第2章平面向量及其应用（单元自测·提升卷）数学北师大版必修第二册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 2．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 5．在中，，则（   ） A． B． C． D． 6．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在中，为上一点，且平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 10．设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 11．已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，，若，则实数的值为 . 13.已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 14．在中，是边上的中线，且，的面积为，则 ， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）在中，内角A，B，C的对边分别为， (1)求角A的大小； (2)若，求的面积． 16．（本小题满分15分）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.    (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 17．（本小题满分15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 18．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 19．（本小题满分17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 2．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 5．在中，，则（   ） A． B． C． D． 6．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．在中，为上一点，且平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 10．设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 11．已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，，若，则实数的值为 . 13.已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 14．在中，是边上的中线，且，的面积为，则 ， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）在中，内角A，B，C的对边分别为， (1)求角A的大小； (2)若，求的面积． 16．（本小题满分15分）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.    (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 17．（本小题满分15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 18．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 19．（本小题满分17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B D A C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．4 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由及正弦定理， 得， 即， 又，，所以， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 所以， 又，所以，解得， 所以． 16．（本小题满分15分） 【解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得， 即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为120海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援. 17．（本小题满分15分） 【解】（1），， 根据正弦定理，得，即，，， ，，，又，. （2），，，根据余弦定理得,， ，， 在中，由正弦定理知，，， ，，， ，. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由题图知，， 所以最小正周期为， 所以． 又， 即，，得，， 又因为， 所以． 所以． （2）由（1）知， 所以． 由， 得． 因为是的内角， 所以， 所以，得． 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积为， 即的面积的最大值为． 19．（本小题满分17分） 【解】（1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选B. 2．已知菱形的边长为1，，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】如图： 因为菱形的边长为1，，所以是正三角形， 故，所以，故选A 3．已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以，故选B. 4．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为，故选D 5．在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理得，，即， 所以，故选A. 6．某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸，如图所示， 所以，其中，所以．故选：C． 7．已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则，故选：C 8．在中，为上一点，且平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则. 设，因为平分，所以， 因此有.，其中，由余弦定理可知： ①， ②， 由①，②可知，故，故选D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】选项A：若，则，即，故A错误； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：若，则，解得，即，故C正确； 选项D：若，则， 所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 10．设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BCD 【解析】A，由余弦定理可得为锐角， 但角度不确定，可为钝角三角形或直角三角形，A错误； B，由余弦定理可得到为钝角，故一定是钝角三角形，B正确； C，因为，由正弦定理可得，即， 又均为的内角，所以，一定为等边三角形，C正确； D，因为，由正弦定理可得，即， 所以，又均为的内角，所以， 即一定为等腰三角形，D正确；故选BCD 11．已知的外接圆圆心为，且，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以为的中点，所以为圆的直径，． 因为， 所以是等边三角形， 所以，，，． ，故A正确． ，故B错误． 设的中点为，则，为在上的投影向量，，故C正确． 因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，，若，则实数的值为 . 【答案】 【解析】由已知，则， 即， 又，则 13.已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【解析】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 14．在中，是边上的中线，且，的面积为，则 ， . 【答案】 2 【解析】因为是边上的中线，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即，所以 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）在中，内角A，B，C的对边分别为， (1)求角A的大小； (2)若，求的面积． 【解】（1）由及正弦定理， 得， 即， 又，，所以， 因为，所以； （2）由余弦定理，得， 所以， 又，所以，解得， 所以． 16．（本小题满分15分）海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.    (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 【解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得， 即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为120海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援. 17．（本小题满分15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 【解】（1），， 根据正弦定理，得，即，，， ，，，又，. （2），，，根据余弦定理得,， ，， 在中，由正弦定理知，，， ，，， ，. 18．（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 【解】（1）由题图知，， 所以最小正周期为， 所以． 又， 即，，得，， 又因为， 所以． 所以． （2）由（1）知， 所以． 由， 得． 因为是的内角， 所以， 所以，得． 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积为， 即的面积的最大值为． 19．（本小题满分17分）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【解】（1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $