第三十四章 锐角三角函数（必备知识+8大题型+分层训练）（复习讲义）数学人教版五四制九年级下册

第三十四章 锐角三角函数（复习讲义） 1. 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会直角三角形边角之间的整体联系。 2. 能熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并准确运用。 3. 理解解直角三角形的方法：已知斜边求直边用正、余弦；已知直边求直边用正切；已知两边求边用勾股定理、求角用函数关系；已知锐角求另一锐角用互余关系；已知直边求斜边用正、余弦。 4. 能用三角函数解决实际问题，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含义并用于分析实际情境。 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二　求角的正弦值、余弦值、正切值 【例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，C，D都在格点（网格线的交点）上．若以为直径的圆经过点B和点C，则的值为 ． 【变式2-1】（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【变式2-2】（2025·四川绵阳·一模）如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为 ． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为 ． 【变式2-4】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，点为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则 ． 【变式2-5】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为 ； （2）若点F是的中点，则的值为 ． 题型三　已知正弦值、余弦值、正切值求边长 【例3】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，是的高．若，，，则边的长为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的弦，半径，，则弦的长为 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE交AB的延长线于点E，若，，则切线DE的长为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【变式3-4】（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则 ． 【变式3-5】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 题型四　特殊角的三角函数值的混合运算 【例4】（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）计算： (1) (2) 【变式4-2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 题型五　由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例5】（2025·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【变式5-1】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【变式5-2】在中，若，则是 ． 【变式5-3】在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 题型六　解直角三角形的相关计算 【例6】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 题型七　利用三角函数解决实际应用问题 【例7】（25-26九年级上·山东·阶段练习）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【变式7-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【变式7-2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【变式7-3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 题型八　利用三角函数解决特殊四边形中的综合问题 【例8】（2025·宁夏·模拟预测）在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积． 【变式8-1】（2025·浙江温州·三模）如图，在平行四边形中，连结，点是上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形为菱形． (2)记菱形的面积为，四边形的面积为．若，，．求的长． 【变式8-2】（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【变式8-3】（2025·湖北·三模）如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值； (3)【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，，，，则 ． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有 ． 9．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为 米（结果保留根号）． 10．（2025·安徽·模拟预测）在矩形中，，，E为线段上的动点，将三角形沿着折叠，使点B落在点F处．若三角形是以为腰的等腰三角形，线段的长为 ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)． 12．（25-26九年级上·山东济南·期中）在中，已知，，，求的面积． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． (1) (2) 14．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 15．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是边上的一点，连接，作点关于的对称点，连结． (1)线段的长为_____，的值为_____，的值为_____，的值为_____； (2)当点落在边上时，求的周长； (3)当时，请在备用图中补全这个图，并直接写出此时的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 2．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，过点P作的切线，点C为切点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 4．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D．3 二、填空题 5．（2020·广东潮州·一模）计算： ． 6．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 7．（2025·湖南·模拟预测）明朝李梦阳的《送人赴举》诗“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名‌‌．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图（a）是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图（b）是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．请聪明好学的你算出与地面所成的的正切值是 ． 8．（2024·河北·模拟预测）如图1，是篮口为正六边形的花篮简易图，，提手为总在同一平面内的折线，将提手转至与平行时，将花篮沿垂直水平面的方向纵切，其截面图如图2， 都与垂直，，，．(所有边均抽象为线段) （1） ； （2）将提手绕转至与正六边形篮口在同一平面上时，刚好落在上，其俯视图如图3，则的长度为 ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，，，点在边上，，过作，交延长线于点． (1)求的正弦值； (2)求的值． 10．（2025·江西抚州·二模）如图1，是某地度假中心的主体建筑，将其抽象为图2的五边形，测得，，，垂直于地面，，．（结果保留小数点后一位） (1)求的度数； (2)求该建筑的高度．（参考数据：，，） 11．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从处到处的距离．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 12．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）2025年春晚名为《秋》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节点与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 14．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，矩形中，已知．，点是射线上的一个动点，连接，射线交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为点，射线交直线于点． (1)如图1，若，求的值； (2)若是直角三角形，求的值； (3)若，求的正弦值． 15．（2025·江西南昌·二模）【特例感知】 在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G． （1）①如图①，若E，F分别是AB，AD的中点，则_________． ②如图②，若F是AD的中点，，则_________． 【类比探究】 在菱形ABCD中，，点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G． （2）①如图③，若E，F分别是AB，AD的中点，求的值； ②如图④，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图⑤，在四边形ABCD中，，且，E为AB的中点．若，请直接写出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十四章 锐角三角函数（复习讲义） 1. 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会直角三角形边角之间的整体联系。 2. 能熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并准确运用。 3. 理解解直角三角形的方法：已知斜边求直边用正、余弦；已知直边求直边用正切；已知两边求边用勾股定理、求角用函数关系；已知锐角求另一锐角用互余关系；已知直边求斜边用正、余弦。 4. 能用三角函数解决实际问题，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含义并用于分析实际情境。 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 【变式1-2】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正切的概念辨析、余弦的概念辨析、正弦的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 【变式1-3】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 题型二　求角的正弦值、余弦值、正切值 【例2】（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，C，D都在格点（网格线的交点）上．若以为直径的圆经过点B和点C，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，正弦的定义，勾股定理，先根据直径所对的圆周角为直角得出，再根据勾股定理得出，根据圆周角定理得出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：​． 【变式2-1】（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（2025·四川绵阳·一模）如图，与切于点A，与弦相交于点C，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，角的正切等知识．连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得，即， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海崇明·阶段练习）如图，在由正三角形构成的网格图中，A、B、C三点均在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据等边三角形的性质可得，然后设正三角形构成的网格线段长为，分别求出直角边，，然后根据勾股定理求出，最后根据三角函数定理即可求出． 【详解】解：由正三角形的性质可知， 设正三角形构成的网格线段长为， 在中，，， 根据勾股定理，可得， ， 故答案为：． 【变式2-4】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，点为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了中位线的性质，求角的正弦值，根据中位线的性质可得，进而求得，在中，根据正弦定义即可求解． 【详解】解：点、分别为、的中点， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【变式2-5】（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，，，垂足为D，点E是线段上一点（不与点C、D重合），连接并延长交于点F． （1）的长为 ； （2）若点F是的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】1）由勾股定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解； （2）过点作于点，则，证明是的中位线，得出，证明，求出，从而可得，再由正切的定义即可得解． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）如图，过点作于点， ， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 题型三　已知正弦值、余弦值、正切值求边长 【例3】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，是的高．若，，，则边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形与勾股定理．根据题意易求，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，是的弦，半径，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，作，得到，解求出的长即可得出结果． 【详解】解：作，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE交AB的延长线于点E，若，，则切线DE的长为 ． 【答案】 【分析】连接，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，即得，得到，进而得到，即可得，据此即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【变式3-4】（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法，几何图形面积与反比例系数的计算方法是关键． 如图所示，过点作轴于点，可证，，根据余弦值得到相似比，由此得到，求出的面积，根据，结合图象即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3-5】（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 题型四　特殊角的三角函数值的混合运算 【例4】（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键， （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式4-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解答本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值等知知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行特殊角的三角形函数值运算、算术平方根运算、零指数幂运算，再进行乘方和乘法运算，然后相加减即可； （2）首先进行负整数指数幂运算、特殊角的三角形函数值运算以及化简绝对值，再进行乘法运算，然后相加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型五　由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例5】（2025·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式5-1】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 【变式5-2】在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 【变式5-3】在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 题型六　解直角三角形的相关计算 【例6】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先求出，进而求出，设，则，列方程求出x值，即可求出结论． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ， ， ， ∵， 设，则， ， ， 设，则， ， ∵． ∴， 解得：， ， ． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形及相似三角形的性质与判定． （1）过D作于点E，由等腰三角形的性质可得，再结合求出，，最后根据求解即可； （2）过点B作于点F，则，得到，求出，，再证明，得到，最后根据求解． 【详解】（1）解：如图，过D作于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点B作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． （1）直接利用正弦函数的定义求解即可； （2）利用勾股定理求得的长，利用正切函数的定义求解即可； （3）作的平分线，作于点，证明，求得，，设，则，在中，由勾股定理得列式计算求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：作的平分线，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即， ∵， ∴， ∴． 题型七　利用三角函数解决实际应用问题 【例7】（25-26九年级上·山东·阶段练习）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算求出未知的线段与角； （1）由得到，在中，，，然后根据勾股定理即可计算出； （2）过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点作，在中求出、，在中求出，然后求出，在中求出，最后利用求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ∴， ∴， 即车架档的长为. （2）解：过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点，如图所示， ∵在中，，， ∴， 又∵由（1）得：， ∴在中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ 故车座点到车架档的距离为． 【变式7-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 【变式7-2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【答案】(1)的长度为283米 (2)王老师先到总校点，理由见解析 【分析】本题主要考查了方位角、等腰直角三角形、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键， （1）如图：过点作交于点，由题意得：米，米，易得是等腰直角三角形，则米，再利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得米，再求得，然后解直角三角形可得（米）、（米）；再根据时间、路程、速度的关系求得张老师、王老师所用的时间，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点， 由题意得：米，米， ， 是等腰直角三角形， 米， （米）． 答：的长度为283米． （2）解：， 米， 点在点的北偏东方向， ， （米），（米）， 张老师花费时间 王老师花费时间（分） 王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点． 【变式7-3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 题型八　利用三角函数解决特殊四边形中的综合问题 【例8】（2025·宁夏·模拟预测）在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)48 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠的性质得，；根据平行四边形的性质得，再证明四边形是平行四边形，运用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答即可． （2）根据平行四边形的性质得，，则，再运用勾股定理得，得出，，即可算出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形．理由如下： 根据折叠性质，得，； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平行四边形的周长为32， ∴，， ∵， ∴ 设，， 则， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得出四边形是矩形． 四边形的面积为． 【变式8-1】（2025·浙江温州·三模）如图，在平行四边形中，连结，点是上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形为菱形． (2)记菱形的面积为，四边形的面积为．若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定、全等三角形，勾股定理；灵活利用题干条件，根据面积公式、三角函数定义确定线段间的数量关系是解题的关键． （1）设交于点，根据，得出，即可得证； （2）根据，得出，进而求得，根据得出，勾股定理求得，则，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∵是上一点， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∵ ∴ ∴ 设， ∵，则 ∴ 解得：，即 中， ∴ ∴ 中， ∴，解得 ∴ ∴中，． 【变式8-2】（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形； （2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． ． 四边形是矩形， ． ， ． 在中，， 【变式8-3】（2025·湖北·三模）如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值； (3)【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得出，即可证明； （2）设，，，根据得出，即可求解； （3）过点B作交于点G，设，，得；先证出得；再证得出，，再结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，，， 由（1）知， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍）， ∴； （3）解：过点B作交于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知是锐角，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据60度角的余弦值为可得答案． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在中，，过点作，垂足为点，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三角函数定义逐项判断即可． 【详解】A、在中，，原结论错误，故此选项符合题意； B、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； C、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意； D、在中，，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，6个全等的小正方形放置在中，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，几何体的展开图，将求转化为求是解题的关键．由平行线的性质得出，再结合题意即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，，点P从点C出发，沿折线匀速运动，连接．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点函数图象问题、余弦，由图象可得当点P在起点时，，当点P与点B重合时最长为，此时，由勾股定理得，求得，从而可求出． 【详解】解：由图象可得当点P在起点C时，， 当点P与点B重合时最长为，此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理及余弦的定义，关键是求出直角三角形中的邻边的值． 先利用勾股定理求出的值，然后利用余弦的定义进行计算． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正弦三角函数的定义，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它所对的直角边与斜边的比，利用定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 6． 8．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，小明家住在米高的A楼里，小丽家住在B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为．如果A，B两楼相距米，那么A楼落在B楼上的影子有 ． 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，掌握相关知识是解决问题的关键．此题可根据楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过作于， ∴， 由题意， ∴， 米， 米． ∴米． 故答案为：米． 9．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）一段东西方向的海岸线上，小明从点测得灯塔位于北偏西方向，向东走300米到达点处，测得灯塔位于北偏西方向，点到灯塔的距离为 米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，过点A作于D，根据题意可求出，，解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， 由题意得，，，米， ∴， 在中，米， 在中，米， 故答案为：． 10．（2025·安徽·模拟预测）在矩形中，，，E为线段上的动点，将三角形沿着折叠，使点B落在点F处．若三角形是以为腰的等腰三角形，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】分为和，两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可． 【详解】当时，过点F作于点M，于点G， ∴四边形是矩形，， ∴， 根据折叠的性质，得， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，过点F作于点M，延长交于点N， ∴， ∴直线是矩形的对称轴， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则， ∴ 解得． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： （2）解： ． 12．（25-26九年级上·山东济南·期中）在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，三角形的面积，过点作于，由正弦的定义可得，即得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，是基础知识要熟练掌握． （1）先求出，再根据等角对等边，得，运用勾股定理进行求出，即可作答． （2）运用勾股定理进行求出，再根据的余弦值求出的度数，运用直角三角形的两个锐角互余求出，即可作答． 【详解】（1）解： ∴， 即 ∴ ， ∴（负值已舍去）， （2）解：∵， ， （负值已舍去）， ， ， ∴ ∴， 14．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 15．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是边上的一点，连接，作点关于的对称点，连结． (1)线段的长为_____，的值为_____，的值为_____，的值为_____； (2)当点落在边上时，求的周长； (3)当时，请在备用图中补全这个图，并直接写出此时的长． 【答案】(1)10，，，． (2)12 (3) 【分析】本题考查勾股定理，三角函数，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高与面积，掌握知识点是解题的关键． （1）求出， 根据三角函数的定义，即可解答； （2）推导出，得到，则，即可解答． （3）过点C作于点E，根据，求出，得到，继而推导出，则，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ， ，． 故答案为：10，，，． （2）如图所示 由题意，得 ， ∴， ∴， ∴． （3）如图所示，过点C作于点E， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）在中，，若的三边都放大倍，则的值（　　） A．缩小2倍 B．放大2倍 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．直接利用锐角的余弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴的邻边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 2．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，过点P作的切线，点C为切点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】此题考查的是切线的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．连接，根据切线的性质及三角函数的定义可得，得出，根据勾股定理得出，进而可得出答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线．若抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点记为，连接、，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质和求锐角的正切值，解题的关键是掌握二次函数的平移规则，即上加下减，左加右减 ．先根据抛物线的平移得到平移后的抛物线的表达式，并转换为顶点式，得到平移后抛物线的顶点的坐标，并计算出平移后的抛物线与轴交点坐标，过点作轴，则，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， 平移后的解析式为， 顶点的坐标为， 令，得， 解得：或， 点，， 过点作轴，则 ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题 5．（2020·广东潮州·一模）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 6．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 7．（2025·湖南·模拟预测）明朝李梦阳的《送人赴举》诗“宝剑动连星，金鞍别马鸣．持将五色笔，夺取锦标名．”这首诗鼓励考生们拿起五彩妙笔，在考试中取得理想的成绩，金榜题名‌‌．今有陈老师选用代表六合、六顺的正六边形“金榜题名”文具礼盒祝福孩子们妙笔生花，中考胜利！如图（a）是陈老师在中考前送给班内孩子们的单个正六边形文具礼盒，如图（b）是全班礼盒靠墙创意摆放的主视图．请聪明好学的你算出与地面所成的的正切值是 ． 【答案】 【分析】本题通过古今送考情境来考查解直角三角形及正多边形的综合应用，作出辅助线发现每个正六边形的规律是解题关键． 作于点H，根据正六边形求出相关边长即可． 【详解】解：设每个正六边形的边长为， 根据题意得：为等边三角形，则正六边形的半径为，边心距为， 作于点H，则可观察求得，    ， 在中，． 故答案为：． 8．（2024·河北·模拟预测）如图1，是篮口为正六边形的花篮简易图，，提手为总在同一平面内的折线，将提手转至与平行时，将花篮沿垂直水平面的方向纵切，其截面图如图2， 都与垂直，，，．(所有边均抽象为线段) （1） ； （2）将提手绕转至与正六边形篮口在同一平面上时，刚好落在上，其俯视图如图3，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式求得六边形的内角和，即可求得的度数； （2）过点作于点，过点作于点，求得，利用三角函数列方程，即可求得的值． 【详解】解：（1）六边形的内角和为， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ， 正六边形的每个内角为， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设， ， ，， ，即， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，，，点在边上，，过作，交延长线于点． (1)求的正弦值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）通过作辅助线 构造直角三角形，利用三角函数、勾股定理求出相关线段长度，再借助角的互余关系将 转化为可求的 ，进而利用正弦定义求解． （2）通过作 、、 等辅助线，结合三角形面积公式、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，推导 与 的比值． 【详解】（1）解：过作于，设． ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，过点作于点，过点作于点． 设，由（1）知， ，，，， ∴， ∴， 在中，， 即， ． ∴在中，， ∴ ． ∵ ，， ∴． ∴，即 ， 解得 ． 又∵ ，， ∴ ． ∴， 设 ，则 ，， ∴ ， 解得， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握这些知识点并灵活作辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 10．（2025·江西抚州·二模）如图1，是某地度假中心的主体建筑，将其抽象为图2的五边形，测得，，，垂直于地面，，．（结果保留小数点后一位） (1)求的度数； (2)求该建筑的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查多边形内角和公式、矩形的判定与性质以及三角函数的应用，解题关键在于∶利用多边形内角和公式求角度及作辅助线构造矩形和直角三角形． （1）由且可先得出和的度数，再根据多边形内角和公式(n边形内角和为，五边形内角用内角和减去已知的角，即可求出； （2）过点A作，过点E作，先根据矩形的判定和性质得到，再通过角度关系求出，最后利用三角函数求出，两者相加得到建筑高度 【详解】（1）解∶ ，垂直于地面， ． ，，． 在五边形中， 答：的度数． （2）(2)解∶ 过点A作，垂足为F，过点E作，垂足为G， ，， 四边形为矩形． ， ． ， ． ， ． 该建筑的高度为 答：该建筑的高度是． 11．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马．如图，妈妈位于游客中心的正北方向的处，其中．明明位于游客中心的西北方向的处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们在游客中心的北偏西方向的点处相遇． (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从处到处的距离．（参考数据：，，，，，结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正切函数求出的长，即路程，而速度等于路程除以时间，据此代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，进而解直角三角形求解即可． 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键。 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 12．（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交，于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，过点D作． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法和解直角三角形． （1）根据直角三角形两锐角互余可得，由作图得是的平分线，即可得结论； （2）由角平分线性质定理得，由求出，从而得． 【详解】（1）解：在中，， ， ∵， 由作图得是的平分线， ∴； （2）解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 13．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）2025年春晚名为《秋》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图②是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节点与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图②中，手绢端点在与舞者之间，机器人与舞者之间距离为，问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，正确添加辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）解直角三角形得出，再由同角的余角相等即可得解； （2）作于，则，由（1）可得：，解直角三角形得出，，从而即可得出此时手绢端点与舞者距离，结合题意判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∴, ∴， ∵与手臂保持垂直， ∴， ∴； （2）解：在规定范围内，理由如下： 如图，作于，则， ， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 14．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，矩形中，已知．，点是射线上的一个动点，连接，射线交射线于点．将沿直线翻折，点的对应点为点，射线交直线于点． (1)如图1，若，求的值； (2)若是直角三角形，求的值； (3)若，求的正弦值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由矩形的性质得到，，，则可证明，得到，据此求解即可； （2）分和两种情况，根据折叠的性质和勾股定理讨论求解即可； （3）分情况讨论，在线段上，或在延长线上，利用相似三角形的性质和勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2-1所示，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠的性质可得，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图2-2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ， ， 由折叠的性质可得， ∵， ， ， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得 ∴， ， ∴， ； ②如图，当点在的延长线上时， 由折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ，， ∴， ， ， ∴， 设为， ， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ， ， 综上：的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 15．（2025·江西南昌·二模）【特例感知】 在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF与AC相交于点G． （1）①如图①，若E，F分别是AB，AD的中点，则_________． ②如图②，若F是AD的中点，，则_________． 【类比探究】 在菱形ABCD中，，点E，F分别在AB，AD上，对角线AC，BD相交于点O，CF与BD相交于点M，连接EF交AC于点G． （2）①如图③，若E，F分别是AB，AD的中点，求的值； ②如图④，若，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图⑤，在四边形ABCD中，，且，E为AB的中点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）①3②（2）①②证明见解析（3）的值为 【分析】（1）①设与交于点，由四边形是正方形，得，，，，点分别是的中点，则，，，设，则， 则，然后通过即可求解； ②由四边形是正方形，则，，然后证明，故，又点是的中点，则，最后代入求值即可； （2）①由四边形是菱形，得，，，分别是 的中点，故有，，由勾股定理得，证明是等边三角形，是等边三角形，设 ，则，则，，，由勾股定理得： ，则，求出 ， 再代入即可； ②在的延长线上找一点，连接，使得，证明，则，再证明为等边三角形，则，则，从而求证； （3）过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，证明，则，设，，则， ，又点为的中点，所以，则，解出的值即可． 【详解】解：（1）①设与交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴ ∴， ∴，设，则 ∴， ， ∴ ②∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， . ∴， ∴， ∴ ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴ 故答案为：①3    ②． （2）①∵四边形是菱形， . 分别是的中点， ， ， ，即， ． ， ， 是等边三角形， ． 同理可得是等边三角形， ． 设，则， ， ， ． 由勾股定理得， ， ， ． ②证明：在的延长线上取一点，连接，使得，如图①． ， ，， ． 又， ， ． ， ， 为等边三角形， ， ，即． （3）的值为． （3）如图②，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． ， 四边形是平行四边形，， ， ． ． ． ， ， ． 设，则． 为的中点， ， ， 整理，得， ， ， 或（舍去）， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $