的两位“闪亮数”。 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级上·吉林四平·期末）两个相邻偶数的和是98，这两个数分别是（    ）。 A．48；46 B．54；52 C．48；50 D．46；52 2．（24-25五年级上·天津河西·期末）想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（    ） A．B． C． D． 3．（25-26五年级上·广东韶关·期中）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 4．（2026五年级下·全国·专题练习）如图是一个六等分的转盘（转盘上的数字为 1、2、3、4、5、6，每个区域面积相等），游戏规则：指针指向奇数时青青赢，指向偶数时乐乐赢。这个游戏（    ）。 A．对青青有利 B．对乐乐有利 C．是公平的 D．无法判断 5．（24-25五年级下·全国·课后作业）在ab＝c（a，b，c均是非0自然数）中，a是c的( )，b是c的( )，c是a和b的( )。 6．（24-25五年级下·全国·课后作业）在□里填上一个数字，使其成为3的倍数。 (1)31□，□里可以填( )。 (2)☐25，☐里可以填( )。 (3)2☐0，☐里可以填( )。 (4)☐66，☐里可以填( )。 7．（22-23五年级下·河南周口·期中）把下面各数分解质因数。 45         28          104 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）王先生和李先生是同一研究所的科研人员，他们总是相隔不同的天数到图书馆查阅资料。王先生每3天去一次，李先生每5天去一次，8月8日他们都去了图书馆。下次两人同一天去图书馆的日期是几月几日？ 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）某水果店进行促销活动，园园买了一些赣南脐橙和南丰蜜橘。请你帮园园判断找回的钱对不对，并说明理由。 10．（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26五年级上·天津河西·期中）16位同学分组训练，要求每组人数相同，且每组人数不能为1人、16人，有几种分法？（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（24-25六年级上·河南周口·期末）在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2025·湖南长沙·小升初真题）在连续奇数1，3，5，…，97，99中，所有数码（数字）之和等于______。 A．456 B．475 C．494 D．900 E．875 4．（2026五年级下·全国·专题练习）“趣味数学节” 上，同学们玩 “掷骰子比输赢” 游戏，同时掷 2个完全相同的骰子，以点数之和判断输赢。 (1)点数之和共有( )种可能。 (2)若小红选择点数之和为偶数赢，小刚选择点数之和为奇数赢，他们赢的可能性( )（填“相同”或“不同”）。 5．（25-26五年级上·天津河西·期中）小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是( )岁。 6．（2025·湖南长沙·小升初真题）由编号1~150的150名YMO小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次所有编号是3的倍数的小朋友再向左转……最后一次所有编号是150的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有 名小朋友面朝南方。 7．（24-25五年级下·全国·课后作业）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和10       7和16        45和60         24和30 8．（24-25五年级下·全国·课后作业）少年宫是12路和17路公共汽车的始发站，12路公共汽车每10分钟发一次车，17路公共汽车每12分钟发一次车。这两路公共汽车在6：00同时发车后，下一次同时发车是什么时候？ 9．（24-25五年级上·广东揭阳·期末）淘气和笑笑玩掷骰子游戏，掷出质数淘气赢，掷出合数笑笑赢，这个游戏规则公平吗？ 如果不公平，请你修改这个游戏规则，使它是公平的。 10．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $