2.4 2.4.1　圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“直线和圆的方程”，通过“自主学习·新知感悟”引导学生从圆的方程求解步骤（设方程、列方程组、解方程组、得方程）切入，搭建从已知到未知的学习支架，梳理知识脉络。 其特色在于PPT可任意编辑方便教师个性化调整，“合作探究”设探究任务培养数学思维（推理能力），“典例研析”以具体解题步骤示范数学语言表达（模型观念），“课后分层练”适配不同学生需求。采用探究式教学，学生提升思维与应用能力，教师可高效整合教学资源。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 直线和圆的方程 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．4　圆的方程 2．4．1　圆的标准方程 学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 床前明月光，疑是地上霜．举头望明月，低头思故乡．(李白《静夜思》) 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写． 问题1　如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 用集合语言描述：设圆心为点A，半径为r，则圆A就是以下点的集合：{M│|MA|＝r}． 确定圆的要素：圆心和半径． 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 提示：不一定．当m<－1时不表示任何图形；当m＝－1时表示点(a，b)；当m>－1时表示圆． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P82～83，分析思考：平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置． (2)请认真阅读教材P82～83，分析思考：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m＋1一定表示圆吗？ 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆(x－1)2＋(y＋1)2＝22的圆心为(－1，1).(　　 ) (2)圆心为(2，－1)，半径为 eq \r(5)的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.(　　 ) (3)圆x2＋y2＝a2(a≠0)的半径为a．(　　 ) 提示：(1)×　(2)√　(3)× 　圆的标准方程 问题2　在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 提示：设圆心为A(a，b)，半径为r，圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得 eq \r((x－a)2＋(y－b)2)＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 1．圆的标准方程 条件 圆心为A(a，b)，半径为r 标准方程 特例 圆心在原点，半径为r的圆的方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2 2.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 圆心在原点，半径为r x2＋y2＝r2(r>0，r＝1时称为单位圆) 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) eq \x(,(1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．,(2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．,(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．) 温馨提示 (1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 例1 (链接教材：人A版教材P83例2)求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (3)经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)法一(待定系数法)　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.)) 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 法二(几何法)　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3，)) 即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r＝ eq \r(42＋(－3)2)＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 类题通法 1．直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 2．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 【迁移运用】 1.求满足下列条件的圆的标准方程： (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)； (2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点． 解：(1)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)∵AB为直径， ∴AB的中点(1，2)为圆心， eq \f(1,2)|AB|＝ eq \f(1,2) eq \r((5＋3)2＋(5＋1)2)＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 　点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？ 提示：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． ＝ ＝ < < 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝ eq \r((x0－a)2＋(y0－b)2). 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆上 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆内 d r (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 > > eq \x(,由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“<”“>”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解．) 温馨提示 由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“<”“>”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. 例2　(链接教材：人A版教材P83例1)(1)已知a，b是方程x2－x－ eq \r(2)＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　 ) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 解析：选A．由题意得a＋b＝1，ab＝－ eq \r(2)， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2 eq \r(2)<8， ∴点P在圆C内． (2)已知点M(5 eq \r(a)＋1， eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_____． 解析：由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥0，,(5\r(a)＋1－1)2＋(\r(a))2<26，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥0，,26a<26，))解得0≤a<1. 答案：[0，1) 类题通法 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 【迁移运用】 2.已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝_____；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为_____． 解析：由题意得＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，由＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，由＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2. 答案：－2或－6　a<－6或a>－2 1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　 ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16 解析：选C．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选D．圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3).因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　 ) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 解析：选B．∵12＋32＝10<24，∴点P在圆内． 4．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为___________________． 解析：圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，则 eq \f(πr2,πR2)＝ eq \f(1,2)，所以r2＝18，又圆心坐标为(1，0)，则所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝18. 答案：(x－1)2＋y2＝18 5．若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________． 解析：∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2> eq \f(1,169)，∴a> eq \f(1,13)或a＜－ eq \f(1,13). 答案：a> eq \f(1,13)或a<－ eq \f(1,13) (链接教材P89“习题2.4T10”知识拓展) 圆的标准方程 图形 参数方程 参数θ的几何意义 x2＋y2＝r2 (θ为参数) OM0(O′M0)绕点O(O′)逆时针旋转到OM(O′M)的位置时转过的角度，θ∈[0，2π) (x－a)2＋ (y－b)2＝r2 (θ为参数) 【基础巩固】 1．圆心为(1，2)，且过(0，0)的圆的标准方程为(　　 ) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝ eq \r(5) B．x2＋y2＝5 C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．x2＋y2＝ eq \r(5) 解析：选C．因为圆的圆心为(1，2)，且过(0，0)，则圆的半径r＝ eq \r(12＋22)＝ eq \r(5)，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 2．已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　 ) A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外 解析：选B．由圆的标准方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)， 则原点与圆心的距离为 eq \r(a2＋1). ∵0＜a＜1，∴ eq \r(a2＋1)＞ eq \r(2a)＝r，即原点在圆外． 3．(多选)下列说法错误的是(　　 ) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C．圆 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)))2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\r(2)))2＝2的圆心为( eq \r(3)，－ eq \r(2))，半径为 eq \r(2) D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 eq \r(5) 解析：选ABD．对于A，由圆(x－1)2＋(y－2)2＝5可得，圆心为(1，2)，半径为 eq \r(5)，故选项A错误； 对于B，由圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)可得，圆心为(－2，0)，半径为|b|，故选项B错误； 对于C，由圆(x－ eq \r(3))2＋(y＋ eq \r(2))2＝2可得，圆心为( eq \r(3)，－ eq \r(2))，半径为 eq \r(2)，故选项C正确； 对于D，由圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5可得，圆心为(－2，－2)，半径为 eq \r(5)，故选项D错误． 4．(多选)与直线x＝2相切于点(2，0)且半径为1的圆的方程有(　　 ) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(x＋1)2＋y2＝1 D．(x＋3)2＋y2＝1 解析：选AB．如图所示， 由图形知，与直线x＝2相切于点(2，0)且半径为1的圆的圆心为(1，0)或(3，0)， 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1或(x－3)2＋y2＝1. 5．(多选)(2025·南京期中)已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心C在直线y＝0上，则(　　 ) A．圆心坐标为C(－1，0) B．半径长r＝5 C．点M1(2，3)在圆内 D．点M2(2，4)在圆外 解析：选ACD．因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2，3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝0))的解，即圆心坐标为C(－1，0)，A正确；半径长r＝ eq \r((－1－1)2＋(0－4)2)＝2 eq \r(5)，B错误；所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20，点M1(2，3)到圆心的距离为 eq \r((2＋1)2＋(3－0)2)＝3 eq \r(2)<r，所以点M1在圆内，C正确；点M2(2，4)到圆心的距离为 eq \r((2＋1)2＋(4－0)2)＝5>r，所以点M2在圆外，D正确． 6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0，0)对称的圆的方程为________． 解析：根据已知条件，圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，那么点(－2，0)关于原点的对称点(2，0)即为所求的圆的圆心．因为半径不变，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. 答案：(x－2)2＋y2＝5 7．满足圆心C在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8的圆C的标准方程为_________________． 解析：法一(几何性质法)　如图所示， 由题设知|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4. 在Rt△AOC中，|OC|＝ eq \r(|AC|2－|AO|2)＝ eq \r(52－42)＝3. 设点C坐标为(a，0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3. ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 法二(待定系数法)　由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25. ∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0，4). 代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3. ∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 答案：(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25 8．如图，在平面直角坐标系xOy上，有点A(2，1)，B(5，－2)，C(4，3). (1)证明：△ABC是直角三角形； (2)求△ABC的外接圆方程． 解：(1)证明：依题意得kAB＝ eq \f(－2－1,5－2)＝－1， kAC＝ eq \f(3－1,4－2)＝1，所以kAB·kAC＝－1， 所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． (2)取BC的中点D( eq \f(9,2)， eq \f(1,2))，|AD|＝ ＝ eq \f(\r(26),2)， 所以△ABC的外接圆方程是＝ eq \f(13,2). 9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0). (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围． 解：(1)∵点M(6，9)在圆N上， ∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，∴a2＝10. 又a>0，∴a＝ eq \r(10). (2)由已知得圆心N(5，6). ∵|PN|＝ eq \r((3－5)2＋(3－6)2)＝ eq \r(13)， |QN|＝ eq \r((5－5)2＋(3－6)2)＝3， ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， ∴a的取值范围是3<a< eq \r(13)，即a∈(3， eq \r(13)). 【综合运用】 10．若圆C经过点A(1，1)，B(2，－2)且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，则该圆的面积为(　　 ) A．5π B．13π C．17π D．25π 解析：选D．设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由于A(1，1)，B(2，－2)在圆C上，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上， 则 解得a＝－3，b＝－2，r＝5， 所以该圆的面积是πr2＝25π. 11．(多选)已知直线l：ax－y＋b＝0，圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，则l与M在同一平面直角坐标系中的图形可能是(　　 ) 解析：选BC．圆M的圆心为(a，－b)，且过原点，可排除A；B项中由直线l可知a>0，b<0，∴圆心(a，－b)在第一象限，满足条件；C项中由直线l可知a<0，b>0，∴圆心(a，－b)在第三象限，满足条件；D项中由直线l可知a<0，b<0，∴圆心(a，－b)在第二象限，与图形不符． 12．(2025·山东烟台高二月考)若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________． 解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2. 答案：2 13．(新背景)大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．现有一动点P满足|OP|＝2，其中O为坐标原点，若M( eq \f(1,2)，－ eq \f(\r(3),2))，则|PM|的最小值为________． 解析：动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而|OM|＝＝1<2，故点M( eq \f(1,2)，－ eq \f(\r(3),2))在圆内，所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小，即|PM|min＝2－|OM|＝2－1＝1. 答案：1 14．已知点A(1，－2)，B(－1，4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程； (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程． 解：(1)当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小． 即AB的中点(0，1)为圆心， 半径r＝ eq \f(1,2)|AB|＝ eq \f(1,2) eq \r((－1－1)2＋[4－(－2)]2)＝ eq \r(10)， 则圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)法一　直线AB的斜率k＝－3，则直线AB的垂直平分线的方程是y－1＝ eq \f(1,3)x，即x－3y＋3＝0， 又圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C(3，2)， r＝|AC|＝ eq \r((1－3)2＋(－2－2)2)＝2 eq \r(5)， 故所求圆的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 法二　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则⇒ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝20.)) 故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 【创新探索】 15．(2025·湖北襄阳高二期末)设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的标准方程． 解：设圆心为(a，b)，半径长为r， 依题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(2)|b|＝r，,a2＋1＝r2，)) 消去r得2b2－a2＝1，① 圆心到直线l的距离d＝ eq \f(|a－2b|,\r(5)). 设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式， 整理得2b2＋4kb＋k2＋1＝0. 由Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1， 当|k|＝1时，dmin＝ eq \f(\r(5),5). 当k＝1时，a＝b＝－1，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2； 当k＝－1时，a＝b＝1，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. $