培优04 锐角三角函数章末12题型归类（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

培优04 锐角三角函数章末12种题型归类 题型1 求角的锐角三角函数值 求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查锐角三角函数，勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，由勾股定理及逆定理可证明为等腰直角三角形，则题目可求． 【详解】解：连接，由勾股定理得： ， ∴， ，且， ∴． 故答案为：．    2．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，交于点，根据折叠的性质可知为的中点，，又因为点是的中点，可知是的中位线，利用中位线的性质，可得：，根据相似三角形的性质结合，可知与的相似比为，设，则，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据中位线的性质定理可得，从而可得：，利用勾股定理可以求出，根据正弦的定义即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接，交于点， 将沿折叠得到， 为的中点，且， 是斜边的中点， ，， ， ， 与的相似比为， 设，则， ，， 在中，是斜边的中点， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，轴对称，相似三角形，勾股定理的应用，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找边之间的关系，把边长用含的代数式表示出来，再根据正弦的定义求解． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值是 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理，三角函数．先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处， ∴，， 在中， ∴， ∴， 设，则 在中，∵， ∴，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（18-19九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，且， ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数的比例系数的几何意义及三角函数，解题的关键是证，利用相似和勾股定理求 ． 作辅助线构造直角三角形，通过角的关系证．利用反比例函数的几何意义，结合相似三角形面积比与相似比的关系，得出的值．设、的表达式，用勾股定理求，最后依据三角函数定义算出 ． 【详解】过作轴于，过作轴于． ∵， ∴， ∵， ∴． 且， ∴． 设，，在上，在上， ∴，． ∴， ∴， 设，． 在中， 根据勾股定理． ∴ ． 故答案为：． 5．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了七巧板问题，正方形的判定和性质，三角函数． 在图1中连接，证明四边形是正方形，得到，，在图2中可得，，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图1，连接， 由七巧板可知，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，， 如图2，连接、，则， ∴， 由七巧板可知，， 则， ∴． 故答案为：． 题型2 已知锐角三角函数值求边长 6．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆．根据正六边形、正八边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为F， ∵是正六边形的外角， ∴， ∵是正八边形的外角， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴正六边形的边长为． 故答案为：． 7．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义可得，进而可得，；如图：过B作于G，运用勾股定理可得等面积法和勾股定理可得、，再根据等面积法可得，即，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，即，解得：， ∴， ∴， 如图：过B作于G， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高相等， ∴， 如图：过D作， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知在中，，，，点是的重心，那么点到斜边的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 过重心点作，交于点，过点作，交于点，利用锐角三角函数比求出直角边长度，然后利用勾股定理求出斜边长度，最后利用相似三角形的判定和性质及三角形重心的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过重心点作，交于点，过点作，交于点， ∵点是的重心， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 由等面积法得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 所以，点到斜边的距离是， 故答案为：． 9．（2025·江苏常州·二模）如图，在中，，，以为直径的分别交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，连接，可得，进而由得，设，则，即得，再根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型3 特殊角三角函数值的混合运算 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 10．（2025九年级上·全国·专题练习）关于三角函数有如下公式： ， ， 合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如：， 利用上述公式计算下列三角函数 其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，利用三角函数和差公式，将各角分解为特殊角组合，逐一计算验证，正确应用公式是解题关键． 【详解】解：① ，故①符合题意； ② ，故②符合题意； ③ = ，故③符合题意； ④ ，故④符合题意； ∴符合题意的有：①②③④， 故答案为：①②③④． 11．（2024·湖北·模拟预测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键．根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键． （1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解； （2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型4 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 13．（22-23九年级上·河南漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即，， 解得，，则 则为等腰三角形， 故答案为：等腰 【点睛】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 14．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查特殊角三角函数，三角形内角和，三角形分类．熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键． 由特殊角三角函数值计算出和的角度来即可确定． 【详解】解：， ，， 即，， ， 即为直角三角形， 故选：D． 15．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，见解析 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质． 根据非负数的性质以及特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， 则． 故为直角三角形． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）已知中，与满足． (1)试判断的形状； (2)求的值． 【答案】(1)锐角三角形 (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，三角形的分类． （1）根据非负数的和等于零，可得函数值，可得角的度数，根据角的大小，可得答案． （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得，． ∴， ∴， ∴是锐角三角形； （2）解：原式 ． 17．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，已知，都是锐角，且，判断的形状． 【答案】等边三角形 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 【详解】解：， ，， 则，， 故， 则是等边三角形． 题型5 利用同角三角函数关系求值（或证明） 18．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 19．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． （1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （3）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； 由上面运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （2）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （3）解：， ， ， ， ． 20．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 21．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C是弧的中点，点D在圆O上，点E在的延长线上，且．    (1)求证：DE是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）连接，，利用等弧所对圆心角相等以及平角定义求出，进而求出，利用等边对等角可得出，，结合对顶角的性质可求出，利用切线的判定即可得证； （2）过D作于H，利用同角的三角函数性质求出，设，，半径为r，在中，利用勾股定理求出 ，进而求出，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：连接，，    ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； （2）解：过D作于H，    ∵， ∴， ∴， 设，，半径为r， 则， 在中，， ∴， 解得 ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键． 22．（2023·江苏无锡·二模）如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，与过点B的切线相交于点E．    (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，腰为与，证明见解析； (2) 【分析】（1）利用圆周角及切线的性质得到直角，再利用角平分线得到的等角进行计算和转化，得到中两个等角，根据等角对等边得到三角形为等腰三角形； （2）利用已知边求出角平分的两个等角的正切值，再设边长为未知数，利用列出勾股定理方程，求出，最后用勾股定理求出目标边． 【详解】（1）是的直径， ， ， 是的切线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，腰为与； （2），， ， 设，则， 中：， 得， 解得，（舍去）， 中：， ． 【点睛】本题考查圆中边长关系的证明和边长计算，通过条件中的边角关系计算角度证明等角等边及计算长度是常考题，计算复杂时可设未知数简化计算． 题型6 利用互余三角函数关系求值 23．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键． （1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可； （2）由（1）的计算可得，， ，由此变形即可求解． 【详解】（1）解：若为锐角， 建立如上图所示的直角，，， ①，， ； ②，而，， ； （2）解：由（1）可得：，， ， ． 24．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，中，，，求、、、． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 中，，， ， ① 又，，② 联立①②，解得；； 又， ；． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键． 25．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 题型7 解直角三角形的相关计算 在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 26．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，正六边形内接于，与交于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与正多边形，中心角，垂径定理，解直角三角形，正确添加辅助线求出中心角的度数是解题的关键． 连接，则，由垂径定理得到，再解求出即可． 【详解】解：连接， ∵正六边形内接于， ∴中心角，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 27．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是 【答案】 【分析】由正六边形可知，，，，由，，可知在以为直径的圆上运动，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则，过作于，则，，则，，，勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：由正六边形可知，，，， ∵，， ∴在以为直径的圆上运动， 如图，作以为直径的，连接，与交点即为，连接，则， 过作于，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，等边对等角，正弦，勾股定理，的圆周角所对的弦为直径．解题的关键在于确定点的运动轨迹． 28．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点均在格点上，连接、交于，则 ； 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理、平行四边形的判定与性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是判断四边形的形状，利用勾股定理逆定理确定直角三角形，进而求解正切值． 先根据网格判断四边形是平行四边形，再利用勾股定理计算相关线段长度，通过勾股定理逆定理确定是直角三角形，最后计算． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1． 由网格可知，，且， 四边形是平行四边形． 根据平行四边形的性质，． 由勾股定理可得： ， ； ； ． ， ． ， 是直角三角形，且． ． 29．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，直角边的中点为D，点E在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 ． 【答案】3或4/4或3 【分析】本题考查锐角三角函数的应用，需分情况讨论当为直角三角形时，即或时，利用解直角三角形和角的三角函数值求解． 【详解】在中，，D为的中点，E在斜边上且。 ①当时： 在中，， 则， 因为D是的中点，故 ， 在中，， ②当时： 在中，， 则， 因为D是的中点，故， 在中，， 故答案为：3或4． 30．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，D为上一点，若满足 ，过D作交延长线于点E，则＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，作为填空压轴题有一定难度，其中熟练掌握相关知识和构造合适的辅助线是解题关键． 要求的值，构造平行线分线段成比例，所以作于点M，从而将转化成 ，再根据题中条件去求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，作于点M， ∵，， 设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵于点M，， ∴， ∴． 故答案为：． 题型8 解非直角三角形 31．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 32．（江西省萍乡市青山中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷）如图，菱形的边长为，，为边上一动点，连接，当的长为整数时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题重点考查菱形的性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的应用，熟练掌握菱形的基本性质并灵活构造直角三角形是解题的关键． 通过，确定或，分情况讨论即可． 【详解】菱形的边长为，，为边上一动点， 当垂直轴时，的长最短，最短为，最长为， 所以， 所以当的长为整数时，即或， 当时， ； 当靠近，且时，过向作垂线，垂足为，，， ， 所以； 当靠近，且时，过向作垂线，垂足为，，， ， 所以； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 33．（20-21九年级上·福建福州·期中）如图，的直径为，弦为，，则 ． 【答案】 【分析】过点作于，连接，，利用圆周角定理得到，利用和圆周角定理得到，则为等腰直角三角形，从而可计算出，判断为等腰直角三角形得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，连接，， ∵为直径， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角．也考查了等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理．理解和掌握圆周角定理是解题的关键． 34．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 【答案】（1）③；（2），，；（3） 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据解直角三角形的定义可得结论； （2）过点作于点，由中，，，可得，，，设，则，，根据列方程求出，即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，由，，可得，当或时，有唯一解，当，即时，有两个解，可得结论． 【详解】解：（1）不能解直角三角形的是已知两个角， 故答案为：③； （2）如图1，过点作于点， 中，，， ，，， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ，， ， ，，； （3）过点作，交的延长线于点， ，， ， ， 当或时，有唯一解， 当，即时，有两个解， 故答案为：． 题型9 解直角三角形的实际应用 解直角三角形应用题的“四步骤” 1）根据实际问题建立数学模型，构造出直角三角形. 2）根据已知条件，选用适当的三角函数解直角三角形. 3）得到数学问题的答案. 4）写出实际问题的答案. 35．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 【答案】(1)米 (2)小明先达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）过点作于点，分别利用锐角三角函数比求出的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）, （米）， ∴（米）； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴（米）， （米）， ∴小聪所用时间为：（分钟）， 小明所用的时间为：（分钟）， ∵， ∴小明先到达景点D． 36．（2025·江西吉安·二模）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高度，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中， 由题意得， ； 即索道的长约为． （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， 即山顶点到水平地面的距离的长约为． 37．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：____________°，______________； (2)求楼的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)75；60 (2)米 【分析】本题考查了仰角俯角问题，三角函数的应用，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题． 【详解】（1）解：， ， 过点作于点， 则， ； （2）解：由题意可得米，米， 在中，， 解得：米， 米． 答：楼的高度为米． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到的距离的长为米． (2)轿车能驶入小区，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． （2）解：由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 题型10 三角函数综合 39．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 40．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ， ∴． 41．（2023·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）分两种情形讨论即可解决问题； （3）如图2中，作轴于E．求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题； （4）根据题意可得，根据，可得，再由，可得，从而得到，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是； 故答案为： （2）解：如图1中，    ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴． ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴． 综上所述， 或； 故答案为：或； （3）解：如图2中，作轴于E．    由题意， ， ∴， ∴， ∴； （4）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 题型11 解直角三角形与四边形综合 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，根据边长成比例即可求解； （2）过点作即可转化为和（1）完全相同的问题； （3）延长交于点．由，可得，设，则．证明，再证，得到比例，即；由（2）可知即可得到答案． 本题考查等腰三角形，三角形相似，直线平行的性质，正切，能够找到各小问之间的相同之处是解题关键． 【详解】解：（1）， ， 又∵， ， 又∵， ， ． （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 根据（1）可得： ． （3）如图，延长交于点， ，， ， ， ， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ， 由（2）可知． 43．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在矩形中，，点E是上一点，M是上一点，将四边形沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上，连接． (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点M是上一点，连接，过点B作于E，的延长线交于F，若的周长为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论不成立，，理由见解析 (3) 【分析】（1）作，交于G，交DF于Q，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由可判定，由全等三角形的性质得； （2）作，交于G，交于Q，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得； （3）作于Q，可求得，，，由三角函数得， ，进而求得，，，由正切函数求得，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1， 作，交于G，交于Q， 点D和点F关于对称， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ，，， ，四边形是平行四边形， ，， （）， ， ； （2）解：（1）中的结论不成立，， 理由如下： 作，交于G，交于Q， ∵四边形是矩形， ，，， 由（1）可知：，， ， ∴； （3）解：作于Q， ∵， ∴可设，，则， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，能熟练利用解直角三角形的知识进行求解是解题的关键． 44．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 【答案】(1)点在线段上，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）由（1）易得，证明，推出，根据在中，，在中，，即可证明结论； （3）延长交的延长线于点，连接，证明，推出，易证，得到，再证明，推出，由（1）知，设，则，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点在线段上，理由如下： 如解①，连接， ∵四边形是正方形，点是正方形的中心， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即点在线段上； （2）证明：由（1）得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴在中，，在中，， ∴； （3）解：如图②，延长交的延长线于点， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 由（1）知， 设，则， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，构造三角形全等和相似是解题的关键． 题型12 解直角三角形与函数综合 45．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式； (3)在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过作于点，证明，得出，求出，根据，即可得出答案； （3）根据，求出，过点作轴于点，延长至点，使，连接，则．证明，得出，设，得出，根据勾股定理得出，解得或（舍去），求出线的解析式为，线的解析式为．最后待定系数法求出直线的解析式为即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 抛物线的解析式为：． （2）解：由题意，得． 过作于点， 则，，， ， ∴， ， ∴， ， ， 对于，当时，， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， 过点作轴于点，延长至点，使，连接，则． ．设， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， ， 同理可得：直线的解析式为． 联立， 解得， ． 设直线的解析式为． 把代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 46．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2)10 【分析】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由平行求出直线的解析式为，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为，可推导出，再由，求出，则的面积． 【详解】（1）解：将代入双曲线， ， 双曲线的解析式为， 将点代入， ， ， 将代入， ， 解得， 直线解析式为； （2）解：直线向下平移至， ， 设直线的解析式为， 将点代入， ， 解得 直线的解析式为， 如图，过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，余弦函数等，能够综合应用上述知识是解题的关键． 47．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，N的坐标为或． 【分析】（1）由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入得解得，即可得抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，设，求出，直线BC解析式为，可得，，由，可得，即，故，，再求出，可得，根据二次函数性质可得答案； （3）由，得直线CD解析式为，可得，即知，要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或，设，求出，，，分两种情况列方程可解得答案． 本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形等知识，能分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， ， 抛物线的函数表达式为； （2）过P作PK交BC于K，如图： 设， 在中，令得， ， 由，得直线BC解析式为， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ，抛物线对称轴为直线，轴， ， ， ， 当时，的最大值为， 此时， 的最大值为，此时点P的坐标为； （3）存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似，理由如下： 如图： 由，得直线CD解析式为， 令得， ， ， 直线OC是线段BM的垂直平分线， ， ， 要使以点M，N，O为顶点的三角形与相似，只需或， 设， ，，，， ，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得， ∴． 综上所述，N的坐标为或． 48．（2025·黑龙江绥化·二模）如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)点为轴上一动点，的垂直平分线交于点，交抛物线于两点，且点在第二象限．                         ①当线段时，求的值； ②当以为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）①由题意可得，设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得，进而可得点的横坐标为，得到，即得，即得到，可得，过点作于点，由得，， 即得，最后根据正切的定义计算即可求解；②分和两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函数，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得，， ∴，， 设直线的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （3）解：①∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， 设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得， ∵对称轴是直线， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分于点， ∴， ∵点是直线与抛物线的对称轴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，； ②当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， 此时点和点重合，如图， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴点和的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优04 锐角三角函数章末12种题型归类 题型1 求角的锐角三角函数值 求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解. 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，连接，，则的值为 ．    2．（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，那么的值是 ． 4．（18-19九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，且， ． 5．（2025·江西抚州·二模）如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 题型2 已知锐角三角函数值求边长 6．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正六边形和正八边形的顶点A，B，C，D在同一直线上，顶点E重合，若，则正六边形的边长为 ． 7．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）已知在中，，，，点是的重心，那么点到斜边的距离是 ． 9．（2025·江苏常州·二模）如图，在中，，，以为直径的分别交于点，则 ． 题型3 特殊角三角函数值的混合运算 有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算. 10．（2025九年级上·全国·专题练习）关于三角函数有如下公式： ， ， 合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如：， 利用上述公式计算下列三角函数 其中正确的有 （填序号）． 11．（2024·湖北·模拟预测）计算： 12．（25-26九年级上·山东·期中）计算 (1) (2) 题型4 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 利用题目条件中已知的三角函数值，求出其中的特殊角，待求出三角形的所有内角后，即可判断三角形的形状. 13．（22-23九年级上·河南漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 14．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 15．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 16．（2025九年级下·全国·专题练习）已知中，与满足． (1)试判断的形状； (2)求的值． 17．（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，已知，都是锐角，且，判断的形状． 题型5 利用同角三角函数关系求值（或证明） 18．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 19．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题： ____ ；________；___． (1)观察上述等式，猜想：在中，，都有____ ； (2)如图④，在中，，，，的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明（1）中的猜想； (3)若，且，求的值． 20．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 21．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，点C是弧的中点，点D在圆O上，点E在的延长线上，且．    (1)求证：DE是的切线； (2)连接，若，，求的长． 22．（2023·江苏无锡·二模）如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，与过点B的切线相交于点E．    (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)若，，求的长． 题型6 利用互余三角函数关系求值 23．（24-25九年级上·山东泰安·期中）若为锐角． (1)求证：①；②； (2)试求：的值． 24．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，中，，，求、、、． 25．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 题型7 解直角三角形的相关计算 在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). 26．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，正六边形内接于，与交于点H，若，则的长为 ． 27．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，点是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是 28．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点，四边形的顶点均在格点上，连接、交于，则 ； 29．（2025九年级上·全国·专题练习）在中，，直角边的中点为D，点E在斜边上且，若为直角三角形，则的值为 ． 30．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，D为上一点，若满足 ，过D作交延长线于点E，则＝ ． 题型8 解非直角三角形 31．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 32．（江西省萍乡市青山中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷）如图，菱形的边长为，，为边上一动点，连接，当的长为整数时，的长为 ． 33．（20-21九年级上·福建福州·期中）如图，的直径为，弦为，，则 ． 34．（2025·河南郑州·一模）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列三个条件中，不能解直角三角形的是________． ①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角． （2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有个元素−−三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知中，，，，解这个三角形； （3）【延伸应用】如图2，中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是________． 题型9 解直角三角形的实际应用 解直角三角形应用题的“四步骤” 1）根据实际问题建立数学模型，构造出直角三角形. 2）根据已知条件，选用适当的三角函数解直角三角形. 3）得到数学问题的答案. 4）写出实际问题的答案. 35．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，A、B、C、D、E分别是某城市的五个著名景点，D在A的南偏西方向，E在D的南偏东方向，D在C的南偏西方向，B在C和E的正北方向，且在A的正东方向，米，． （参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小聪和小明两人从景点C骑自行车出发去景点D，小聪选择的路线为C→A→D，且速度为90米/分钟，小明选择的路线为C→E→D，且速度为120米/分钟，两人同时同地出发，请计算说明谁先到达景点D．（结果精确到） 36．（2025·江西吉安·二模）江西庐山素有“匡庐奇秀甲天下山”之美称．早在一千二百多年前，唐代诗人李白曾这样赞美庐山：“予行天下，所游山水甚富，俊伟诡特，鲜有能过之者，真天下之壮观也”．庐山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长；（结果精确到） (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，，，） 37．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空：____________°，______________； (2)求楼的高度（结果保留根号）． 38．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 题型10 三角函数综合 39．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 40．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 41．（2023·湖南株洲·模拟预测）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形是锐角，那么 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线点O逆时针旋转后所得到的．和原点的距离为（总是正的）然后把角的三角函数规定为： （其中分别是点的横、纵坐标）我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，四个比值的正、负取决于角的终边所在的象限，而与点在角的终边位置无关． 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题， (1)如图3，若，则角的三角函数值，其中取正值的是________． (2)若角的终边与直线重合，则________． (3)若角是锐角，其终边上一点且，则________． (4)若，则的取值范围是________． 题型11 解直角三角形与四边形综合 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】（2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】（3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 43．（2023·湖北襄阳·模拟预测）在矩形中，，点E是上一点，M是上一点，将四边形沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上，连接． (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点M是上一点，连接，过点B作于E，的延长线交于F，若的周长为24，，求的长． 44．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在正方形中，为上一点，点为正方形的中心，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，且与交于点． (1)试判断点是否在线段上，并说明理由； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长交的延长线于点，连接，当时，求的值． 题型12 解直角三角形与函数综合 45．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点、，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设点的横坐标为的面积为，求与之间的函数解析式； (3)在（2）的条件下，轴于点，点为上一点，连接并延长至点，使得，连接，延长交于点，连接，若，，求直线的解析式． 46．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于点，． (1)求双曲线及直线对应的函数表达式； (2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积． 47．（2025·四川成都·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点A，，与y轴交于点C， 是抛物线的顶点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点E，作轴交抛物线于另一点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)连接，设直线交x轴于点M，若N是线段上的一动点，是否存在以点M，N，O为顶点的三角形与相似．若存在；求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（2025·黑龙江绥化·二模）如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)点为轴上一动点，的垂直平分线交于点，交抛物线于两点，且点在第二象限．                         ①当线段时，求的值； ②当以为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $