专题01 平面向量数量积（专项训练）数学北师大版必修第二册

专题01 平面向量数量积（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型01 数量积的几何意义 题型02 数量积的运算律 题型03 向量的垂直关系 题型04 投影向量 题型05 向量夹角 题型06 向量的模 题型07 向量的数量积 题型08 数量积的最值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01 数量积的几何意义 1．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【解析】由，可得， 所以，即， 可得，所以，即， 又因为为平行四边形，所以四边形为矩形，故选C. 2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】因为正六棱柱的底面为边长为2，高为3，平面，所以，则，故选A. 3．在中，，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为，即， 所以在上的投影向量为，于是为钝角，故选C 题型02 数量积的运算律 4．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（　　） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【解析】以两向量公共点为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，，， 则， ， ， 所以. 故选：D 5．已知非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当且，则，但与不一定相等，故不能推出， 则“”是“”的不充分条件； 由，可得，则，即，所以可以推出， 故“”是“”的必要条件． 综上所述，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 6．设向量，满足，则 . 【答案】3 【解析】由题意得， 7.若平面向量与的夹角为， ， ，则 ． 【答案】 【解析】， 化简， 解得或（舍去）. 题型03 向量的垂直关系 8．已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：D 9．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以. 因为，所以， 所以，解得. 故选：D. 10．已知向量，，，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，所以，所以，解得. 故选：C. 11．已知平面向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】平面向量，，， 即. 故选：D. 12.已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【解析】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 题型04 投影向量 13．已知向量，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 因为，所以， 所以，即，解得， 所以向量在上的投影向量为. 故选:A. 14．已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因， 由可得， 则在方向上的投影向量是. 故选：A. 15．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 16．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，，， 所以，解得， 则在方向上的投影向量为. 故选：D 题型05 向量夹角 17．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】在上的投影向量的模等于， 又，所以， 因为， 所以或． 故选：D． 18．已知均为单位向量且满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得，即， 所以, 因为均为单位向量，所以. 所以， 而， 故， 故选：C. 19．已知向量满足：，且，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：D． 20．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即， 即，所以 又，， 所以， ， ， 所以. 故选：D. 21.已知，为单位向量，且，若，则 . 【答案】/ 【解析】因，，， 由， 而， 所以， 题型06 向量的模 22．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 23．已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 24．已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 【答案】A 【解析】由题意可得，，得，则， 所以，则. 故选：A. 25．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，且， 则，即，可得， 则，所以. 故选：A. 26．已知向量满足，且，则 【答案】 【解析】，， 又因为，所以，即， 所以． 题型07 向量的数量积 27．若向量满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选D. 28．已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，平方得：， 又，，是单位向量，则，故. 故选：C. 29．已知是边长为2的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】设 ，，则 ， 由 ，得： 所以， 由于，故 . 故选：B. 30．若非零向量、的夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】因为非零向量、的夹角为，且， 则. 题型08 数量积的最值问题 31．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 32．设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 故选：B 33.已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，，，， 由已知可得：， 当且仅当时，取等号， 当时，有，得， 当时，有，得， 所以当时，. 所以的最大值为. 34.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .    【答案】 【解析】正六边形的边长为2，则其半径为2，边心距为，则正六边形边上的点到其中心的距离，    因此 ， 所以的取值范围是. 1.（2024·新课标Ⅱ卷T3）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 又因为，所以，从而，故选：B. 2.（2023·全国乙卷T6）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解析】（基底法）以为基底向量，可知， 则， 所以； （坐标法）如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得，所以； （直接法）由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以.故选B. 3.（2023·全国甲卷T5）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，， 所以，故选B. 4.（2025·湖北·模拟预测）已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上的投影向量为，故选A. 5.已知△ABC中，，，．若D为边BC上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：，， ，故选C 6.（2025·全国二卷T12）已知平面向量若，则 【答案】 【解析】，因为，则， 则，解得.则，则. 7.（2022·全国甲卷T13）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 8.（2025·天津卷T15）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】； 【解析】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量数量积（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型01 数量积的几何意义 题型02 数量积的运算律 题型03 向量的垂直关系 题型04 投影向量 题型05 向量夹角 题型06 向量的模 题型07 向量的数量积 题型08 数量积的最值问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01 数量积的几何意义 1．平行四边形中，，则四边形是（   ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 2．已知正六棱柱的底面为边长为2，高为3，则集合中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．在中，，则一定是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 题型02 数量积的运算律 4．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（　　） A．0 B．3 C．6 D．12 5．已知非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设向量，满足，则 . 7.若平面向量与的夹角为， ， ，则 ． 题型03 向量的垂直关系 8．已知平面向量，若，则=（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，若，则实数（    ） 10．已知向量，，，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．1 11．已知平面向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 12.已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 题型04 投影向量 13．已知向量，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 14．已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 15．已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 16．已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 题型05 向量夹角 17．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D．或 18．已知均为单位向量且满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 19．已知向量满足：，且，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 20．向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 21.已知，为单位向量，且，若，则 . 题型06 向量的模 22．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 23．已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 24．已知向量.若，则（    ） A． B．5 C． D．45 25．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 26．已知向量满足，且，则 题型07 向量的数量积 27．若向量满足与的夹角为，则等于（   ） A． B． C． D． 28．已知平面上的三个单位向量，，，满足，则（   ） A． B． C． D． 29．已知是边长为2的等边三角形，点，满足，，则（   ） A． B．0 C．1 D． 30．若非零向量、的夹角为，且，则 ． 题型08 数量积的最值问题 31．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 32．设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 33.已知平面向量，，满足，，，则的最大值为 ． 34.如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .    1.（2024·新课标Ⅱ卷T3）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 2.（2023·全国乙卷T6）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 3.（2023·全国甲卷T5）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4.（2025·湖北·模拟预测）已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5.已知△ABC中，，，．若D为边BC上的动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（2025·全国二卷T12）已知平面向量若，则 7.（2022·全国甲卷T13）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 8.（2025·天津卷T15）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $