福建莆田市2025-2026学年高三上学期1月质量检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知i为虚数单位，若3-一i,则= A.1+3i B.1-3i C.-1-3i D.-1+31 2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(s,t)在C上，且|PF=3,O为原点，则|OP|= A.4 B.6 C.22 D.25 3.印刷电路板(PCB)是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到 2021-2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88,3.84,4.16,4.46,4.71，则这5个数 据的40%分位数是 A.4.00 B.4.02 C.3.84 D.3.88 4.若向量a=(-1,2),b-a=(3,0),记0=(a,b〉，则cos20= A.0 B.10 10 10 c-号 D 5.已知正数x,y满足x+y=xy,则x+4y的最小值为 A.7 B.9 C.6 D.8 6在△ABC中，内角A,B.C的对边分别为a6,c若a=4.A=子sinB叶smC-35,则x 4 A.16 B.20 c号 n.号 【高三1月质量检测·数学第1页（共4页）】 FJ 7.已知正四面体ABCD各条棱的中点都在球O的表面上，则球O的表面积与该正四面体的表面积之 比为 A B.23x C.3r 3 36 D. 8.若函数f(x)=ae十bx2存在极大值点x1和极小值点x2,<x2,其中a,b都是实数，则 A.ae+b<0 B.a(e-1)+2b0 C.2a+b<0 D.2a+b(e-2)<0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合M={1,2},若集合N满足M∩N=☑，则N可以是 A.{x|x2-x≤0 B.{xx2+2x=0} c{=1-》 D.{x|x=3m-1,n∈Z} 10.若(-1+x)7=ao十a1x十a2x2+…十a6xi十ax7,则 A.la:1=126 B.a≤a3(i=0,1,2,3,…,7)》 C.从ao,a1,…,a?这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D.从ao,a1,a2,…,a7这8个数中任取3个，这三个数的和等于a,a1,a2,…,a,中某数的取法有28种 11.已知定义域与值域均为R的函数f(x)满足Hx1,x2∈R,f(f(x1一x2))=f(21)+f(-2x2)一1， 且f(0)=一1，则 A.f(-1)=-3 B罩0=A02 C.]k∈R,g(x)=f(x)十k是奇函数 D.彐k∈R,g(x)=∫(x)+kx满足g(x十1)=g(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知2=3,3=5，用a,b表示lg5= 18已知双曲线C后-苦=1a>06>0,记6=V后+不，C经过点P(e),Qc)(f),且 PQ=√2OP(O为原点)，则C的离心率为 14.若函数f(x)=la+sin+la一sinx-a号有零点，则实数a的取值范围是 【高三1月质量检测·数学第2页（共4页）】 FJ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 已知数列{a,}的前n项和Sn=3一3a (1)证明：{a,}是等比数列； (2)若，号s,分别是等差数列{6.}的第1项与第3项，求么，}的公差d. 16.(本小题满分15分) 已知椭圆C:若+芳=1。>6>0)的短轴长为2，点M(-1,受)在稀圆C上 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线1：y=x十m(m>0)与椭圆C相交于A,B两点.O是坐标原点，△OAB的面积是，求实 数m的值. 17.(本小题满分15分) 如图，四棱锥E-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB,△BCE是正三角形，BF=5, 三棱锥F-BCE的体积是四棱锥E-ABCD体积的号 (1)求证：平面ABE⊥平面BCE; (2)求直线CF与平面ADE所成角的正弦值. 【高三1月质量检测·数学第3页（共4页）】 FJ 18.(本小题满分17分)》 春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入 n(n≥2，n∈N)张大小形状完全相同的卡片，其中有m(1≤m<n,m∈N*)张卡片上标有“恭喜中 奖”，其余都标有“谢谢参与” (1)若=10，m=2,每位顾客可以一次性抽取2张卡片，每张“恭喜中奖”卡片可以兑换精美礼品 1份.现顾客甲参加抽奖活动. (ⅰ)在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率； (ⅱ)设顾客甲获得的精美礼品的份数为X,求X的分布列与方差； (2)商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取 1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回抽奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送 精美礼品1份，如果抽取n次仍然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼 品.若顾客乙编号的个位数字是8，记顾客乙抽取的次数是Y,求Y的数学期望. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x一a)ea(a>0). (1)求曲线y=f(x)在x=a处的切线方程； (2)设t>0,证明：对任意s∈（一t,t),都有f(s)<f(t): (3)若数列{满是fx,)≤易证明：立召<n-血十D. 2e 【高三1月质量检测·数学第4页（共4页）】 FJ 高三数学参考答案、提示及评分细则 1.A由3=-i,得=33-1计3就放选A 2.D由抛物线的定义，得|PF|=s十1=3，解得s=2,所以t2=4s=8,所以OP1=√2+平=√4+8=23.故选D. 3.B因为5×40%=2，故这5个数据的40%分位数是将数据从小到大排列后第2个数据(3.88)与第3个数据(4.16)的 平均数4.02.故选B. C由题意，得h=(一1,2+3,0)=2,2D,所以0s0=6二后X2后=日，所以c0s20=2cos0-=2 。-1=一专放选C 5B由+y=,得+}-1，所以十4=(+4)(2+宁)=5++号+2受×号=9，当祖仅当些 二，即x=2y=3时等号成立.故选B. 6C品月C清得血B得，snC冬c所以g+0=9即士c6&b+226osA= 4 2 2一b=(6什c)2一3c,所以bc二b十CQ)一4-6，尘=9，易知此时三角形有解，故选C 3 3 7.D设正四面体的棱长为2a,则表面积为S,=4×.(22=43a2:该正四面体的各条棱的中点构成棱长为a的正八 面休，其各顾点都在半径为导。的球0的表面上，蝴球0的表面积为S=红（号。）广=，所以哈一常-放 选D. 8B由题意知了x)=ac+6x=0有两个实数根a,显然ab≠0，所以名=一元，令g()=名，则g()=。 x<1时，g()>0:x>1时，g()<0,所以gx)的单调递增区间为（一©，1，单调递减区间为1，十∞，g(1)=是，又 g0)=0,所以方程号=一元有两个解1西时，0<一元<号，由面分别是/代)的极大值点与极小值点且< 知fx)的单调递增区间为(-∞，)，(，十o∞)，单调递减区间为(n),所以0<<1<.当x<时，是< -元当a>0,b0时，有f()=ae+2h>0,符合题意，由0<易<己得ae+2<0,又0<e-1<e,所以a(e-1D十 2ae+2b<0.B正确：当a<0,b>0时，有f)=ac+2<0,不合题意.取a=1,b6--e,则元=公，x存在极大值 点和极小值点，但ae+b=0,A错误：取a=1,b=-2,则-元-是，2a+b=0,2a+以e-2》=2-2(e一2》=23-0> O,CD错误.故选B. 9.BC对于A,N={x|0≤x≤1}，则M∩N={1},不满足题意；对于B,N={0,一2}，则M∩N=☑，满足题意；对于C, N={y|y<1},则M∩N=☑，满足题意；对于D,当n=1时，3m-1=2,2∈M∩N,不满足题意.故选BC 10.BCD通项T+1=C(-1)-'x‘,所以a,=C(-1)7-r(r=0,1,…,7),得|a,|=C,所以∑|a|=C+C+…+ C=2-1=127,故A错误；由a,=C(-1)7-r,得a3=C(-1)1=35,a4=C(-1)3=-35,由二项式系数的性质 知a3最大，故B正确；由ar=C7(-1)7-r,得a0,a2,a4,a6为负数，a1,a3,a5,a7为正数，所以从ao,a1,a2,…,a?中任 取2个，这两个数之积为正数的取法有C十C=12种，故C正确；由题意知ao=一1，a1=7,a2=一21，a3=35,a4= -35,a5=21,a6=-7,a=1,所以a6十a=a1十a6=a2十a=a3十a4=0,所以从a0,a1,a2,…,a7中任取3个，其和仍 在该组数据中的取法有4C=24种，又a1十a2十a3=7-21+35=21=a5,a4十a5十a6=-21=a2,a2十a十a6=7=a1, a1十a4十a=一7=a6,所以共有24十4=28种，故D正确.故选BCD. 11.ACD因为Hm1,2∈R,f(f(-2))=f(2x1)+f(-2x2)-1,取=x2=0,得f(f(0)=2f(0)-1,即 f(-1)=-3,故A正确：取x1=x2=号，得f(f0)=f(x)+f(-x)-1,即f(x)十f(-x)=-2,所以 罗0)=-2X2026+f0)=-4053,放B错误：当6=1时g)十g-)=f)+1+f(-)+1=0:所 以当=1时，g(x)是奇函数，故C正确：取=受，=一受，得f(f(x)=2f(x)-1.设f(x)=t,则t的取值范 围是R,且f(t)=21-1,所以f(x)=2x-1.当k=一2时，g(x)=f(x)一2x=-1,所以g(x+1)=g(x)=-1,故 【高三1月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 FJ D正确.故选ACD. 120自2-3-5得a-l爆6=候5，所以m5=ke5=h所以g5-贤品-2产e log,5 6 1log25」 13.1+5 2 由题意，知PQ过C的右焦点F,且PQLOF,易求得PF-任，由PQ1=EOP,得△POF是等楼直角 三角形，OP为斜边，所anOF=an5-吧-会，所以=a,用2-a=0-。-1=0,所以C的商 心率e=1+5 2 14[-号号]①当1a≥1时，/x)=2引a-a号若>1，则fx)=a号>0若<-1.则f)=-3a号 ≥3-号>0，放当a≥1时，f(x)设有零点：@当la<1时，若sn<lal,则-al≤snx<a,f(x） 1al+sinx+la-sinx-a-号=2a-a-号，若)有零点，则2引a-a-号-0，解得a=号，或a=-号；若 |sn>a,则sn>a,或snK-la≤a,若n>a,则了x)=la+snx十nx-a-a一号 =2sin x-a- 若mx<-la,则f)=-a-smx+la-smxa号=-2nxa-号所以fx) 2sm-a一号若有零点，则lsn=(a+号)>a.又a<1,解得-号<a<号.综上a的取值范围 是[-号号] 15.(1)证明：因为Sn=3一3au,所以Sw+1=3一3aw+1,… …1分 两式相减，得a+1=3一3au+1一（3一3a:)=3am一3au+1, 3分 所以a叶1=号，- …4分 又S。=3-3a,得a=S=3-3a1,解得a=, 3 …6分 所以=子，放a,}是首项为子，公比为子的等比数列. an 7分 (2)解：由a)得a=是×(）=(” …8分 6-w=()广-器， ……… …9分 法一：b=6+6as十3S3a3+S4_3as+33a33 2 2 6 6=2 11分 所以数列么的公差d=么-么=子器=高 …… 13分 法二：{6的公差d=-0)=(号s-a）=21-2a)=[1-2x(学)门=品 …13分 16.解：1)因为椭圆C:后+芳=1a>6>0)的短轴长为2. 所以有2b=2→b=1,… …2分 又因为点M(-1,号)在椭圆C上，所以有。十忌=1， 解得a=2, .…4分 可得该椭园的标准方程为二+，y=1. …5分 (2)将直线方程与椭圆方程联立： 学+=1， Ay=x+m, 化简得：5x2+81.x十4(2-1)=0， …7分 因为直线l:y=x十m与椭圆C相交于A,B两点， 所以有△=(8m)2-4×5·4(m2-1)=80-16㎡>0→-√5<m<5, 设A.B,则有十=一西=。 5 …9分 |AB1=1中.l-=EXVa+-4a西=4E后证 5 11分 【高三1月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 FJ 点0到直线1的距离d=号，所以Ss=号AB·1= 2 m/5-m, 13分 由5=告可得号mV=告 即m=1或2，满足m>0,一√5<m<5, 所以实数m的值是1或2.… 15分 17.(1)证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC,设AB与平面BCE所成的角为a, 因为EF∥AB,所以EF与平面BCE所成的角也是a, 所以A到平面BCE的距离为ABsin a,F到平面BCE的距离为EF sin a. …1分 连接AC,因为Vs装维E1D=2V三款E度=2V三楼鞋E= 号ABsin aX SowF.Vww=寸F inaXSm, 由题意知号ABna·SmX音-=子EFsina·SaE,显然sma≠0，所以EF= AB=X4=3, 4 …3分 又BE=4,BF=5,所以BE+EF=BF,所以BE⊥EF,… …4分 因为EF∥AB,所以AB⊥BE, 又AB⊥BC,BC∩BE=B,BC,BEC平面BCE,所以AB⊥平面BCE, …6分 因为ABC平面ABE,所以平面ABE⊥平面BCE.… …7分 (2)解：由(1)知AB⊥平面BCE,ABC平面ABCD, 所以平面BCE⊥平面ABCD.… …8分 分别取BC,AD的中点O,G,连接OE,OG 因为△BCE是正三角形，O是BC边的中点，所以EO⊥BC. 又平面BCE⊥平面ABCD,平面BCE∩平面ABCD=BC,EOC平面BCE, 所以OE⊥平面ABCD,则OB,OG,OE两两垂直.以O为原点，直线OB,OG,OE分 别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,4,0), C(-2,0,0),D(-2,4,0),E(0,0,25),F(0,-3,25), 所以AD=(-4,0,0),A2=(-2,-4,23),C庐=(2，-3,23). …10分 设平面ADE的一个法向量n= (x,y,之)，则 n·AD=0, 1-4x=0, 即 1n·AE=0,即1-2x-4y+25x=0, 令y=5,解得x=0,x=2,所以n=(0,5,2),… 12分 设直线CF与平面ADE所成的角为0，则sm0=京：nml=E=四 1CF11nl5×735 所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为票。 15分 18.解：(1)(i)记顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片为事件A,顾客甲抽中“谢谢参与”卡片为事件B, 则PcA)GSC-若PAB)-C=是 C C451 …2分 所以P(BA)=PCAB2=16 P(A)17, 即在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率为 16 17 …4分 (1)由题意知X的可能取值为0,1,2， 则PX-0-器-器PX=D=e-,PX=》-总= X的分布列为 X 0 1 2 8 16 1 45 45 45 6分 所以E0N)=0×器+1×0+2×结-台 …7分 DX)=(0号)°×器+(1-是)°×+(2-号)×器 …9分 (2)由题意知Y的可能取值为12,3，…，则PY=k)=(”,)(0).1<≤1-1，k∈N, PY=0=(元2）（织）+(）”=(）. 11分 …12分 【高三1月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 FJ 设工1-[k(""）]-1x(,)”+2×(）'+3x(")++(m-D("), 则(0)工-=1×（元）'+2x("")‘+3×(n)'++m-1("”）, 两武相减.得婴T=("元)'+（元）+("，)++("，）-(-1D(2） 1-(”) n 1-”m w学g9y. mm 所以T=是m.("）厂， 15分 [()]+(2）=是.(2)+(）” 所以E(Y)=m岁[ =-"m”.("） 17分 19.(1)獬：因为()=工， …1分 a 所以(a)=e,f(a)=0, 所以曲线y=f(x)在x=a处的切线方程为y=e(x一a). 3分 (2)证明：因为a>0,所以x<0时，f(x)<0,f(x)递减： x>0时，f(x)>0,f(x)递增；… …4分 因为s∈（-t,t),所以0≤s<t,或-t<s0<t, 若0≤s<t,由f(.x)在(0，十∞)上递增得f(s)<f(t)；… …5分 若-t<s<0<t,因为f(x)在（一∞，0）上递减，所以f(s)<f(-t), 要证f(s)<f(t), 只要证f(一t)<f(t).… 7分 设F(x)=f(x)-f(-x),x>0, 则F(x=(x)+f(-x）=工e-工e÷=工(e÷-e÷)>0, 所以F(x)在(0，+∞)上单调递增，所以F(x)>F(0)=0,所以f(一t)<ft). 故f(5)f(t).… …9分 (3)证明：由(2)知，f(x)在(0，+o∞)上单调递增，f(0)=一a<0,f(a)=0, 因为对任意k∈N，一a<一元<0， 所以存在唯一∈（0，a,使得八%)=一希由n)≤元-f代)得≤，晋<普，…10分 首先证明：兰<1一证① h(x)=(x-a)ea-e(x-a), 则(x)=二e女-e递增，因为'(a)=0,所以 当x∈(a,+o∞)时，h'(x)>0,h(x)递增： 当x∈(-∞，a)时，h'(x)<0,h(x)递减， 11分 所以h(x)≥h(a)=0,当且仅当x=a时取“=”， 所以M()=0)一c(一a)=一元一e(%一a)>0,即兰<1-2成 13分 其次证明：名>h为，kEN.② k 设t(x)=x-n(x+1),x>0, 则1)-予>0，所以1（在0，十∞）上单调递增，所以1>0=0， 令=得>h 15分 台a (1++…+)<m-(是+号+…+”) 2e 综上，原不等式得证。… …17分 【高三1月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 FJ