专题02 平面向量及其应用中的最值范围问题（专项训练）数学北师大版必修第二册

专题02 平面向量及其应用中的最值范围问 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量线性运算中的最值范围问题 题型02向量数量积的最值范围问题 题型03向量模的最值范围问题 题型04向量夹角的最值范围问题 题型05解三角形中角的最值范围问题 题型06解三角形中边的最值范围问题 题型07解三角形中面积的最值范围问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01向量线性运算中的最值范围问题 1.若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 3.如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 题型02向量数量积的最值范围问题 4．已知向量，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.在边长为1的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是 A． B． C． D． 6.已知的三边长，，，P为边上任意一点，则的最大值为 . 7.在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 . 题型03向量模的最值范围问题 8.已知点和点，点为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．3 D． 9.中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 10.已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 . 11.已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 . 题型04向量夹角的最值范围问题 12.已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（    ） A． B． C． D． 13.在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 . 14.已知平面单位向量，满足.设，，向量，的夹角为，则的最大值是 . 题型05解三角形中角的最值范围问题 15．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 17．在中，若，则的取值范围为 . 题型06解三角形中边的最值范围问题 18．在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（    ） A．不存在最大值 B． C． D． 19．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20.如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 题型07解三角形中面积的最值范围问题 21．已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 22．在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 23.（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 4．已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 6．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ． 7．在中，三个内角的对边分别为，是钝角，，则的最大值是 . 8.（2020·全国II卷T17）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量及其应用中的最值范围问 目录 A题型建模・专项突破 题型01向量线性运算中的最值范围问题 题型02向量数量积的最值范围问题 题型03向量模的最值范围问题 题型04向量夹角的最值范围问题 题型05解三角形中角的最值范围问题 题型06解三角形中边的最值范围问题 题型07解三角形中面积的最值范围问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01向量线性运算中的最值范围问题 1.若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解析】由题意可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 则当时，取最小值. 故选：C 2.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】A 【解析】因为点D是线段BC上的动点（端点除外），且， 所以，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为16，故选：A 3.如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】  当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故AC错误； 当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故D错误，故选B. 题型02向量数量积的最值范围问题 4．已知向量，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，所以，所以， 所以，故选：C 5.在边长为1的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，. 设，则， 故，因为，故，故选C. 6.已知的三边长，，，P为边上任意一点，则的最大值为 . 【答案】9 【解析】根据题意，如图建立直角坐标系，    ∴ ，，∴ ， ，， ∴ ∴的最大值为. 7.在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，， ，， 当且仅当即时的最小值为. 题型03向量模的最值范围问题 8.已知点和点，点为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【解析】由题意可得：，则： ， 结合二次函数的性质可得，当时，，故选D. 9.中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】，故为的中点， ，故⊥，，，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为，故选C 10.已知是两个单位向量，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为是两个单位向量，且，所以，则， 又，当且仅当方向相反时，等号成立， ，当且仅当方向相同时，等号成立，所以. 11.已知，是两个互相垂直的单位向量，向量满足，，则对于任意的实数，的最小值是 . 【答案】 【解析】因为，是两个互相垂直的单位向量，所以可建立平面直角坐标系， 不妨设，. 设， 已知，，可得：， ，所以. . 根据向量模的计算公式：可得： 因为，所以，则，当且仅当时取等号. 题型04向量夹角的最值范围问题 12.已知向量，满足，，且，则，的夹角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，， ， 又因为， 所以，所以，的夹角的最小值为。故选：C 13.在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图，    则， 所以，即， 则， 当且仅当时取等号，此时. 14.已知平面单位向量，满足.设，，向量，的夹角为，则的最大值是 . 【答案】 【解析】，，， ， ∴当时，取得最小值， 则取得最大值，的最大值是. 题型05解三角形中角的最值范围问题 15．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设的三边对的三角分别为， 因为向量与向量垂直，可得， 即,可得，所以， 又因为，可得，即， 所以，可得， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 故选：A. 16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由正弦定理得， 所以.又因为， 所以， 所以，即.所以， ， 显然必为正，否则和都为负，就两个钝角， 所以， 当且仅当，即，取等号， 所以的最小值是， 故选：C. 17．在中，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由，得， 由正弦定理得，则，当且仅当时等号成立. 又，且余弦函数在上单调递减，则， 而正弦函数在上单调递增，因此， 所以的取值范围为. 题型06解三角形中边的最值范围问题 18．在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（    ） A．不存在最大值 B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，， ，， （其中，，）， ，，， 又，，，， ， ∴最大值为. 故选：. 19．记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 20.如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足. (1)求角的大小； (2)若且，求的取值范围. 【解】（1）解：因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. （2）解：因为，可得且， 由正弦定理得，可得， 则， 在锐角三角形中，可得 ，可得，可得， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为. 题型07解三角形中面积的最值范围问题 21．已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】已知，由正弦定理化简得：， 代入得： ，当且仅当“”时取等， 由余弦定理可得：，， 由同角三角函数关系可得：， 则面积. 故选：A 22．在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】解法1：设，则 在中，由正弦定理，故； 在中，由正弦定理，故； ，当，即时，面积最小值． 解法2：由角平分线性质可知，，所以有 ， 化简得：，即，当且仅当时，等号成立． 故而． 故选：D. 23.（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【解】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 1．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得， 又，所以. 故选：B 2．在中，是的中点，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】如图，由点O是BC的中点，得， 由三点共线，得，，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最小值2. 故选：B 3．在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为， 即，即， 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 4．已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】，， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是3． 故选：B． 5．如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】设，则， 令，得， 作出直线向上平移过点时，直线在轴上的截距最大， 此时取得最大值，， 即的最大值为5. 故选：C 6．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足，若，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，整理可得， 所以，因为，所以． 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为 ， 因为，则，所以， 所以，即周长的取值范围为． 7．在中，三个内角的对边分别为，是钝角，，则的最大值是 . 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， ∵是钝角，∴，则， 又∵为三角形内角，，∴， 因为在上单调递减， ∴，， ∴， ∵， ∴， 令，，设， 所以当时，函数取最大值，. 8.（2020·全国II卷T17）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $