2.4.2 圆的一般方程（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，从圆的标准方程展开导入，引导学生思考一般方程形式及表示条件，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过配方推导一般方程条件（数学抽象、逻辑推理），结合待定系数法求方程（数学运算），轨迹问题多方法教学（直接法、定义法等）。实例丰富如方程判断、轨迹求解，规律总结与课堂小结清晰，助力学生提升数学思维，方便教师高效教学。

2.4.2　圆的一般方程 1 1. 在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）. 2. 掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）. 课标要求 　　前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？下面我们来探讨这一方面的问题. 情境导入 知识点一　圆的一般方程的概念 01 知识点二　000 02 提能点　与圆有关的轨迹问题 03 课时作业 04 目录 4 01 PART 知识点一 圆的一般方程的概念 目 录 问题　（1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条 件？ 提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋ ）2＋（y＋ ）2＝ ，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图 形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－ ，－ ）. ②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 概念：当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＝0叫做圆的一般方程. 2. 圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆 心为 　（－ ，－ ）　，半径长为 　 　. 　　提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2 和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0. D2＋E2－4F＞0　 （－ ，－ ）　 　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标 及半径： （1）2x2＋y2－7y＋5＝0； 解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆. （2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； 解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆. （3）x2＋y2－4x＝0； 解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2 的圆. 数学·选择性必修第一册 目 录 （4）x2＋y2－4ax－2 ay＋6a2＝0； 解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－ a）2＝a2. 当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆； 当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a， a），半径是｜a｜的圆. （5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0. 解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋ ＝0， 法一　由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何图形. 法二　方程可变形为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝－ ，故方程不表示任何 图形. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 圆的一般方程的辨析 （1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配 方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆； （2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的 关系，确定它是否表示圆. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是 圆，则实数m的取值范围为（　D　） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞） 解析：法一　因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1. 故实数m的取值范围为（－1，＋∞）. D 法二　方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程 表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为 （－1，＋∞）.故选D. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（BD　） A. m＝－1 B. m＝1 C. 圆心为（－1，－2） D. 圆心为（1，－2） BD 解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋ 2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为 ，若其直径为4，则 ＝2，解得m＝1.故选B、D. 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 求圆的一般方程 目 录 【例2】（链接教材P86例4）求满足下列条件的圆的一般方程： （1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点； 解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得 解得 故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点. 解：法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－ ，－ ）. 因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点， 所以 解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 法二　因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点， 所以圆心在直线x＝1上. 又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）. 所以圆的半径为 ＝ ， 所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5. 所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 待定系数法求圆的一般方程的步骤 （1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； （2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； （3）解此方程组，求出D，E，F的值； （4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　求满足下列条件的圆的一般方程： （1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且 圆心在第二象限，半径为 ； 解：由题意得圆心C（－ ，－ ）， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－ － －1＝0，即D＋E＝－2，　① 又半径r＝ ＝ ， ∴D2＋E2＝20，　② 数学·选择性必修第一册 目 录 由①②可得 或 又圆心在第二象限，∴－ ＜0，－ ＞0，即D＞0，E＜0. ∴ ∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距 之和为－2. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）. ∵圆经过点（4，2）和（－2，－6）， ∴ 数学·选择性必修第一册 目 录 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故 x1＋x2＝－D. 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故 y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋（－E）＝－2， 即D＋E－2＝0.　③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 与圆有关的轨迹问题 目 录 角度1　直接法求轨迹方程 【例3】求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的2倍的点M的 轨迹方程. 解：设点M的坐标是（x，y）， 则 ＝2.∴ ＝2. 化简，得x2＋y2－8x＋12＝0， 即所求轨迹方程为x2＋y2－8x＋12＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 角度2　定义法求轨迹方程 【例4】　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求 直角顶点C的轨迹方程. 解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）. 由直角三角形的性质，知｜CD｜＝ ｜AB｜＝2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆 （因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）. 设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3， 且x≠－1）. 数学·选择性必修第一册 目 录 角度3　代入法求轨迹方程 【例5】　已知点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，P是圆上的动点， 求线段AP的中点M的轨迹方程. 解：设线段AP的中点为M（x，y）， 由中点坐标公式，得点P的坐标为（2x－2，2y）. ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴（2x－2）2＋（2y）2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 变式　若本例条件不变，如图，点B（1，1）是圆内一点，Q为圆上的动 点，若∠PBQ＝90°，如何求线段PQ的中点N的轨迹方程？ 解：设线段PQ的中点为N（x，y）， 在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜， 连接ON（图略）， 则ON⊥PQ， ∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2， ∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 求与圆有关的轨迹方程的3种方法 　　提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹， 若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形； （2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　（2025·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B （8，0）的距离的一半. （1）求动点M的轨迹方程； 解：设动点M的坐标为（x，y）. 因为A（2，0），B（8，0）， ｜MA｜＝ ｜MB｜. 所以（x－2）2＋y2＝ [（x－8）2＋y2]. 化简得x2＋y2＝16. 即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹. 解：设点N的坐标为（x0，y0）， 因为A（2，0），N为线段AM的中点， 所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）. 又点M在圆x2＋y2＝16上， 所以（2x0－2）2＋4 ＝16， 即得（x0－1）2＋ ＝4. 所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆. 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是（　　） A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞） C. （－1，0） D. （－1，1） 解析：方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k ＜－1时才能表示圆. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是 （　　） A. 3x－2y＋1＝0 B. 3x＋2y＋1＝0 C. 3x＋2y＝0 D. 3x－2y＝0 解析：圆心为C（2，－3）在直线3x＋2y＝0上.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. （2025·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满 足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（　　） A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 半圆 解析：　设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动 点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴ ＝2 ， 两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝ 4.∴P的轨迹为圆.故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5）， 求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径. 解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵点A，B，C在圆上， ∴ 解得 ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即（x－1）2＋（y＋1）2＝25. ∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5. 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）圆的一般方程； （2）与圆有关的轨迹方程. 2.应体会 （1）求圆的一般方程常用待定系数法； （2）求动点的轨迹方程的常用的方法有定义法、直接法、代入法等. 3.避易错 （1）忽视一般方程表示圆的条件； （2）轨迹方程求出后，忽视点及轨迹不存在的情形. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. 已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－2，3），则D，E分 别为（　　） A. D＝4，E＝－6 B. D＝－4，E＝－6 C. D＝－4，E＝6 D. D＝4，E＝6 解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－ ，－ ），又知该圆的圆心坐标为（－2，3），∴－ ＝－2，－ ＝3，∴D＝4，E＝－6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是 （　　） A. x2＋y2－4x＋6y－8＝0 B. x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 C. x2＋y2＋4x－6y－8＝0 D. x2＋y2－4x－6y－4＝0 解析：　依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由于所求 圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，解得m＝8，所以所求圆的 方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 若点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围 是（　　） A. （－2，＋∞） B. ［－2，－ ］ C. （－2， ） D. （－2，2） 解析：　因为点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满 足 解得－2＜k＜ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋ y2－4x＋3＝0，则a的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（ ，1），圆x2＋y2 －4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故 有 ×1＝－1，解得a＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. 已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心 的轨迹是（　　） A. 点 B. 直线 C. 线段 D. 圆 解析：　∵圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），∴（1－ a）2＋（0－b）2＝1，∴（a－1）2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是圆心 为（1，0），半径为1的圆. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知圆的方程为x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有 （　　） A. 关于点（2，0）对称 B. 关于直线y＝0对称 C. 关于直线x＋3y－2＝0对称 D. 关于直线x－y＋2＝0对称 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：x2＋y2－4x－1＝0⇒（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为 .选项A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；选项B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；选项C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；选项D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D不正确.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4 为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A. F＝4 B. 点（0，1）在圆外 C. 圆与y轴相切 D. 点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由题知 解得D＝－4，E＝8，F＝ 4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代 入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；由题知圆心 纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，C错误；因为 圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点 （2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝ ⁠. 解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－ 2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋ 4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积 最小. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段 AB的中点M的轨迹方程为 ⁠. 解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝ ｜ AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9 即为所求. x2＋y2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一 个圆. （1）求t的取值范围； 解：圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2. 由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－ ＜t＜1. 故t的取值范围是（－ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求该圆的圆心坐标和半径； 解：由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为 . （3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程. 解：r＝ ＝ ≤ . 所以r的最大值为 ，此时t＝ ， 故此时圆的标准方程为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. （2025·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有 的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　） A. （－∞，－2） B. （－∞，－1） C. （1，＋∞） D. （2，＋∞） 解析：由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均 在第二象限内，∴ 解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C. 若∠ACB＝ ，则实数m＝ ⁠. 解析：∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m， ∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝ .由∠ACB＝ 可 得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝ r，解得r＝2 ，∴ ＝ 2 ，解得m＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋ kx＝0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0 对称，则△PAB面积的最大值是 ⁠. 3＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－ ，0）位于直线x－y－1＝0 上，于是有－ －1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1. 由题意可得｜AB｜＝2 ，直线AB的方程是 ＋ ＝1，即x－y＋2＝ 0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于 ＝ ，点P到直线AB 的距离的最大值是 ＋1，△PAB面积的最大值为 ×2 × ＝3＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 已知圆C经过（0，2），（1， ），（ ， ）三点. （1）求圆C的方程； 解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 则圆C的方程为x2＋y2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作 平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹. 解：法一（定义法）　设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜ ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋ （y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点 不共线.当点P在直线OM上时有 或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－ ， ）和 点（－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 法二（代入法）　如图所示， 设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点 坐标为（ ， ），线段MN的中点坐标为（ ， ）. 由于平行四边形的对角线互相平分，故 从而 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上， 故（x＋3）2＋（y－4）2＝4. 当点P在直线OM上时， 有 或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－ ， ） 和点（－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. 已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R. （1）当a取何值时，方程表示圆； 解：当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ，因为 ＞0，所以a≠－1时方程表示圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； 解：证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0. 对于a取任何值，上式成立，则有 解得 或 所以C过定点A（0，0），B（ ，－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值. 解：由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小， 从而得以AB为直径圆的方程为 （x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ， 所以 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 解得a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $