精品解析：福建省福州市延安中学等校2025-2026学年上学期期末考试七年级数学试题

2025－2026学年第一学期期末考试七年级数学试题 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 2. 单项式的系数和次数分别是（ ）． A. B. C. D. 3. 若某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 棱柱 C. 圆锥 D. 棱锥 4. 下列结论错误的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如下表，若和成反比例关系，则“”处应填（ ）． ■ A. B. C. D. 7. 如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，宽为4）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 2025年全国普通高校毕业生规模预计约人．其中“”用科学记数法表示为_____． 12. 若，则的补角的度数为_____． 13. 亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是_____． 14. 如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为_____． 15. 点，，在同一条直线上，，，则的长为_____． 16. 一个正整数，由个数字组成，若它的第一位数可以被整除，它的前两位数可以被整除，前三位数可以被整除，，一直到前位数可以被整除，则这样的数叫做“精巧数”（如：的第一位数“”可以被整除，前两位数“”可以被整除，“”可以被整除，则是一个“精巧数”）．若四位“精巧数”是，则满足条件的最大值是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，求证．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． ∵，， ∴，， ∴， ∴（_________________________）， ∴， ∵， ∴（_________________________）， ∴_____， ∴． 20. 如图，已知线段． （1）请用尺规按下列要求步骤作图（保留作图痕迹，不写作法： ①延长线段至点，使； ②延长线段至点，使； （2）在（1）的条件下，若，点是的中点，求线段的长． 21. 某班级组织全班同学参观科技馆，已知票价每张元，该班级人数多于人．科技馆购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 人以上 方案一 全体人员打九折 方案二 先购买一张元年卡，凭年卡购买团体票每人可享八折优惠 经计算，班长发现两种方案所需支付的费用相同，求这个班级的人数． 22. 直线相交于点分别是平分线． （1）求证：； （2）射线，在同一条直线上吗？请说明理由． 23. 项目化学习数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图①是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 使用调节扣，改变此款单肩包背带长度，并分别测量双层部分长度及对应的单层部分的长度，其部分数据如表： 双层部分的长度 单层部分的长度 素材3 此款单肩包的最佳背带总长度与身高比例为． 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立（如图②），此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图③），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 结合素材1和素材2知，当双层部分长度增加时，单层部分长度缩短_____cm．经调节，此款单肩包背带长度最长可调节至_____． 任务2 小明的身高为，当小明将此款单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求：①小明背此款单肩包的最佳背带总长度；②此时双层部分的长度． 任务3 求小明爸爸的身高． 24. 如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． （1）判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； （2）已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； （3）无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 25. 已知：，是上的点，是上的点，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，点在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为．当时，求的度数； （3）如图③，作，角平分线交于点，交于点，作的角平分线交于点，当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末考试七年级数学试题 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． 故选：A． 2. 单项式的系数和次数分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了单项式，需注意：单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 根据单项式的概念及单项式的次数、系数的定义解答． 【详解】解：单项式的系数是：，次数是所有字母指数之和：． 故选：C． 3. 若某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 棱柱 C. 圆锥 D. 棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体展开图的特征是解题的关键．根据圆锥的展开图是扇形与圆解题即可． 【详解】解：某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体是圆锥， 故选：C． 4. 下列结论错误的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质．解题的关键是等式的基本性质：等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的基本性质可判断出选项正确与否． 详解】解：选项A：，根据等式性质1，两边同时减，得，正确，故不符合题意； 选项B：，根据等式性质2，两边同时乘，得，正确，故不符合题意； 选项C：，根据等式性质2，两边同时乘，得，正确，故不符合题意； 选项D：，根据等式性质2，两边同时除，当时，才成立，当时，和无意义，等式不成立，错误，故符合题意． 故选：D． 5. 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 6. 如下表，若和成反比例关系，则“”处应填（ ）． ■ A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例，熟练掌握反比例的定义是解题的关键． 根据反比例的定义进行作答即可． 【详解】解：∵和成反比例关系， ∴， ∴当，时，， ∴， ∴当时，， ∴“”处应为：． 故选：B． 7. 如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 8. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设城中有户人家，根据每家取一头鹿，共取头鹿，剩余鹿由每三家共取一头，可知每家又取头鹿，共取头鹿，恰好取完头鹿，由此列方程． 详解】解：设城中有户人家， 每家取一头鹿，户人家共取头鹿， 剩余鹿由每三家共取一头，可知每家又取头鹿，共取头鹿 ∵总鹿数为100， ∴． 故选：A． 9. 为了方便市民绿色出行和锻炼身体，政府倡导大家使用共享单车．图①是一辆共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，．当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线得出相等角，然后利用三角形的内角和定理得出，然后再用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵都与地面平行， ∴， ∴， 故选：C． 10. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，宽为4）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式解决几何问题，解题的关键是根据图形表示出相关线段的长度． 根据图形表示出相关线段的长度，然后再利用长方形周长公式进行表示即可． 【详解】解：小长方形的长为， 则两块阴影部分长方形的宽的和为， 两块阴影部分长方形的长的和为， ∴两块阴影部分长方形的周长的和为， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 2025年全国普通高校毕业生规模预计约人．其中“”用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 先确定的值为，的值为7，求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若，则的补角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键． 根据补角的定义可知，的补角是，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴补角． 故答案为：． 13. 亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是_____． 【答案】两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短求解即可． 【详解】解：能解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 14. 如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 15. 点，，在同一条直线上，，，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，解题关键是熟练掌握分类讨论的数学思想解决问题． 分两种情况进行讨论：①点在点的左侧，②点在点的右侧，分别画出图形，根据线段之间的和差关系，求出答案即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图所示，点在点的左侧， ∵，， ∴； ②如图所示：点在点的右侧， ∵，， ∴； ∴的长为或． 故答案为：或． 16. 一个正整数，由个数字组成，若它的第一位数可以被整除，它的前两位数可以被整除，前三位数可以被整除，，一直到前位数可以被整除，则这样的数叫做“精巧数”（如：的第一位数“”可以被整除，前两位数“”可以被整除，“”可以被整除，则是一个“精巧数”）．若四位“精巧数”是，则满足条件的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数学常识，新定义问题，整除的概念，解答本题的关键是理解新定义的概念． 根据能被整除的数的特征，能被整除的数的特征，能被整除的数的特征，进行分析，即可求解． 【详解】解：由题意得是的倍数，是的倍数，是的倍数， 为使四位数最大，首位a应尽可能大，故取， 此时是的倍数， ∴的最大值可以取， ∵是的倍数， ∴是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，是的倍数， ∴的最大值可以取， ∵是的倍数， ∴其末两位数是4的倍数， ∴是4的倍数， ∴故c可能为2或6， 当时，，是的倍数； ∴的最大值可以取． ∴最大值为：． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，解一元一次方程，求一个数的绝对值等运算，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先进行乘方、绝对值和除法运算，再进行加减运算； （2）按照解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，再代入求值即可得到答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，求证．阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由． ∵，， ∴，， ∴， ∴（_________________________）， ∴， ∵， ∴（_________________________）， ∴_____， ∴． 【答案】同位角相等，两直线平行；；同角的补角相等； 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据同位角相等，两直线平行得，得到，由同角的补角相等得，推出，可得结论．掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵， ∴（同角的补角相等）， ∴， ∴． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；同角的补角相等；． 20. 如图，已知线段． （1）请用尺规按下列要求步骤作图（保留作图痕迹，不写作法： ①延长线段至点，使； ②延长线段至点，使； （2）在（1）的条件下，若，点是的中点，求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了线段的作图以及线段和差的计算，掌握解题的关键对相关知识的灵活运用． （1）以点为圆心，线段为半径画弧，即可确定；以点为圆心，线段为半径画弧，即可确定； （2）先画草图，由（1）的题目结合，得出的值，再根据求出，根据点是的中点求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，线段，为所求作的． 【小问2详解】 如图，根据题意作出点的位置， ∵， ∴，， ∴． ∵点为中点， ∴， ∴． 21. 某班级组织全班同学参观科技馆，已知票价每张元，该班级人数多于人．科技馆购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下： 人数优惠方案 人以上 方案一 全体人员打九折 方案二 先购买一张元年卡，凭年卡购买团体票每人可享八折优惠 经计算，班长发现两种方案所需支付的费用相同，求这个班级的人数． 【答案】人． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这个班级有人，方案一所需支付的费用为：元，方案二所需支付的费用为：元，根据两种方案所需支付的费用相同，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个班级有人， 由题意得： 解得： 答：这个班级有人． 22. 直线相交于点分别是的平分线． （1）求证：； （2）射线，在同一条直线上吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）在，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等，角平分线的性质，邻补角的定义，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据对顶角相等得出，根据角平分线的性质得出角之间的关系，即可得出结论； （2）根据邻补角的定义以及等量代换进行证明即可． 【小问1详解】 证明：直线相交于点， ， 平分平分， ， ； 【小问2详解】 解：射线在同一条直线上， 理由如下： ， ， ， ， 射线在同一条直线上． 23. 项目化学习数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图①是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）． 素材2 使用调节扣，改变此款单肩包背带长度，并分别测量双层部分的长度及对应的单层部分的长度，其部分数据如表： 双层部分的长度 单层部分的长度 素材3 此款单肩包的最佳背带总长度与身高比例为． 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立（如图②），此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图③），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的． 任务1 结合素材1和素材2知，当双层部分长度增加时，单层部分长度缩短_____cm．经调节，此款单肩包背带长度最长可调节至_____． 任务2 小明的身高为，当小明将此款单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求：①小明背此款单肩包的最佳背带总长度；②此时双层部分的长度． 任务3 求小明爸爸的身高． 【答案】任务1：，；任务2：①，②；任务3：． 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，能够理解题意并列出方程式解题的关键． （1）根据表格可以推出双层部分每增加，单层部分的长度缩短，再代入求解即可； （2）①根据单肩包的最佳背带总长度与身高比例为，求出身高为时最佳背带总长度即可；②设双层部分的长度为，根据（1）得双层部分每增加，单层部分的长度缩短，得出单层部分的长度为，根据等量关系列出方程求解即可； （3）先求出背带总长度调整到最短时的长度，再设小明爸爸身高为，然后根据题意找出等量关系求解即可． 【详解】解：任务1：通过表格可知，双层部分每增加，单层部分长度缩短， 可推出双层部分每增加，单层部分的长度缩短， 当双层部分长度为，即单层部分的长度最长可调节至； 任务2： ①∵单肩包的最佳背带总长度与身高比例为，小明的身高为， ∴单肩包最佳背带总长度为． ②设此时双层部分的长度为， 由题意得：， 解得． 答：①单肩包最佳背带总长度为；②此时双层部分的长度为． 任务3： 单肩包的背带总长度调整到最短为， 设小明爸爸身高为， 由题意得：， 解得， 答：小明爸爸的身高为． 24. 如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． （1）判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； （2）已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； （3）无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】（1）是 （2） （3）不正确，反例见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； 【小问3详解】 解：以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 25. 已知：，是上的点，是上的点，． （1）如图①，求证：； （2）如图②，点在的延长线上，其中，，射线以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时射线以每秒的速度绕点顺时针旋转．当射线首次与重合时，两条射线都停止运动．在整个运动过程中，设运动时间为．当时，求的度数； （3）如图③，作，的角平分线交于点，交于点，作的角平分线交于点，当，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，以及能够正确作出辅助线解决问题． （1）根据平行线的判定与性质证明即可； （2）由题意得：，当时，运动停止．由得，然后分两种情况，根据角的和差列方程求解即可； （3）由题意设，则，根据角平分线和平行线的性质得到，则，则，过点作，则，由平行线的传递性可得，则，则，即可求解比值． 【小问1详解】 证明：如图①， ； 【小问2详解】 解：由题意得：，当时，运动停止． 由得， ①当时， 解得， ②当时， 解得， 综上所述，的度数为或； 【小问3详解】 解： 设，则 平分， 平分 过点作 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $