第2章 平面向量及其应用（单元自测·基础卷）数学北师大版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D C D C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD AD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．2 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 16．（本小题满分15分） 【解】（1）， 又，所以， 则向量与的夹角； （2）设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由，得， 所以，又， 所以. （2）由题意知，，得， 由余弦定理，得， 即，由解得， 所以，由正弦定理得，即， 解得. 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 19．（本小题满分17分） 【解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设O是的外心，则是（   ） A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 【答案】C 【解析】因为是的外心，则有. 因为的方向不同，所以它们是模相等的向量，所以C正确. 对于A，因为它们的方向不同，所以不是相等向量，所以A错误； 对于B，因为它们不共线，所以不是平行向量，所以B错误； 对于D，因为的起点分别为，所以它们的起点不同，所以D错误； 故选：C. 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，与交于点，由题意得为的中点，    则.故选：C. 3．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【解析】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 4．已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知点，，，则 ， ，投影向量为， ，，所以.故选：C 5．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为向量， 所以. 因为，所以，解得.故选：D. 6．已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对两边平方，展开得：． 则，∴， ∵，∴， ∵，∴，故选：C． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由，可得， 又，，所以的面积为. 故选：B 8．已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 9个点的坐标为，，，，，，，，， 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值， 故的最大值为6. 经检验可知，当，，取其他坐标时，的值均不会超过6. 故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于选项A：，故选项A错误； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，故选项D正确， 故选：CD． 10．已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 【答案】AD 【解析】由向量，，则，故A正确； 由向量，，则， 又因为，即，故B错误； 由向量，则 ，故C错误； 由向量， 可得， 而，故D正确； 故选：AD. 11．已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】AB 【解析】对于，在中，设外接圆的半径为， 若，则，可得，所以，可知项正确； 对于B，由内角和定理得，故B项正确； 对于C，由得为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故C项错误； 对于D，若，则由正弦定理得，即， 可得或，所以是等腰或直角三角形，故D项错误． 故选：AB． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知，，，则点的坐标为 【答案】 【解析】设点，则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 13．在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【解析】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）.所以. 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 【解】（1）由平行四边形，可得; ，， ，即. （2）由（1），又， 所以， 所以三点共线. 16．（本小题满分15分）已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 【解】（1）， 又，所以， 则向量与的夹角； （2）设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 17．（本小题满分15分）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为，且，求． 【解】（1）由，得， 所以，又， 所以. （2）由题意知，，得， 由余弦定理，得， 即，由解得， 所以，由正弦定理得，即， 解得. 18．（本小题满分17分）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 19．（本小题满分17分）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【解】（1）解：因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）解：设外接圆的半径为， 由（1）知，因为，可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设O是的外心，则是（   ） A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 3．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 4．已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 6．已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 8．已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 10．已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 11．已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则是等腰三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知，，，则点的坐标为 13．在中，内角的对边分别为，若，则 ． 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 16．（本小题满分15分）已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 17．（本小题满分15分）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为，且，求． 18．（本小题满分17分）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 19．（本小题满分17分）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第2章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设O是的外心，则是（   ） A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 3．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 4．已知点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 6．已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 8．已知下图是一个边长为2的田字格（由4个边长为1的小正方形构成），田字格中有9个节点（如图加黑的9个点），，，为这9个点中均不相同的三个点，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）下列各式中结果为零向量的为（   ） A． B． C． D． 10．已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 11．已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则是等腰三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．已知，，，则点的坐标为 13．在中，内角的对边分别为，若，则 ． 14．已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）如图，在平行四边形中，.    (1)用向量，表示，； (2)若，证明：，，三点共线. 16．（本小题满分15分）已知点，向量. (1)求向量与的夹角； (2)若点在轴上，且，求点的坐标. 17．（本小题满分15分）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为，且，求． 18．（本小题满分17分）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 19．（本小题满分17分）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $