精品解析：宁夏永宁县永宁中学2025-2026学年高三第一次考练数学试卷

永宁县永宁中学2025-2026学年高三年级第一次考练 数学试题 （分值：150分 时长：120分钟） 亲爱的同学们： 考试是一个检索学习成效、促进自我成长的过程.比分数更重要的，是你们为获得这份成绩所付出的努力和所秉持的诚实.请珍惜这个机会，静下心来，认真阅读每一道题目，把你的思考与智慧，工整地书写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果. 【详解】由，可得， 所以. 故选：A 2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的离心率求出，进而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：C 3. 已知将函数的图象向左平移个单位，所得的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移变换求出函数解析式，再利用图象经过的点，求出的表达式即可得解. 【详解】由函数的图象向左平移个单位，得， 又所得函数的图象经过点，则，而， 所以. 故选：C 4. 若直线将圆的周长分为两部分，则直线的斜率为 A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知直线将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为，又圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，即，解得或，所以直线的斜率为或，故选B. 5. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再由点到直线的距离公式判定直线与圆的位置关系，进而由圆的性质分别求出圆上的点到直线距离的最值，即可求得答案. 【详解】该圆的标准方程为，即圆心为，半径， 由，直线l与圆O是相交关系，所以圆O上的点P到直线l的距离， 所以最大距离与最小距离的差是. 故选：C 【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离的最值，还考查了判定直线与圆的位置关系，属于简单题. 6. 若圆与圆外切，则＝（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【详解】依题意可得圆与圆的圆心分别为，，则， 又，且两圆外切，则，得到，解得． 故选：C. 7. 若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到曲线是以为圆心、为半径的圆的一半，然后结合题意绘出满足题意的图象，最后根据图象进行计算即可得出结果． 【详解】因为，即，则， 化简可得， 而，则，即， 即曲线是以为圆心、为半径的圆的一半， 结合题意可绘出图象，如图所示： 当直线过点时，； 当直线与半圆刚好相切时， 圆心到直线距离等于半径，即，解得或（舍去）， 故实数的取值范围是. 故选：B 8. 如图，三棱锥的体积为，该三棱锥的内切球半径为，且平面平面为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合面面垂直的性质可得平面，，设，利用三棱锥的体积公式求出，进而求出的函数关系，再利用导数求出最小值. 【详解】由是的中点，，得， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又，则，设， 于是，，等腰底边上的高 ，于是，， 由，得， 解得，因此， 令，则，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 则当时，，所以的最小值为. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的判定、线面垂直的判定、线面平行的判定定理逐项判断即可. 【详解】对于A： 要判定两平面平行，则需要一平面内的两条相交直线都平行于另一平面才能成立， 而A中直线不一定相交，所以A错误； 对于B： 由于，所以，因为，所以，B正确； 对于C： 因为，所以垂直于平面内的任意直线，而，所以能在内找到与直线平行的直线， 所以，C正确； 对于D： 因为，所以或者,而n⊄α，所以，D正确. 故选：BCD. 10. 下列各式化简结果为的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式、和差倍角的正弦公式、诱导公式等逐项计算即可. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B： ，B错误； 对于C： ，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到直线与所成的角为，而为等边三角形，从而求出异面直线所成角；B选项，由于，而与相交，故B错误；C选项，作出辅助线，得到线线垂直，为二面角的平面角，求出各边长，求出；D选项，证明面面垂直，点到平面的距离等于点到的距离，即，故D正确. 【详解】对于A，如图（1），连接分别为棱的中点，， 则直线与所成的角为，而为等边三角形，则， 故直线与所成的角为，故A正确. 对于B，设为的中点，连接，如图（1），由于，而与相交， 直线异面，故B错误； 对于C，如图（2），记，则，连接， . 又四边形为正方形，， 故为二面角的平面角， 又， 在中，，故C正确. 对于D，平面即平面，显然⊥平面， 又平面，所以平面平面， 故点到平面的距离等于点到的距离，即， 在正方形中易得此距离为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距．根据题意列方程求解． 【详解】令解得：，令解得，由题意得：，解得：． 【点睛】本题主要考查了直线的截距问题，直线方程，令解出，得到直线的纵截距．令解出，得到直线的横截距． 13. 已知圆：和圆：，若点(，)在两圆的公共弦上，则的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】 由两圆方程可得公共弦方程，由点在弦上有，进而结合目标式应用“1”的代换转化为，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意知：圆与圆公共弦方程为，又点(，)在两圆的公共弦上， ∴， 则当且仅当时等号成立， 故答案为：8. 【点睛】本题考查了基本不等式“1”的代换求最值，应用了两圆相交关系求公共弦方程，属于基础题. 14. 设直线被圆所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线的位置关系是______. 【答案】相交 【解析】 【分析】求出直线恒过定点，由圆的性质可得，进而可得点的轨迹是一个以为直径的圆（去除O点），求出该圆的方程，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】直线恒过定点， 由圆的性质可得：，所以中点的轨迹是以为直径的圆（去除O点）， 所以圆心为，半径为， 所以点的轨迹方程为：， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0． ∴＝3． 即2λ2－5λ＋2＝0， ∴λ＝2或． ∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0． (2)由 解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． ∴dmax＝|PA|＝． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求实数的值； （2）若，求的通项公式； （3）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入等式中，根据已知条件计算即可. （2）根据已知条件求出，然后计算并化简，可判定数列是等差数列，进而求得通项公式. （3）先求出公共项为，然后利用裂项相消法进行求和计算. 【小问1详解】 因为. 令，， 得 化简得，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，所以， 两式相减得， 化简得，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 【小问3详解】 数列的项为，数列的项为 公共项需满足，即， 设，则公共项为. 所以 17. 如图，在三棱锥中，平面，为上靠近点的三等分点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到，而要证明线面垂直，则需要证明该直线与平面内的两条相交直线垂直，即证明. （2）先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，根据向量夹角的余弦公式求出结果即可. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以. 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 根据题意，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面与平面的法向量为， 则，. 所以，，令，则，所以. ，令，则，所以. 所以. 18. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 【答案】（1），有两个零点 （2）证明如下： 当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 【解析】 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【小问1详解】 的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，点在轴上方. ①求证：； ②设点在椭圆上，平分，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），且，求的值. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）利用给定的离心率及所过的点列出方程组求出即可. （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可. （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 （i）记，依题意，， 设直线的方程为，代入椭圆方程得：， 则有①，设与的斜率分别为， 则， 所以. （ii）设满足，则②， 将代入②， 并化简得③， 将（2）中①代入③得：， 即，又直线和直线的交点为， 因此满足的点都在以为直径的圆上， 又都在以为直径的圆上，则，是的角平分线， 则，， 于是. 则，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁县永宁中学2025-2026学年高三年级第一次考练 数学试题 （分值：150分 时长：120分钟） 亲爱的同学们： 考试是一个检索学习成效、促进自我成长的过程.比分数更重要的，是你们为获得这份成绩所付出的努力和所秉持的诚实.请珍惜这个机会，静下心来，认真阅读每一道题目，把你的思考与智慧，工整地书写在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 4 2. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知将函数的图象向左平移个单位，所得的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线将圆的周长分为两部分，则直线的斜率为 A. 或 B. 或 C. D. 5. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆与圆外切，则＝（ ） A. 21 B. 19 C. 9 D. 7. 若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，三棱锥的体积为，该三棱锥的内切球半径为，且平面平面为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列各式化简结果为的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方体的棱长为分别为棱的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. C. 二面角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数__________． 13. 已知圆：和圆：，若点(，)在两圆的公共弦上，则的最小值为______. 14. 设直线被圆所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线的位置关系是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点． (1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求实数的值； （2）若，求的通项公式； （3）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，求的值. 17. 如图，在三棱锥中，平面，为上靠近点的三等分点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； （2）证明：当时，． 19. 已知椭圆过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点，点在轴上方. ①求证：； ②设点在椭圆上，平分，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $