第三十四章 锐角三角函数（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学人教版五四制九年级下册

第三十四章 锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 易错01　网格中求某个角的三角函数值 解题技巧 1. 构造直角三角形：在网格中，以目标角为其一锐角，利用网格线作垂直边，构造直角三角形，确定对边、邻边、斜边长度（可通过勾股定理计算）。 2. 利用等角转换：若目标角所在三角形非直角三角形，通过网格中的平行线、全等/相似三角形，将其转化为易求的等角的三角函数值。 易错总结 1. 边长计算错误：忽略网格单位长度，或勾股定理计算斜边时，错算直角边长度（如混淆横纵格数）。 2. 三角函数定义混淆：误将对边、邻边搞反，尤其在非标准位置的直角三角形中，错用正弦、余弦、正切的边的比例关系。 例题：（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 易错02　解直角三角形中的多解问题 解题技巧 1. 分析已知条件的不确定性：当已知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b，需考虑b是直角边或斜边），或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2. 结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 易错总结 1. 漏解：忽略已知条件的多种可能性，如已知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情况。 2. 错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。例题：（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 易错03　解直角三角形应用方位角问题 解题技巧 1. 明确方位基准：以观测点为中心，建立“上北下南，左西右东”的方位坐标系，将方位角转化为坐标系内的角度（如北偏东30°对应从北向东转30°）。 2. 构造直角三角形：根据方位角确定已知角，结合实际距离（如船的航行路程）作为边长，拆分复杂图形为直角三角形，利用三角函数求解。 易错总结 1. 方位基准混淆：误将观测点搞反（如把“B在A的北偏东”当成“A在B的北偏东”），导致角度方向错误。 2. 角度转换错误：将方位角与直角三角形内角混淆（如北偏东60°，误将直角三角形内角直接取60°，实际应为30°）。 例题：今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 易错04　解直角三角形应用仰俯角与坡度坡比综合问题 解题技巧 1. 拆分图形找直角：将仰俯角、坡度的综合图形，按水平线、铅垂线拆分，明确仰俯角对应直角三角形的锐角，坡度（i=对边/邻边）转化为直角边比例。 2. 统一单位列关系：先统一长度单位，利用仰俯角的三角函数、坡度与坡角的关系（i=tanα），结合公共边或相等线段建立等式求解。 易错总结 1. 坡度概念混淆：误将坡度（对边/邻边）当作坡角的正弦或余弦，或忽略坡度的单位一致性（如米与千米混用）。 2. 仰俯角对应错误：未以水平线为基准，错把仰俯角与铅垂线的夹角当作目标角，导致三角函数关系用反。 例题：（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 易错05　解直角三角形应用与几何图形的综合问题 解题技巧 1. 拆解图形建直角：将多边形（如四边形、梯形）沿高线、对角线拆分，转化为1-2个直角三角形，关联已知边、角与所求量。 2. 巧用几何性质搭桥：利用矩形对边相等、等腰三角形三线合一等性质，传递边长或角度，再结合三角函数列等式求解。 易错总结 1. 拆分图形失误：拆分时未保留关键已知条件，或拆分后的直角三角形无有效已知量，导致无法计算。 2. 忽略图形隐含条件：遗漏等腰、平行等几何性质，未充分利用公共边、相等角，造成解题思路中断或结果错误。 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 一、单选题 1．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 4．（2025·陕西·模拟预测）天津之眼是天津市的著名地标之一．其形状可以看作如下的示意图，桥段与摩天轮相切，且整个图形是轴对称图形，是支架且，和分别交于点D，E，连接，已知，，则半径为    （    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图①是教室门锁的局部图，图②是其示意图，其中门把手，点到门框的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点顺时针旋转，点到达点的位置，此时点到门框的距离为 ． 6．（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 ． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为 米． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）我们把对角互补，且只有一组邻边相等的四边形叫做“补邻四边形”．如图，在中，，，点、分别在边、上．如果四边形是“补邻四边形”，那么四边形的面积是 ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，动点P在边上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿向点A运动，同时动点Q在对角线上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当P、Q两点间的距离为时，运动时间_________； (2)当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值． 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，点E为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点F，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点H，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点M，连结，使． 11．（25-26九年级上·山东聊城·期中）随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点与线在同一个平面内）．设抓手D到直线的水平距离为r米． (1)当，时，求r的值？ (2)当时，r的最大值为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，） 12．（2025九年级下·全国·专题练习）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为___________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为___________． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为___________． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西方向上，海岛C在海岛D的北偏西方向上．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）图2是某不倒翁（图1）静止时的截面示意图．其中，点是所在圆的圆心，点是的中点，，，三点共线，平行于地面，，是的切线，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求不倒翁整个截面的面积； (3)如图3，在不倒翁的左右摇摆过程中，始终保持三点共线，当不倒翁向左摇摆（）时，直接写出点到地面的高度． 15．（25-26九年级上·广西桂林·期中）【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点F为边的中点，连结，过点B作于点E，交边于点D．若，的值为______． （2）如图③，在中，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交边于点F．若，的值为______． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十四章 锐角三角函数 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 易错01　网格中求某个角的三角函数值 解题技巧 1. 构造直角三角形：在网格中，以目标角为其一锐角，利用网格线作垂直边，构造直角三角形，确定对边、邻边、斜边长度（可通过勾股定理计算）。 2. 利用等角转换：若目标角所在三角形非直角三角形，通过网格中的平行线、全等/相似三角形，将其转化为易求的等角的三角函数值。 易错总结 1. 边长计算错误：忽略网格单位长度，或勾股定理计算斜边时，错算直角边长度（如混淆横纵格数）。 2. 三角函数定义混淆：误将对边、邻边搞反，尤其在非标准位置的直角三角形中，错用正弦、余弦、正切的边的比例关系。 例题：（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错02　解直角三角形中的多解问题 解题技巧 1. 分析已知条件的不确定性：当已知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b，需考虑b是直角边或斜边），或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2. 结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 易错总结 1. 漏解：忽略已知条件的多种可能性，如已知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情况。 2. 错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。例题：（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由题意知，分三种情况求解：①若，如图2，过点F作于H，HF的延长线交AB于点G，则，，在中，由勾股定理得求出的值，根据求出的值，证明，则，根据求解即可；②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交CD的延长线于点N，，在中，，，计算求解即可；③若，由，可判断该情况不成立；进而可得所有可能情况的正切值． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由题意知，分三种情况求解：①若，如图，过点F作于H，的延长线交于点G， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交的延长线于点N， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴ ③若， ∵点E是边AB上的一个动点，， ∴， ∴不合题意，舍去； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 易错03　解直角三角形应用方位角问题 解题技巧 1. 明确方位基准：以观测点为中心，建立“上北下南，左西右东”的方位坐标系，将方位角转化为坐标系内的角度（如北偏东30°对应从北向东转30°）。 2. 构造直角三角形：根据方位角确定已知角，结合实际距离（如船的航行路程）作为边长，拆分复杂图形为直角三角形，利用三角函数求解。 易错总结 1. 方位基准混淆：误将观测点搞反（如把“B在A的北偏东”当成“A在B的北偏东”），导致角度方向错误。 2. 角度转换错误：将方位角与直角三角形内角混淆（如北偏东60°，误将直角三角形内角直接取60°，实际应为30°）。 例题：今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 易错04　解直角三角形应用仰俯角与坡度坡比综合问题 解题技巧 1. 拆分图形找直角：将仰俯角、坡度的综合图形，按水平线、铅垂线拆分，明确仰俯角对应直角三角形的锐角，坡度（i=对边/邻边）转化为直角边比例。 2. 统一单位列关系：先统一长度单位，利用仰俯角的三角函数、坡度与坡角的关系（i=tanα），结合公共边或相等线段建立等式求解。 易错总结 1. 坡度概念混淆：误将坡度（对边/邻边）当作坡角的正弦或余弦，或忽略坡度的单位一致性（如米与千米混用）。 2. 仰俯角对应错误：未以水平线为基准，错把仰俯角与铅垂线的夹角当作目标角，导致三角函数关系用反。 例题：（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 易错05　解直角三角形应用与几何图形的综合问题 解题技巧 1. 拆解图形建直角：将多边形（如四边形、梯形）沿高线、对角线拆分，转化为1-2个直角三角形，关联已知边、角与所求量。 2. 巧用几何性质搭桥：利用矩形对边相等、等腰三角形三线合一等性质，传递边长或角度，再结合三角函数列等式求解。 易错总结 1. 拆分图形失误：拆分时未保留关键已知条件，或拆分后的直角三角形无有效已知量，导致无法计算。 2. 忽略图形隐含条件：遗漏等腰、平行等几何性质，未充分利用公共边、相等角，造成解题思路中断或结果错误。 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m，详见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论； （2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠CDG＝∠A， ∵∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG， ∴EF∥DG， ∵FG∥CD， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）如图，过点G作GP⊥AB于P， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝6.2， ∵AD＝1.6， ∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt△APG中，sinA= ， ∴=0.96， ∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5． 答：雕塑的高为7.5m. 一、单选题 1．（2024·湖南·模拟预测）如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．取格点，使得，连接，得到，根据勾股定理的逆定理可推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使得，连接， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 3．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，在中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为，连接，当是直角三角形时，的值为（    ） A． B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了动点型问题，直角三角形，含角的直角三角形的性质，掌握分类讨论得思想是解题得关键； 要使为直角三角形，则可能出现和两种情况，同时还需要分点从到以及从到两种情况，不难得到当→时，，当→时，；当，根据得出，由含角的直角三角形的性质，可得到的长度，建立关于的方程，求出的值，同理求解时的值． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，为的中点，动点以的速度从点出发， ∴，， ①若， 当→时，∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当→时，， ②若时， 当→时， ∵， ∴， ∴， ∴， 当→时，（舍去）， 综上可得：t的值为或或， 故选：D． 4．（2025·陕西·模拟预测）天津之眼是天津市的著名地标之一．其形状可以看作如下的示意图，桥段与摩天轮相切，且整个图形是轴对称图形，是支架且，和分别交于点D，E，连接，已知，，则半径为    （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质，解直角三角形，勾股定理，三线合一定理，设的中点为，连接，过点作于点，则；根据轴对称图形的定义可证明点一定在直线上，解得到，，则可得到；再证明，则可得到，，设的半径为，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设的中点为，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴的对称轴为直线，， ∵整个图形是轴对称图形， ∴点一定在直线上， 在中，，， ∵， ∴； ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为， 故选：C ． 二、填空题 5．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图①是教室门锁的局部图，图②是其示意图，其中门把手，点到门框的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点顺时针旋转，点到达点的位置，此时点到门框的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，，垂足分别为点，则可得四边形为矩形，那么，然后解求出，再由即可求解． 【详解】解：过点作，，垂足分别为点 ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴ 故答案为：． 6．（24-25九年级上·黑龙江大庆·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、余弦的定义，由勾股定理计算出，，，再由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，，最后由余弦的定义即可得解． 【详解】解：由勾股定理可得：，，， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，为了测量某铁塔的高度（假设铁塔与地面任意一条直线都垂直），测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，则该铁塔的高度约为 米． 【答案】80 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，由三角形内角和定理可得，则解直角三角形可得的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， 故答案为：80． 8．（25-26九年级上·四川成都·期中）我们把对角互补，且只有一组邻边相等的四边形叫做“补邻四边形”．如图，在中，，，点、分别在边、上．如果四边形是“补邻四边形”，那么四边形的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ， ， 在中，， ， ， ， ∵四边形是“补邻四边形”， 分情况讨论， ①当时， ∵， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ②当时， ， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ∴四边形的面积是； ④当时， 同理， ， 设，则， ， ∴，即， 解得：， 则， ∴四边形的面积； 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，动点P在边上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿向点A运动，同时动点Q在对角线上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)当P、Q两点间的距离为时，运动时间_________； (2)当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值． 【答案】(1)运动时间或． (2)或或． 【分析】（1）如图，连接，过作于，求解，结合，，可得，求解，，再进一步利用勾股定理求解即可． （2）由（1）得：，，，，， ∴，分三种情况：当为圆心时，则，当为圆心时，，当为圆心时，，进一步利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过作于， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：或， 综上当P、Q两点间的距离为时，运动时间或． （2）解：由（1）得：，，，，， ∴， 当为圆心时，则， ∴， 解得：， 当为圆心时，， ∴， 解得：或（舍去）， 当为圆心时，， ∴， 解得：或（舍去）， 综上：的值为：或或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，点E为的三等分点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上确定一点F，连结，使； (2)在图②中的边上确定一点H，连结，使； (3)在图③中的边上确定一点M，连结，使． 【答案】(1)如图所示； (2)如图所示； (3)如图所示． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识解决问题； （1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）取格点，，连接交于点，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，连接，即可． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，线段，即为所求． 11．（25-26九年级上·山东聊城·期中）随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点与线在同一个平面内）．设抓手D到直线的水平距离为r米． (1)当，时，求r的值？ (2)当时，r的最大值为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)米 (2)2.00米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用； （1）过点C作交延长线于点E，过点D作交延长线于点F，根据题意求出的长度，再结合计算即可． （2）过点D作交延长线于点E，设交于点H．当点E和点H重合，且最小时，有最大值，当时，有最大值，即此时有，再结合，即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点C作交延长线于点E，过点D作交延长线于点F，则． 由题意，得， ∴． 在中，米，， ∴（米）． ∵， ∴． 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米． （2）解：如图，过点D作交延长线于点E，设交于点H． ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，∠， ∴， ∴， ∴r的最大值为2.00． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形． (1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为___________． (2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点和和相交于点，结合下面的分析，直接写出的值为___________． (3)如图，在边长为1的正方形网格中，与相交于点，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，交延长线于点，由图可知点在格点上，由勾股定理可得，然后在中计算即可； （2）先证明四边形为平行四边形，可得，由平行线的性质可得，即有，由勾股定理可分别计算的三边，根据勾股定理逆定理可得，再由，求解可得答案． （3）取格点，连接，先证明四边形为平行四边形，可得，由平行线的性质可得，由勾股定理可分别计算的三边，根据勾股定理逆定理可得，即为等腰直角三角形，即有，由，即可得答案． 【详解】（1）解：如下图，过点作，交延长线于点， 由图可知点在格点上，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如下图，取格点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了格点三角形、平行线的性质、平行四边形的判定和性质，勾股定理逆定理，勾股定理、等腰三角形，锐角三角函数等知识，解题关键是运用转化思想和数形结合的思想分析问题． 13．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，两艘运输船从海岛B出发，在海岛A测得海岛B在其正南方60海里处，海岛C在海岛A的北偏东方向上，且在海岛B的东北方向上．海岛B在海岛D的南偏西方向上，海岛C在海岛D的北偏西方向上．（参考数据：，，） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)甲、乙两艘运输船同时从海岛B出发，前往海岛C装卸物品（装卸物品的时间相同），之后甲船开往海岛A，乙船开往海岛D．已知甲船的速度为每小时40海里，乙船的速度为每小时30海里，请通过计算说明甲船和乙船谁先到达目的地． 【答案】(1)海里； (2)甲船先到达目的地． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作交延长线于点，根据题意，结合图形，得到，在中，求出，即可得到结果； （2）过点作于点，过点作于点，求出，进而求出，由（1）知海里，海里，解直角三角形求出，根据题意求出，进而求出，分别计算出甲、乙两船所走过的路程，结合两船的速度，即可得到两船所用的时间，进而得到结果． 【详解】（1）解：过点作交延长线与点， 根据题意，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴海里， ∴海里； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知海里，海里， 在中，， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∵， 在中，， ∴海里，海里， ∴甲船走过的路程为（海里）， 乙船走过的路程为（海里）， ∴甲船所用时间为（小时）， 乙船所用时间为（小时）， ∵， ∴甲船先到达目的地． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）图2是某不倒翁（图1）静止时的截面示意图．其中，点是所在圆的圆心，点是的中点，，，三点共线，平行于地面，，是的切线，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求不倒翁整个截面的面积； (3)如图3，在不倒翁的左右摇摆过程中，始终保持三点共线，当不倒翁向左摇摆（）时，直接写出点到地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据切线的性质得到，再证明，得到，再根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用三角函数的知识求出的长，利用三角形的面积公式得到，再利用扇形的面积公式求出，再根据割补法即可求解； （3）根据平角的定义得到，得到，得到，再利用线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵，是的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不倒翁整个截面的面积； （3）解：由（2）得，，， ∴，， ∵三点共线， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 由题意得，垂直于地面， ∴垂直于地面， ∴点到地面的高度为． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定、解直角三角形、扇形的面积，理解题意是解题的关键． 15．（25-26九年级上·广西桂林·期中）【探究】如图①，在矩形中，点E在边上，连接，过点D作于点G，交边于点F．若，求的值． 【应用】（1）如图②，在中，，点F为边的中点，连结，过点B作于点E，交边于点D．若，的值为______． （2）如图③，在中，，点D为的中点，连接，过点A作于点E，交边于点F．若，的值为______． 【答案】【探究】；（1）；（2） 【探究】根据题意 ， ，则，即可求解； （1）根据题意证，得，则 ，则 ，即可求解； （2）如图，作于G，设，则，则， 由， 得 ，设，可知，可得，即可求解. 【详解】解：【探究】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【应用】解：（1）∵， ∴设， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，作于G， 设，则 ， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴ ∴ ， 设， ∴， ∵， ∴， 由得，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $