精品解析：广西南宁市2025-2026学年秋季学期义务教育质量调研八年级数学试题

2025～2026学年秋季学期义务教育质量调研 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列南宁市建筑标志中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 3. 下列式子是分式的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，是外角，，，则是（ ） A. B. C. D. 5. 北斗卫星使用星载铷原子钟和星载氢原子钟，通过将原子辐射电磁波作节拍器计时，精度可以达到每天纳秒．数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7. 化简式子结果是( ) A. 1 B. C. D. 8. 等腰三角形的顶角为，则它的底角度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平分，是上的一点，过点作，垂足为，，则点到的距离是( ) A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 10. 如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（ ）． A. B. C. D. 11. 某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配40辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同．设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 将一张正方形纸片按图①，图②折叠得到图③，然后剪掉图③中的阴影部分，将剩余纸片展开铺平后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. ______． 14. 分解因式： ＝ ______． 15. 计算：___________． 16. 如图，在中，点为边上的两点，，，，垂足分别为，且，若，则______（结果用含的式子表示）． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）写出的坐标． 20. 如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 21. 月历中有很多奥秘，让我们一起来探索吧． （1）如图是年月的月历，任意选择的方框，框内的数字用，，，表示（如图），我们发现的值存在某种规律．例如：，，……．不难发现，结果都是． ①用含字母的式子表示：______，______，______； ②猜想：所有月历中方框内的数字满足，请证明猜想； （2）如果，，，表示月历中某4天日期，其中，对于任意一个实数，等式恒成立，那么，，，这4个日期被称为幸运日期群．试证明； （3）在（2）的条件下，当时，请直接写出所有符合条件的幸运日期群． 22. 在数学课堂中，同学们以特殊三角形为背景，探究动点问题． 直线，点在直线上，过点作，垂足为．点从点出发，沿着射线方向运动．连接，在的右侧作等边三角形． 【特例感知】（1）如图1，当点与点重合时，______； 【操作探究】（2）如图2，当时，按照以下步骤尺规作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②连接，； ③作直线，交直线于点； ④连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点； ⑤连接． 根据以上操作可直接得到，______，______；求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，保留（2）中得到的点，连接．在点的运动过程中，当线段的长最小时，点到初始位置的距离与有怎样的数量关系？并说明理由． 23. 综合与实践 在活动课上，同学们利用厚度相同的木条制作裱框装裱字画． 设计裱框 材料 有4根木条，其中，2根是相同的宽木条如图1，宽度都是，，，； 另2根是相同的窄木条如图2，宽度都是，，，，且． 方案 用宽木条制作左右边框，用窄木条制作上下边框． 效果图 操作示意图 操作步骤 ①如图5，将4根木条中阴影部分的三角形裁切掉，得到长方形； ②再将长方形木条拼接成如图3所示的裱框． ①如图6，将两根木条的顶点重合，延长交于点，连接； ②如图7，将窄木条沿平移，使得重合．延长交于点，交于点，连接；沿将和（阴影部分）裁切掉； ③如图8，将剩余的木条拼在一起，与恰好紧密贴合，组成直角； ④重复此操作，最后形成如图4所示的裱框，量得内框长． 方案选择 方案测算 （1）在方案一中，图3内框长______； （2）为了验证方案二的合理性，请在图7中证明：，； 问题解决 （3）现有一幅长为，宽为的字画，为了提升装饰感，需在字画四周留有宽度相等的边衬，使得加上边衬后的字画长与宽之比是，请求出边衬的宽度； （4）根据（3）的要求，在两种方案中，选出合适的方案装裱字画，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年秋季学期义务教育质量调研 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3.不能使用计算器．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列南宁市建筑标志中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2. 在中，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键；利用三角形内角和定理，结合，判断三角形类型． 【详解】解：∵，且三角形内角和为， ∴，即和均为锐角，但为钝角， ∴是钝角三角形； 故选：A． 3. 下列式子是分式的是（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果，表示两个整式，并且中含有未知数，那么式子叫做分式是解题的关键． 根据分式的定义逐一辨别即可求解． 【详解】解：选项A，代数式的分母含有未知数，是分式，故符合题意； 选项B，代数式是整式，故不符合题意； 选项C，代数式是整式，故不符合题意； 选项D，代数式的分母不含有未知数，是整式，故不符合题意． 故选：A． 4. 如图，是的外角，，，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵是的外角，若，， ∴， 故选：D． 5. 北斗卫星使用星载铷原子钟和星载氢原子钟，通过将原子辐射电磁波作为节拍器计时，精度可以达到每天纳秒．数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 先确定及值即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 6. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 7. 化简式子的结果是( ) A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查约分，通过约去公因式简化分式即可． 【详解】∵， ∴化简结果为， 故选：C． 8. 等腰三角形的顶角为，则它的底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和定理计算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴两个底角之和为， 又∵两个底角相等， ∴每个底角为， 故选：． 9. 如图，平分，是上的一点，过点作，垂足为，，则点到的距离是( ) A. 8 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可知点P到的距离和到的距离相等，从而得解． 【详解】解：过点P作于点F， ∵平分，，， ∴，即点到的距离是3， 故选：D． 10. 如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图可将阴影部分面积看成两个正方形的面积差，即， 根据图可将阴影部分面积看成一个长为，宽为的长方形面积，即． ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：B． 11. 某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配40辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同．设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．根据题意，技术升级后每天多装配40辆，因此升级后效率为辆/天，时间等于工作总量除以效率，由现在装配500辆与升级前装配400辆时间相等，列出方程． 【详解】解：设技术升级前每天装配x辆汽车，则升级后每天装配辆， ∵ 升级前装配400辆所需时间为，升级后装配500辆所需时间为，且时间相等， ∴． 故选：C． 12. 将一张正方形纸片按图①，图②折叠得到图③，然后剪掉图③中的阴影部分，将剩余纸片展开铺平后得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠问题-剪纸，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：按照图中的顺序进行操作，将剩余纸片展开铺平后得到的图形是 ． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键；根据零指数幂法则，任何非零数的零次幂都等于1，然后问题可求解． 【详解】解：根据零指数幂法则，对于任意非零数，有， 因此； 故答案为：1． 14. 分解因式： ＝ ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法即可分解． 【详解】， 故答案：． 【点睛】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解． 15. 计算：___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同分母分式的运算法则进行计算，再对分子提取公因数，然后进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 16. 如图，在中，点为边上的两点，，，，垂足分别为，且，若，则______（结果用含的式子表示）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，又，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先计算多项式除以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 18. （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解与分式的化简求值，熟练掌握分式方程的解法与分式的运算法则是解题的关键． （1）利用“去分母”将分式方程转化为整式方程，求解后需检验根的有效性； （2）先通过因式分解、约分对分式进行化简，再代入数值计算结果． 【详解】解：（1）， 方程两边同时乘以得，， ∴， ∴， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解是． （2）解：原式， 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）写出的坐标． 【答案】（1）画图见详解； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称变换，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点，纵坐标不变、横坐标互为相反数的规律，分别确定，，三点的对称点，，，再依次连接即可得到； （2）直接利用关于轴对称的坐标变化规律，写出的坐标； 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：由图可得，，． 20. 如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求长度． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据平行线的性质得出，结合已知条件证明 （2）根据全等三角形的性质可得，进而得出，根据，且，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ． 在和中， ． 【小问2详解】 解：， ． ，， ． ，且， ． 21. 月历中有很多奥秘，让我们一起来探索吧． （1）如图是年月的月历，任意选择的方框，框内的数字用，，，表示（如图），我们发现的值存在某种规律．例如：，，……．不难发现，结果都是． ①用含字母的式子表示：______，______，______； ②猜想：所有月历中方框内的数字满足，请证明猜想； （2）如果，，，表示月历中某4天日期，其中，对于任意一个实数，等式恒成立，那么，，，这4个日期被称为幸运日期群．试证明； （3）在（2）的条件下，当时，请直接写出所有符合条件的幸运日期群． 【答案】（1）①，，；②见解析； （2）见解析； （3），，，或，，，． 【解析】 【分析】本题考查了新定义题，多项式乘多项式的应用、因式分解的应用，能够理解题意是解题的关键． （1）①结合图和图即可求解；②将①得出的代数式代入即可证明； （2）先将化简，根据恒成立，得出一次项的系数为，即可证明； （3）根据（2）得到，结合，推出，再代入，化简得，根据取值范围进行求解即可． 【小问1详解】 解：①结合图和图可得，，，； ②证明：， ， ， ， ∴所有月历中方框内的数字满足； 【小问2详解】 证明： ， ， ， ∵等式恒成立， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵由（2）得：， ∵， ∴，即， ∴， ， ， ， ∵，，， ∴， ∵，为整数，且，， ∴当，，即，，，成立； 当，，即，，，成立； 当，，即，不成立； 当，，即，不成立； 综上，符合条件的幸运日期群有，，，或，，，． 22. 在数学课堂中，同学们以特殊三角形为背景，探究动点问题． 直线，点在直线上，过点作，垂足为．点从点出发，沿着射线方向运动．连接，在的右侧作等边三角形． 【特例感知】（1）如图1，当点与点重合时，______； 【操作探究】（2）如图2，当时，按照以下步骤尺规作图： ①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； ②连接，； ③作直线，交直线于点； ④连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交直线于点； ⑤连接． 根据以上操作可直接得到，______，______；求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，保留（2）中得到的点，连接．在点的运动过程中，当线段的长最小时，点到初始位置的距离与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2），，；（3），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质和垂直的性质求解即可； （2）根据作图步骤即可得到，，根据垂直性质和平行性质结合，可推出为等腰直角三角形，结合等边，求出，再判定直线是的垂直平分线，得到，根据外角求解即可； （3）连接，交于点，结合等边的性质证明，推出当时，有最小值，再求出，最后根据所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：（1）∵等边三角形， ∴， ∵，点与点重合， ∴； （2）由步骤①②可知，由步骤④可知； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∴． ∵，， ∴点，在线段的垂直平分线上． ∴直线是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）如图，连接，交于点． ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴． ∵在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∵过点有且只有一条直线与垂直， ∴点在射线上运动． ∴当时，有最小值． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质、全等的判定和性质、垂线段最短的性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟练掌握数形结合思想是解题的关键． 23. 综合与实践 在活动课上，同学们利用厚度相同的木条制作裱框装裱字画． 设计裱框 材料 有4根木条，其中，2根是相同的宽木条如图1，宽度都是，，，； 另2根是相同的窄木条如图2，宽度都是，，，，且． 方案 用宽木条制作左右边框，用窄木条制作上下边框． 效果图 操作示意图 操作步骤 ①如图5，将4根木条中阴影部分的三角形裁切掉，得到长方形； ②再将长方形木条拼接成如图3所示的裱框． ①如图6，将两根木条的顶点重合，延长交于点，连接； ②如图7，将窄木条沿平移，使得重合．延长交于点，交于点，连接；沿将和（阴影部分）裁切掉； ③如图8，将剩余的木条拼在一起，与恰好紧密贴合，组成直角； ④重复此操作，最后形成如图4所示的裱框，量得内框长． 方案选择 方案测算 （1）在方案一中，图3的内框长______； （2）为了验证方案二的合理性，请在图7中证明：，； 问题解决 （3）现有一幅长为，宽为的字画，为了提升装饰感，需在字画四周留有宽度相等的边衬，使得加上边衬后的字画长与宽之比是，请求出边衬的宽度； （4）根据（3）的要求，在两种方案中，选出合适的方案装裱字画，并说明理由． 【答案】（1）46；（2）见解析；（3）留白部分的宽度应该是；（4）选择方案二，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平移性质、全等三角形的判定与性质、分式方程的应用、平行线的性质等知识，理解题意是解答的关键． （1）根据方案一中图形和已知求解即可； （2）延长交于点，根据题意可知，，证明，可得，； （3）设留白部分的宽度为，根据题意列出分式方程求解即可； （4）根据内框的长、宽的长度，结合木条规则可作出结论． 【详解】解：（1）图3的内框长为， 故答案为：46； （2）延长交于点， 根据题意可知，两根木条是等宽的，即，， ， ． ， ． 根据平移的性质得：， ． 同理可得：． 在和中， ， ． ，． ， ． （3）设留白部分的宽度为， 根据题意得：，解得：． 检验：当时，．所以，原分式方程的解为． 答：留白部分的宽度应该是． （4）选择方案二． 方案二内框长、宽符合条件；方案一内框长，不符合条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $