2.4.1圆的标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.1圆的标准方程 人教A版选择性必修一第2章第4节 寻找生活中的圆 人教A版选择性必修一第2章第4节 问题1:圆的定义是什么？ 平面内到定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆 问题2:平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 确定圆的几何要素：圆心和半径 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小 问题3：圆心是A(a,b)，半径是r的圆的方程是什么？ A(a,b) M(x,y) y x o 设点M (x,y)为圆上任一点，则|AM|= r． 设圆心,半径为， 即 即 表示圆心为半径为的圆的方程。称为圆的标准方程 1.圆心A(a,b),半径为r(r>0) 2.括号内x,y的系数都为1的三元二次方程 3.括号内连接符号为“—”,括号外连接符号为“+” 4.当圆心在原点(0,0)上时,圆的方程为x2+y2=r2 问题4：圆的标准方程有什么特点？ 特点： (1)圆心为(1, 2),半径为2，___________________ (2)圆心为(-1, 2),半径为1，__________________ (3)圆心为(1, -2),半径为 , ____________________ 1.已知圆心和半径，写出圆的标准方程 小试牛刀 小试牛刀 2.求圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程,并判断M1(5,-7), M2(-2,-1)是否在圆上？ A M1 y x o 解：圆心为A(2,-3),半径为5的标准方程为： 把点M1(5,-7)带入圆的方程左边得： ,左右相等。 M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在圆上。 把点M2(-2,-1)带入圆的方程左边得： ,左右不相等。 M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在圆上。 几何法 代数法 点在圆内 |AB|<r 点在圆上 |AB|=r 点在圆外 |AB|>r A B2 y x o B3 B1 r 问题5：点B(x1,y1)不在圆C:上时，点在圆内的条件是什么？点在圆外的条件是什么？ 你真棒！ 看来今天的知识已经完全掌握了！ 赶快练一练吧！ READY GO!!! 1:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程. 法一： 解：设所求方程为： （1） 因为A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)三点都在圆上，所以都满足方程（1） 即 整理 解得： 方程得 =25 所以△ABC的外接圆的标准方程是 1:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程. 法二： 解：设线段AB中点为D 则D点坐标为=， 因为直线AB的斜率为,所以直线CD的斜率为 所以线段AB的垂直平分线的方程为 同理得：线段BC的垂直平分线的方程为： 联立得，解得： 即圆心坐标为O（2，-3） 所以圆的半径为=5 所以圆的标准方程为 =25 2：已知圆心为O的圆经过A(1，1)，B(2,-2)两点，且圆心O在直线l:x-y+1=0上，求此圆的标准方程 法一： 解：设圆心O坐标为（a,b）。 因为圆心O在直线l:x-y+1=0上，所以b=a+1 （1）。 又因为A,B两点在圆上，所以|AO|=|BO| 即= 即a-3b-3=0 （2） 由（1）（2）得a=-3，b=-2。即圆心坐标为O（-3，-2） 所以圆的半径为=5 所以圆的标准方程为 =25 法二： 解：设线段AB中点为D,则D点坐标= 因为直线AB的斜率为 所以线段AB的垂直平分线的方程为 联立得，解得： 由垂径定理可知，圆心C在线段AB的垂直平分线上 即圆心坐标为O（-3，-2） 所以圆的半径为=5 所以圆的标准方程为 =25 所以直线OD的斜率为 2：已知圆心为O的圆经过A(1，1)，B(2,-2)两点，且圆心O在直线l:x-y+1=0上，求此圆的标准方程 本节课你学会了哪些知识？有什么收获？ 作业 教材85页练习1，4 进阶作业：第4题分别用代数法和几何法求解 感谢垂听 $