精品解析：广西梧州市2025-2026学年高一上学期期末抽样检测数学试题

梧州市2025-2026学年度上学期期末抽样检测 高一数学（试题卷） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 对于函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 函数有且只有一个零点的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知甲､乙两城相距，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有（ ） A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动 B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到 C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者 D. 骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 满足 C. D. 存在x，y是无理数，使得 11. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 13. 若，则的最小值是_____． 14. 一组样本数据为，若是方程的两根，则这个样本的方差是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求，. 16. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），其中所有学生的成绩范围是.根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人. （1）求，的值； （2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到0.01）. 17. （1）求值：； （2）求值： （3）解关于的不等式. 18. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）根据定义证明：是增函数； （3）解不等式：. 19. 对于函数若 使 成立，则称为关于参数的不动点.设函数 （1）当 时，求关于参数的不动点； （2）若 ，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围； （3）当 时， 函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梧州市2025-2026学年度上学期期末抽样检测 高一数学（试题卷） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2.考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合分层抽样的性质运算求解即可. 【详解】样本按比例分配，男女比例为. 所以应抽取的男生人数为. 故选：C. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合集合的交集和补集运算求解即可. 【详解】因为集合，，则， 且全集，所以. 故选：C. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得解. 【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题得：命题“，”的否定是，. 故选：A. 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解. 【详解】因为为上的减函数，故，故， 又为上的增函数，故，故. 故选：A. 5. 对于函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算各区间端点处函数值，根据零点存在定理即可判断出答案. 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设， 则 ， 因为，故， 即， 故在上单调递增， 由于，， ， 结合选项知函数的零点所在的区间为， 故选：B． 6. 一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（ ） A. 18 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算即可. 【详解】因为，故分位数是第6个和第7个的平均数， 则， 故选：B. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【详解】∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数，故排除A，C， 因为在上单调递增，在上单调递增， 即在上单调递增，故排除B. 选项D符合以上特征， 故选：D. 8. 函数有且只有一个零点的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解． 【详解】因为时，，可知函数的图象过点， 所以函数有且只有一个零点 函数没有零点 函数的图象与直线无交点． 当时，， 由图可知，函数 的图象与直线无交点或． 即函数有且只有一个零点的充要条件是或． 故选：D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知甲､乙两城相距，两个旅行者分别骑自行车和摩托车从甲城到乙城，他们所行驶的路程和时间的函数关系如图所示，有人根据此图，提出了如下观点，其中正确的观点有（ ） A. 骑自行车者和骑摩托车者都是变速运动 B. 骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到 C. 骑摩托车者在出发后追上了骑自行车者 D. 骑摩托车者在出发后与骑自行车者速度一样 【答案】BC 【解析】 【分析】根据路程与时间的函数图象，由知摩托车是匀速运动；两函数交点说明行驶路程相等；图象与轴交点横坐标为出发时间，与的交点横坐标为到达时间，即可判断选项正误. 【详解】对A：骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是线段，所以是匀速运动，故A错误； 对B：由时间轴上，自行车、摩托车对应函数的起止点及其所对应的时间值， 可得骑自行车者比骑摩托车者早出发，晚到，故B正确； 对C：两条曲线的交点的横坐标对应着，结合图象知C正确； 对D：骑摩托车者在出发后追上自行车，而它们的车速不同，故D错误. 故选：BC. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. 的值域为 B. 满足 C. D. 存在x，y是无理数，使得 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数解析式得值域、定义域，可判断AB；代入运算可判断C；举特例可判断D. 【详解】对于A，的函数值只可能是0或1，所以的值域为，故A错误； 对于B，若，则，可得； 若，则，可得． 综上所述，对于任意，总有成立，故B正确； 对于C，若，则，可得， 若，则，可得， 综上所述，，故C正确； 对于D，取，则，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABCD的正误. 【详解】对于A，因为， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故C成立； 对于D，因为，故，故， ，当且仅当时等号成立， 故D成立， 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数（且）的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则_________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求得定点A的坐标，再据此求出的表达式，最后再求的值即可． 【详解】由题意，，则，函数恒过的定点A为， 设，∵过A点，∴，解得， ∴，∴． 故答案为：27． 13. 若，则的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值3. 故答案为：3． 14. 一组样本数据为，若是方程的两根，则这个样本的方差是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得或4，结合平均数和方差的计算公式，即可求解. 【详解】因为是方程的两根，解得或4， 不妨设，则样本平均数为， 由方差公式得. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求，. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、并集运算可直接得出结果； （2）由补集定义以及混合运算法则即可求出结果. 【小问1详解】 集合，， 利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图： 则， . 【小问2详解】 依题意可得， ， 所以， . 16. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问名学生，并对这名学生的个性化作业进行评分（满分：100分），其中所有学生的成绩范围是.根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图，其中成绩在的学生人数为30人. （1）求，的值； （2）估计这名学生成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和中位数（精确到0.01）. 【答案】（1）， （2）平均数为72；中位数为73.33. 【解析】 【分析】（1）根据成绩在的学生人数为30人可求得，再由小矩形面积之和为1可得； （2）利用频率分布直方图平均数求法可直接计算出结果，再由中位数定义可计算出结果. 【小问1详解】 由题意可得， 易知， 解得. 【小问2详解】 平均数为. 因为，， 所以中位数在之间，设中位数为， 则，解得. 即中位数为. 17. （1）求值：； （2）求值： （3）解关于的不等式. 【答案】（1）10； （2）； （3）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则运算即可； （2）根据指数幂的运算法则运算即可； （3）通过因式分解分类讨论即可. 【详解】解：（1） ； （2） ； （3），相对应方程的两个根为2和，不等式可化为：. 当时，，解得或； 当时，解得；. 当时，，解得或； 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 18. 已知函数是奇函数. （1）求的值； （2）根据定义证明：是增函数； （3）解不等式：. 【答案】（1）； （2） ，，且， 则， ， ， ，， ， ， ， 在上是增函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求参数，注意验证即可； （2）利用单调性的定义判断证明函数的单调性； （3）利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由题意的定义域是， 是上的奇函数， ，即， ，则， ， 是上的奇函数， 综上，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，整理得，则， 令，整理得，则， 在上是增函数， 原不等式的解集为. 19. 对于函数若 使 成立，则称为关于参数的不动点.设函数 （1）当 时，求关于参数的不动点； （2）若 ，函数恒有关于参数的两个不动点，求的取值范围； （3）当 时， 函数在上存在两个关于参数的不动点，试求参数的取值范围. 【答案】（1）和 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当，时，结合已知可得，解方程即可求解； （2）由题意可得，恒有个不同的实数根，结合一元二次方程根存在的条件即可求解； （3）方法一，问题转化为在上有两个不同解，再结合一元二次方程根的分布即可求解； 方法二，当，时，转化为问题在上有两个不同实数解，进行分离，结合对勾函数的性质可求． 【小问1详解】 当时，， 令，可得即， 解得或， 当时，函数关于参数的不动点为和. 【小问2详解】 依题意得，，关于的方程都有两个不等实数根， 从而有对都成立， 即关于的不等式对都成立， 故有， 解得. 【小问3详解】 由题意知，方程在上恒有两个不相等实数解， 法一：即在上恒有两个不相等实数根， 令， 则 法二：即在上恒有两个不相等实数根， 令， 则直线与函数的图象有两个不同交点， ，且，则， 当时，，，则可得，即函数在上单调递减， 当时，，，则可得，即函数在上单调递增， 且，结合函数的图象可知. 【点睛】思路点睛：本题考查了二次函数的性质与图象，以及根据函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含自变量的函数，注意变形时让含有自变量的函数式子尽量简单一些． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $