第三十五章 投影与视图（必备知识+4大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版五四制九年级下册

第三十五章 投影与视图 一、生活中的几何体 1．常见的几何体的分类 在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等． 2．点、线、面、体的关系 (1)点动成线，线动成面，面动成体； (2)面面相交成线，线线相交成点． 要点诠释：体体相交可成点，不一定成线． 3．基本几何体的展开图 (1)正方体的展开图是六个正方形； (2)棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形； (3)圆锥的展开图是一个圆和一个扇形； (4)圆柱的展开图是两个圆和一个长方形． 二、投影 1．投影 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面． 2．平行投影和中心投影 由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影． 3．正投影 投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影． 要点诠释：正投影是平行投影的一种． 4.灯光下的影子与太阳光下的影子的区别 （一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例. （二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一定. （三）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光 三、物体的三视图 1．物体的视图 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图． 我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面． 一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图． 要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象． 2．画三视图的要求 (1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图． (2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等． 要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 3.常见几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 4.由视图到立体图形 由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方向的视图只能了解物体的部分信息.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体，根据视图只能描述物体的形状. 注意 三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息. （一）主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状. （二）左视图：由左视图可以分清物体的高和宽. （三）俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽. 易错01 误解平行投影与中心投影 一、 核心易错点 1. 概念混淆：误将平行投影（如太阳光照射）与中心投影（如灯光照射）的投影特征混为一谈，认为所有投影的形状、大小都与原物体一致。 2. 性质误用：在解题时错误套用两类投影的性质，比如用中心投影的“物高与影长不成固定比例”来分析平行投影问题，反之亦然。 3. 场景判断失误：无法根据题目给出的投影现象准确判断属于哪类投影，尤其在无明确光源提示的复杂情境中容易出错。 二、 方法总结 1. 概念区分法（抓本质） 对比维度 平行投影 中心投影 光源特征 平行光线（如太阳光） 点光源（如灯泡、手电筒） 投影性质 同一时刻、同一地点，物高与影长成正比 物高与影长不成固定比例，物体离光源越近，影子越大 图形特点 投影与原物体的形状、大小相似（特殊情况全等） 投影与原物体可能相似，也可能变形 2. 解题步骤法（三步走） 1. 判类型：根据题干中的光源描述或投影现象，判定是平行投影还是中心投影； 2. 套性质：针对投影类型，套用对应的性质分析问题，比如平行投影优先用“物高/影长=定值”计算，中心投影优先找“光源、物体顶端、影子顶端三点共线”； 3. 验结果：结合实际场景验证答案合理性，比如平行投影的影子方向在同一时刻是一致的，中心投影的影子方向则各不相同。 3. 易错规避法 - 牢记特殊案例：平行投影中，当物体与光线垂直时，影子最短；中心投影中，物体离点光源越近，影子越长。 - 画图辅助分析：遇到投影问题时，通过绘制光源、物体、影子的示意图，直观呈现三者位置关系，减少概念误解。 例1：（25-26七年级上·福建泉州·月考）日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 易错02 投影计算时忽略物体与投影面的位置关系 一、核心易错点 1. 默认平行放置：计算投影长度时，想当然认为物体与投影面平行，忽略垂直、倾斜等位置关系，导致直接用物体实际长度当作投影长度。 2. 性质套用错误：将“物体平行于投影面时投影与原物全等/相似”的性质，错误套用到物体倾斜或垂直于投影面的情况中。 3. 三维转二维失误：处理立体图形投影问题时，未考虑不同摆放角度下各面与投影面的位置差异，导致漏算、错算投影形状和尺寸。 二、方法总结 1. 位置关系分类法（分情况讨论） 物体与投影面位置关系 平行投影特征 计算关键 平行 投影与物体的形状、大小一致（平面图形）或相似（立体图形） 直接利用物体实际尺寸计算 倾斜 投影为原物体的“压缩版”，长度小于实际长度 结合倾斜角度，用三角函数（ ）计算投影长度 垂直 平面图形投影缩为一条线段；立体图形投影为某一截面轮廓 确定投影线段的长度或截面的尺寸 2. 解题四步法（规范流程） 1. 定位置：审题时先明确物体与投影面的位置关系（平行/倾斜/垂直），无明确说明时需分情况讨论； 2. 选公式：根据位置关系选择对应计算方法，倾斜状态优先用三角函数，垂直状态重点分析投影轮廓； 3. 画简图：绘制物体、光线、投影面的位置示意图，标注角度、长度等已知条件，直观梳理关系； 4. 验合理性：计算后验证结果，比如倾斜时投影长度一定小于物体实际长度，垂直时投影不会呈现物体完整形状。 3. 易错规避法 - 标注位置关键词：解题时圈出“垂直于”“平行于”“倾斜放置”等描述位置的词汇，提醒自己不可默认平行； - 立体转平面拆解：处理长方体、圆柱等立体图形投影时，将其拆解为不同的面，分别分析每个面与投影面的位置关系，再整合投影结果。 例2：（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（   ）    A． B． C． D．以上都不对 易错03 混淆三种视图的观察方向 一、 核心易错点 1. 观察方向混淆：误将主视图的“从正面看”、左视图的“从左面看”、俯视图的“从上面看”的观察角度弄混，比如把左视图当成从右边观察的结果。 2. 方向对应失误：绘制或判断视图时，未遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，出现主视图与俯视图长度不匹配、主视图与左视图高度不一致的问题。 3. 遮挡部分漏标：观察立体图形时，忽略被遮挡的棱或面，绘制视图时未用虚线标注，导致视图无法准确反映立体结构。 二、 方法总结 1. 观察方向定位法（精准辨方向） 视图类型 观察方向 核心特征 主视图 从正面水平观察 反映物体的长和高 左视图 从左面水平观察 反映物体的宽和高 俯视图 从上面垂直向下观察 反映物体的长和宽 2. 解题绘图三步法（规范操作） 1. 定角度：审题时明确要判断或绘制的视图类型，确定对应的观察方向，可在立体图形旁标注箭头提示； 2. 遵规律：严格按照“长对正（主、俯视图长相等）、高平齐（主、左视图高相等）、宽相等（左、俯视图宽相等）”的原则，对齐视图的尺寸； 3. 标虚实：看得见的棱用实线绘制，被遮挡的棱用虚线绘制，确保视图的准确性。 3. 易错规避法 - 口诀记忆法：记牢“正面看长高，左面看宽高，上面看长宽，虚实分清楚”，快速匹配视图与观察方向的对应关系； - 实物辅助法：用长方体、正方体等教具实际观察，直观感受不同方向看到的图形差异，加深对观察方向的理解； - 对比纠错法：收集常见的错误视图案例，对比正确视图分析偏差原因，强化对观察方向的判断能力。 例3：（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 易错04 画三视图忽略虚实线规则 一、 核心易错点 1. 虚实混淆：将看不见的被遮挡棱画成实线，或将看得见的棱画成虚线，违背三视图的虚实标注规则。 2. 漏标虚线：绘制立体图形（如空心圆柱、带凹槽的正方体）的三视图时，忽略内部或被遮挡的棱，未用虚线标注，导致视图无法准确反映立体结构。 3. 过度标注：将所有棱都标注为实线或虚线，比如把视图中本就可见的棱额外画成虚线，造成视图混乱。 二、 方法总结 1. 虚实线判定规则（核心原则） 线条类型 适用情况 绘制要求 实线 从观察方向能直接看到的棱、轮廓线 用粗实线清晰绘制，无遗漏 虚线 从观察方向看不见但实际存在的被遮挡棱、轮廓线 用细虚线绘制，线条连贯，不省略关键棱 2. 绘图四步法（规避漏标、错标） 1. 定视角：明确绘制的是主视图、左视图还是俯视图，确定对应的观察方向。 2. 辨可见性：站在对应视角，逐一判断立体图形的每条棱是否可见，标记出“可见棱”和“被遮挡棱”。 3. 按规则画：可见棱画实线，被遮挡棱画虚线，确保虚实线区分清晰，不混淆。 4. 检查补漏：对照立体图形，检查是否有遗漏的被遮挡棱，尤其关注内部结构、凹槽、孔洞等易忽略的部分。 3. 易错规避技巧 - 口诀记忆：牢记“看得见的画实线，看不见的画虚线”，绘图时反复默念提醒自己。 - 立体拆解法：复杂立体图形可拆解为简单几何体（正方体、圆柱等）的组合，分别分析每个几何体的虚实线，再整合视图。 例4：（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列各种现象不属于中心投影的是（ ） A．中午用来乘凉的树影 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．陕西皮影戏中的影子 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）一个几何体如图所示，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的左视图为（　　）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子最合理的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·月考）太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影的长是，则皮球的直径长是（   ）    A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．正方形 7．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，一块三角板与投影面平行放置，测得，，边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列现象属于中心投影的是 （填序号）    9．（24-25七年级上·河南新乡·月考）小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有 盒． 10．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 三、解答题 11．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，木杆甲在灯光下的影长为，在同一灯光下木杆乙的影长为． (1)请画出光源O的位置； (2)请画出表示小树在光源O下的影长的线段． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块组成； (2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图． 13．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）已知直三棱柱的三视图如图所示．若，，，，求该直三棱柱的侧面积． 15．（25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 16．（22-23九年级上·山西太原·期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①若木杆的长为，则其影子的长为___________； ②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段： (2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点； ②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为___________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十五章 投影与视图 一、生活中的几何体 1．常见的几何体的分类 在丰富多彩的图形世界中，我们常见的几何体有长方体、正方体、棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体、球体、台体等． 2．点、线、面、体的关系 (1)点动成线，线动成面，面动成体； (2)面面相交成线，线线相交成点． 要点诠释：体体相交可成点，不一定成线． 3．基本几何体的展开图 (1)正方体的展开图是六个正方形； (2)棱柱的展开图是两个多边形和一个长方形； (3)圆锥的展开图是一个圆和一个扇形； (4)圆柱的展开图是两个圆和一个长方形． 二、投影 1．投影 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在平面叫做投影面． 2．平行投影和中心投影 由平行光线形成的投影是平行投影；由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影． 3．正投影 投影线垂直投影面产生的投影叫做正投影． 要点诠释：正投影是平行投影的一种． 4.灯光下的影子与太阳光下的影子的区别 （一）太阳光线是平行的，太阳光下的影子与物体的高度成比例；灯光光线是发散的，灯光下的影子与物体的高度不成比例. （二）同一时刻，太阳光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子都在同一方向，而灯光下的影子则不一定. （三）灯光是从一点发出的，所有物体的顶端和影子的顶端所直线必过发光点；而太阳光是平行光 三、物体的三视图 1．物体的视图 当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的视图． 我们用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右边的叫做侧面． 一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图． 要点诠释：三视图就是我们从三个方向看物体所得到的3个图象． 2．画三视图的要求 (1)位置的规定：主视图下方是俯视图，主视图右边是左视图． (2)长度的规定：长对正，高平齐，宽相等． 要点诠释：主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽． 3.常见几何体的三视图 视图 几何体 主视图 左视图 俯视图 4.由视图到立体图形 由视图现象实物时不像由实物到视图那样唯一确定，要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方向的视图只能了解物体的部分信息.由一个视图往往可以想象出多种形状的物体，根据视图只能描述物体的形状. 注意 三个视图的作用：由视图描述物体的形状，三个视图可以提供不同的信息. （一）主视图：由主视图可以分清物体的长和高，主要提供正面的形状. （二）左视图：由左视图可以分清物体的高和宽. （三）俯视图：由俯视图看不出高度，这一点认识很重要.由俯视图可以分清物体的长和宽. 易错01 误解平行投影与中心投影 一、 核心易错点 1. 概念混淆：误将平行投影（如太阳光照射）与中心投影（如灯光照射）的投影特征混为一谈，认为所有投影的形状、大小都与原物体一致。 2. 性质误用：在解题时错误套用两类投影的性质，比如用中心投影的“物高与影长不成固定比例”来分析平行投影问题，反之亦然。 3. 场景判断失误：无法根据题目给出的投影现象准确判断属于哪类投影，尤其在无明确光源提示的复杂情境中容易出错。 二、 方法总结 1. 概念区分法（抓本质） 对比维度 平行投影 中心投影 光源特征 平行光线（如太阳光） 点光源（如灯泡、手电筒） 投影性质 同一时刻、同一地点，物高与影长成正比 物高与影长不成固定比例，物体离光源越近，影子越大 图形特点 投影与原物体的形状、大小相似（特殊情况全等） 投影与原物体可能相似，也可能变形 2. 解题步骤法（三步走） 1. 判类型：根据题干中的光源描述或投影现象，判定是平行投影还是中心投影； 2. 套性质：针对投影类型，套用对应的性质分析问题，比如平行投影优先用“物高/影长=定值”计算，中心投影优先找“光源、物体顶端、影子顶端三点共线”； 3. 验结果：结合实际场景验证答案合理性，比如平行投影的影子方向在同一时刻是一致的，中心投影的影子方向则各不相同。 3. 易错规避法 - 牢记特殊案例：平行投影中，当物体与光线垂直时，影子最短；中心投影中，物体离点光源越近，影子越长。 - 画图辅助分析：遇到投影问题时，通过绘制光源、物体、影子的示意图，直观呈现三者位置关系，减少概念误解。 例1：（25-26七年级上·福建泉州·月考）日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．根据中心投影的定义：把光由一点向外发散形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【详解】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． 易错02 投影计算时忽略物体与投影面的位置关系 一、核心易错点 1. 默认平行放置：计算投影长度时，想当然认为物体与投影面平行，忽略垂直、倾斜等位置关系，导致直接用物体实际长度当作投影长度。 2. 性质套用错误：将“物体平行于投影面时投影与原物全等/相似”的性质，错误套用到物体倾斜或垂直于投影面的情况中。 3. 三维转二维失误：处理立体图形投影问题时，未考虑不同摆放角度下各面与投影面的位置差异，导致漏算、错算投影形状和尺寸。 二、方法总结 1. 位置关系分类法（分情况讨论） 物体与投影面位置关系 平行投影特征 计算关键 平行 投影与物体的形状、大小一致（平面图形）或相似（立体图形） 直接利用物体实际尺寸计算 倾斜 投影为原物体的“压缩版”，长度小于实际长度 结合倾斜角度，用三角函数（ ）计算投影长度 垂直 平面图形投影缩为一条线段；立体图形投影为某一截面轮廓 确定投影线段的长度或截面的尺寸 2. 解题四步法（规范流程） 1. 定位置：审题时先明确物体与投影面的位置关系（平行/倾斜/垂直），无明确说明时需分情况讨论； 2. 选公式：根据位置关系选择对应计算方法，倾斜状态优先用三角函数，垂直状态重点分析投影轮廓； 3. 画简图：绘制物体、光线、投影面的位置示意图，标注角度、长度等已知条件，直观梳理关系； 4. 验合理性：计算后验证结果，比如倾斜时投影长度一定小于物体实际长度，垂直时投影不会呈现物体完整形状。 3. 易错规避法 - 标注位置关键词：解题时圈出“垂直于”“平行于”“倾斜放置”等描述位置的词汇，提醒自己不可默认平行； - 立体转平面拆解：处理长方体、圆柱等立体图形投影时，将其拆解为不同的面，分别分析每个面与投影面的位置关系，再整合投影结果。 例2：（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（   ）    A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，正投影，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点，    ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为， 故选：B． 易错03 混淆三种视图的观察方向 一、 核心易错点 1. 观察方向混淆：误将主视图的“从正面看”、左视图的“从左面看”、俯视图的“从上面看”的观察角度弄混，比如把左视图当成从右边观察的结果。 2. 方向对应失误：绘制或判断视图时，未遵循“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，出现主视图与俯视图长度不匹配、主视图与左视图高度不一致的问题。 3. 遮挡部分漏标：观察立体图形时，忽略被遮挡的棱或面，绘制视图时未用虚线标注，导致视图无法准确反映立体结构。 二、 方法总结 1. 观察方向定位法（精准辨方向） 视图类型 观察方向 核心特征 主视图 从正面水平观察 反映物体的长和高 左视图 从左面水平观察 反映物体的宽和高 俯视图 从上面垂直向下观察 反映物体的长和宽 2. 解题绘图三步法（规范操作） 1. 定角度：审题时明确要判断或绘制的视图类型，确定对应的观察方向，可在立体图形旁标注箭头提示； 2. 遵规律：严格按照“长对正（主、俯视图长相等）、高平齐（主、左视图高相等）、宽相等（左、俯视图宽相等）”的原则，对齐视图的尺寸； 3. 标虚实：看得见的棱用实线绘制，被遮挡的棱用虚线绘制，确保视图的准确性。 3. 易错规避法 - 口诀记忆法：记牢“正面看长高，左面看宽高，上面看长宽，虚实分清楚”，快速匹配视图与观察方向的对应关系； - 实物辅助法：用长方体、正方体等教具实际观察，直观感受不同方向看到的图形差异，加深对观察方向的理解； - 对比纠错法：收集常见的错误视图案例，对比正确视图分析偏差原因，强化对观察方向的判断能力。 例3：（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图所示的几何体的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，且能够看到的线用实线，看不到的线用虚线画出是解题关键．根据主视图是从正面看到的图形判断即可． 【详解】解：如图所示的几何体的主视图为： 故选：A． 易错04 画三视图忽略虚实线规则 一、 核心易错点 1. 虚实混淆：将看不见的被遮挡棱画成实线，或将看得见的棱画成虚线，违背三视图的虚实标注规则。 2. 漏标虚线：绘制立体图形（如空心圆柱、带凹槽的正方体）的三视图时，忽略内部或被遮挡的棱，未用虚线标注，导致视图无法准确反映立体结构。 3. 过度标注：将所有棱都标注为实线或虚线，比如把视图中本就可见的棱额外画成虚线，造成视图混乱。 二、 方法总结 1. 虚实线判定规则（核心原则） 线条类型 适用情况 绘制要求 实线 从观察方向能直接看到的棱、轮廓线 用粗实线清晰绘制，无遗漏 虚线 从观察方向看不见但实际存在的被遮挡棱、轮廓线 用细虚线绘制，线条连贯，不省略关键棱 2. 绘图四步法（规避漏标、错标） 1. 定视角：明确绘制的是主视图、左视图还是俯视图，确定对应的观察方向。 2. 辨可见性：站在对应视角，逐一判断立体图形的每条棱是否可见，标记出“可见棱”和“被遮挡棱”。 3. 按规则画：可见棱画实线，被遮挡棱画虚线，确保虚实线区分清晰，不混淆。 4. 检查补漏：对照立体图形，检查是否有遗漏的被遮挡棱，尤其关注内部结构、凹槽、孔洞等易忽略的部分。 3. 易错规避技巧 - 口诀记忆：牢记“看得见的画实线，看不见的画虚线”，绘图时反复默念提醒自己。 - 立体拆解法：复杂立体图形可拆解为简单几何体（正方体、圆柱等）的组合，分别分析每个几何体的虚实线，再整合视图。 例4：（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了作几何体的三视图，通过从正面、侧面和上方三个不同角度观察几何体，绘制相应的视图即可 【详解】解：三视图如图所示： 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列各种现象不属于中心投影的是（ ） A．中午用来乘凉的树影 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．陕西皮影戏中的影子 【答案】A 【分析】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影，平行投影的定义．根据中心投影，平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中午用来乘凉的树影是平行投影； 晚上在房间内墙上的手影，都市霓虹灯形成的影子，陕西皮影戏中的影子都是中心投影． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）一个几何体如图所示，其俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对三视图中俯视图概念的理解和应用．解题关键在于明确俯视图的观察方向是从上往下看．准确判断从上方观察该几何体时能看到的轮廓和线条特征．通过主视图确认几何体主要特征，然后找出选项中符合该几何体俯视图特征的图形即可． 【详解】解：从上方观察该几何体，其整体轮廓呈现为一个长方形． 由于几何体中间有一个向下凹陷的部分（类似“V”形缺口），在俯视图中，这个凹陷部分会表现为三条线段（代表凹陷处的轮廓）． 综合以上两点，符合条件的视图是选项D，即一个长方形中间有三条线段表示凹陷部分． 综上，答案是D． 3．（25-26九年级上·河北保定·期中）榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的左视图为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图．根据左视图的定义，结合图形判断即可，实物中存在的线条，视图中无法看到的用虚线表示． 【详解】 解：卯的左视图为． 故选：C． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在灯光下，灯光与物体在地面上的影子最合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 【详解】解：∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体在地面上的影子最合理的是， 故选：． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·月考）太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影的长是，则皮球的直径长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，平行投影，熟练掌握这些性质是解题的关键．如图，太阳光线与相切于、，过作于，连接、，，，先证为的直径，易得四边形为矩形，得，然后在中，利用含角的直角三角形的性质计算出，即可求解． 【详解】解：如图，太阳光线与相切于、，过作于，连接、，，，    ∵太阳光线与相切于、， ∴，， 而， ∴， ∴点、、共线，即为的直径， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 即皮球的直径长为， 故选：B． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行投影的应用，解题的关键是熟练掌握平行投影的概念． 同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，根据圆形物体在阳光下的投影，可知在地面上所形成的影子的形状不可能是哪种图形． 【详解】解：当硬币与光线平行时，投影是线段；当硬币面与光线垂直时，投影是圆；其余都是椭圆， 故选：D． 7．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，一块三角板与投影面平行放置，测得，，边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换、中心投影，中心投影得到的阴影与原图形是位似图形，两个位似图形的位似比等于它们的对应边的比，根据、，可得位似比为，因为，所以边的中心投影的长为． 【详解】解：三角板与阴影是位似图形， 它们的位似比为， ， 解得：． 故选： B． 二、填空题 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列现象属于中心投影的是 （填序号）    【答案】②③ 【分析】本题需要理解中心投影的概念，并根据定义判断哪些现象属于中心投影；中心投影是指所有光线从一个点发出，投射到平面上形成影子的现象． 逐一分析每个现象，由此得到答案． 【详解】①沙漠中一棵小树的影子，太阳光近似平行光， 不符合中心投影定义； ②皮影戏，光线从一个点发出，投射到屏幕上形成影子，符合中心投影定义； ③手影，光线从一个点发出，投射到墙上形成影子，符合中心投影定义； ④日晷，利用太阳光的平行光束，不符合中心投影定义． 故答案为：②③． 9．（24-25七年级上·河南新乡·月考）小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面至少有 盒． 【答案】 【分析】本题考查三视图，掌握三视图是从三个方向观察物体是解题的关键； 根据题中的主视图、左视图、俯视图，分别得出第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，进而即可得出答案． 【详解】解：根据题意得第一层有盒，第二层最少有盒，第三层最少有盒，所以至少共有盒． 故答案为：． 10．（2023·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 三、解答题 11．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，木杆甲在灯光下的影长为，在同一灯光下木杆乙的影长为． (1)请画出光源O的位置； (2)请画出表示小树在光源O下的影长的线段． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据木杆甲和乙的影子即可求出光源O的位置； （2）根据投影的性质作图即可． 【详解】（1）解：光源的位置如图所示． （2）解：即表示小树在光源下的影长的线段． 【点睛】本题考查中心投影的性质，解题的关键是理解中心投影的性质． 12．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图是由若干个相同的小立方块组成的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块组成； (2)画出从上面、左面观察所看到的几何体的形状图． 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】本题考查了作图－三视图，掌握从不同方向观察到的图形的形状是解题的关键． （1）根据图形即可得到结论． （2）根据三视图的定义即可得到结论． 【详解】（1）根据图形，可知这个几何体由6个小立方块组成． （2）如图所示． 13．（25-26九年级上·甘肃张掖·月考）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据三视图的定义去判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如下： ． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）已知直三棱柱的三视图如图所示．若，，，，求该直三棱柱的侧面积． 【答案】该直三棱柱的侧面积为 【分析】本题考查了直三棱柱的三视图、性质、侧面积，解直角三角形等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于点，由题意得，在中，，所以在中，，设，，则，求出以及、的长，然后求出直三棱柱的侧面积即可． 【详解】解：过点作于点， ， ， ，在中，， 在中，， 设，， 则， ， ， ，， 该直三棱柱的侧面积为． 15．（25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影；（2）见解析；（3）的长为；（4）这棵树高 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 【详解】解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于， 如图所示，就是的投影． （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 16．（22-23九年级上·山西太原·期末）小彬做了探究物体投影规律的实验，并提出了一些数学问题请你解答： (1)如图1，白天在阳光下，小彬将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①若木杆的长为，则其影子的长为___________； ②在同一时刻同一地点，将另一根木杆直立于地面，请画出表示此时木杆在地面上影子的线段： (2)如图2，夜晚在路灯下，小桃将木杆水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段． ①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点； ②若木杆的长为，经测量木杆距离地面，其影子的长为，则路灯距离地面的高度为___________． 【答案】(1)①；②见解析； (2)①见解析；② 【分析】（1）①根据题意证得四边形为平行四边形，从而求得结论； ②根据平行投影的特点作图：过木杆的顶点作太阳光线的平行线； （2）①分别过影子的端点及其线段的相应的端点作射线，两条射线的交点即为光源的位置； ②根据，可证得，利用相似三角形对应高的比等于相似比即可求得结论. 【详解】（1）①根据题意：，， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②如图所示，线段即为所求； （2）①如图所示，点即为所求； ②过点作分别交、于点、 ∵ ∴ ，， 解得：， 路灯距离地面的高度为米. 【点睛】本题考查平行投影问题以及相似三角形的判定和性质，平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $