精品解析：广东深圳市坪山区坪山高级中学等校2025-2026学年第一学期期末质量监测高一数学试题

2025－2026学年第一学期高一期末质量监测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级填写在答题卡上．将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则 A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 4. “幂函数为单调递增函数”的一个充分不必要条件为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数且关于的方程有4个实数解，，，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 多项选择题：为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D. 先将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 11. 已知实数，，使得，则，，的大小关系可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 13. 已知某扇形的周长为8，且面积为4，则其半径为______． 14. 已知，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及曲线的对称中心； （2）求在区间上的单调递增区间． 17. 已知函数的定义域为． （1）请用单调性定义证明：为单调递减函数； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，. （1）求的解析式； （2）已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长； （3）已知运动监测中常将相邻固定时间间隔的心率差值定义为“心率变化幅度”，用以评估体能状态，求“心率变化幅度”，的函数解析式，并求达到“心率变化幅度”最大值的次数． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若，恰有个不同的实数，使得（其中，且），则称为的“重复射函数”． （1）试判断函数是否为，的“2重复射函数”？请说明理由； （2）已知函数，，且，若是的“2重复射函数”，求实数的取值范围； （3）记为不超过的最大整数，如，，．设函数，，且，，若存在，使得为的“2026重复射函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期高一期末质量监测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级填写在答题卡上．将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵∴ 又∵∴故选B； 【考点】：此题重点考察集合的交集，补集的运算； 【突破】：画韦恩氏图，数形结合； 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 3. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分类讨论，分析函数的单调性，即可判断. 【详解】当时， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，选项A符合； 当时，在，上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在，上单调递增，故当时，选项B符合； 当时，，定义域为，选项C符合； 综上可得无论为何值，D选项均不符合题意. 故选：D． 4. “幂函数为单调递增函数”的一个充分不必要条件为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】举反例可判断ACD，从充分性，必要性两个方面说明选项B即可. 【详解】因幂函数为单调递增函数，故，即，则的定义域为， 对于A：若取 ，则 ，函数 在上单调递减， 故“，”不是“幂函数为单调递增函数”的充分条件，故A错误； 对于B：由，，可得，则幂函数在上单调递增，充分性成立； 若取 ，函数 在上 单调递增，由  ，这与矛盾，即必要性不成立， 故“幂函数为单调递增函数”的一个充分不必要条件为“，”，即B正确； 对于C：若取 ，则 ，函数 定义域为，在上递增， 又由，知为偶函数，故在  上递减， 故“ ，”不是“幂函数为单调递增函数”的充分条件，故C错误； 对于D：取 ，则 ，由选项C知 “ ，”不是“幂函数为单调递增函数”的充分条件，故D错误. 故选： B 5. 已知函数为奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，代入求解即可． 【详解】因为函数为奇函数．且当时，， 所以，即， 解得． 故选：C． 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数平方关系和两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又，代入， 可得，故， 所以， 故选：A 7. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用均值不等式即可求解. 【详解】由题意得：， 当，即时，等号成立， 故选：D. 8. 已知函数且关于的方程有4个实数解，，，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出对数函数与二次函数的图象，结合图象的单调，进而求得，由二次函数的对称性可知，且，计算，根据，，解得范围. 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的图象如下， 由图象可知，易知，且， ，且，即，， 由二次函数的对称性可知，且，， 又，，， 由题意，显然有，易知， 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再结合诱导公式、二倍角公式和两角和的正切公式逐一判断即可. 【详解】角的终边经过点，故根据三角函数的定义可知， 当时，； 当时，， 对于A，当时，，故A错误， 对于B， ，故B正确， 对于C，当时，； 当时，，故C正确. 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10. 多项选择题：为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D. 先将横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的知识进行分析，逐项确定正确答案. 【详解】选项A，先向左平移个单位长度，， 再将横坐标缩短到原来的，，故A正确； 选项B，先向右平移个单位长度，， 再将横坐标缩短到原来的，，故B错误； 选项C，先将横坐标缩短到原来的，，再向左平移个单位长度， ，故C正确； 选项D，先将横坐标缩短到原来的，，再向右平移个单位长度， ，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知实数，，使得，则，，的大小关系可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】记，则，根据指对互化可得，，，根据的取值情况逐项验证即可得结论. 【详解】记，则，所以，，， 对于A：当，得，，，则有，即选项A正确； 对于B：令，得，， ，则有，即选项B正确； 对于C：令，得，，， ， 则有，即选项C正确； 对于D：若，则， ，且， ，， 整理得，即， 注意到，且， 不可能成立，选项D错误， 综上所述，，，的大小关系可以为或或. 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数，对数运算法则计算即可. 【详解】由题，. 故答案为： 13. 已知某扇形的周长为8，且面积为4，则其半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形的面积，周长公式列方程，解方程即可. 【详解】设扇形的半径为 ，弧长为 ， 由题意得：， 由式得：，代入式得： ， 化简得：， 解得：. 故答案为：2 14. 已知，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题可得，构造函数，由其单调性可得，由求解. 【详解】由，得， 令函数，， 任取，则，且，， ，即在单调递增. 由，可知，， ，， ， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合A，根据补集和交集的概念求解； （2）分和讨论求解. 【小问1详解】 不等式等价于，解得，所以， 若，，，或， 所以． 【小问2详解】 由，则有当时，则，解得； 当时，则解得， 综上所述，实数的取值范围为． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及曲线的对称中心； （2）求在区间上的单调递增区间． 【答案】（1）1， （2）和． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得，利用求出，令，进而得的对称中心； （2）由，得，令，或，解出即可求解. 【小问1详解】 由题可知，， ，，， 令，可得， 曲线的对称中心为； 【小问2详解】 ，，， 令，或，解得，或， 在上的单调增区间为和． 17. 已知函数的定义域为． （1）请用单调性定义证明：为单调递减函数； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 任取，规定， 则 ， 因为，所以， 且， 所以，即， 即，所以函数为上的单调递减函数． （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性定义证明函数在单调递减即可； （2）将不等式恒成立进行转化，然后构造新函数利用函数单调性得出相应的不等式恒成立，再利用基本不等式求最值即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，恒成立， 即恒成立， 令函数，， 因为函数为上的单调递减函数， 且也为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数， 由恒成立， 等价于不等式恒成立， 因为为上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 且， 令，所以问题转化为， 由，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 18. 深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，. （1）求的解析式； （2）已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长； （3）已知运动监测中常将相邻固定时间间隔的心率差值定义为“心率变化幅度”，用以评估体能状态，求“心率变化幅度”，的函数解析式，并求达到“心率变化幅度”最大值的次数． 【答案】（1） （2）43分钟 （3），，5 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的性质并结合题意即可求出的解析式； （2）利用（1）中的解析式并根据题意列出和，解出不等式即可求出； （3）根据题意把数据代入化简即可得到的函数解析式，再利用正弦型函数的性质即可求出取得最大值. 【小问1详解】 “匀速跑心率上升”阶段，时为最低心率60次／分钟，时为最高心率150次／分钟，且振幅为45次／分钟，周期为120，且，，解得， ，，又，， ，． “冲刺跑心率波动”阶段，，，显然， ，， 又，且当时，心率呈上升趋势，， ，， 综上所述， 【小问2详解】 “匀速跑心率上升”阶段， 的最大值为150，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟， 只需，即， ，，，由解得， “匀速跑心率上升”阶段的“高效燃脂区间”内的运动时长约为分钟， “冲刺跑心率波动”阶段，由（1）可知的最小值为140， 只需，即， 不难知道一个周期内的非“高效燃脂区间”内的运动时长占比为， 一个周期内的“高效燃脂区间”内的运动时长为， 共有3个周期，则有20分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长， 综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为43分钟． 【小问3详解】 由题意可知，当时， ，， 当时，取得最大值， ，且， ， 达到“心率变化幅度”最大值的次数为5． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若，恰有个不同的实数，使得（其中，且），则称为的“重复射函数”． （1）试判断函数是否为，的“2重复射函数”？请说明理由； （2）已知函数，，且，若是的“2重复射函数”，求实数的取值范围； （3）记为不超过的最大整数，如，，．设函数，，且，，若存在，使得为的“2026重复射函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是，理由： 取，则，方程仅有唯一解，不满足恰好存在2个不同的实数解， 不是的“2重复射函数”． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据重覆盖函数的定义进行判断； （2）分情况讨论分段函数的解的个数，结合二次函数性质求解； （3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在区间上单调递增，其值域为， 对任意，方程需恰好有两个不同的实数解， ①当时，在区间上的值域为， 由于，故方程在区间上无实数解； 方程的两个解为，，且， 这两个解均满足， 方程在区间上有两个不同的实数解，符合题设要求， ②当时，方程的解为， 且方程的解为，， 若，则方程在区间上无实数解， 方程在区间上恰有两个实数解，， 当时，，这与矛盾， 不符合题设要求，， 即，，， 此时，方程在区间上的解为， 方程在区间上恰有一个实数解为， ，，所以， 又，， 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 ，， 且当时，，的最大值为， 易知当时，， 当且仅当时，即时，， 由， 作出的图象（部分）如图， 易知，若存在，使得为的“2026重复射函数”， 等价于，方程在区间上恰有2026个实数解， ，即存在，使得不等式成立， ，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $