6.2 平面向量的运算讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2 平面向量的运算 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则（首尾相连，连首尾） 1.三角形法则与平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 方法 图示 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 知识点二：向量的减法（同起点，连终点，箭头指向被减数） －＝＋(－) 知识点三：向量的数乘运算 1、 向量数乘的定义：实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： 2、 长度与方向规定如下 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 知识点四：向量共线的条件 1、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 2、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点五： 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点六：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点七：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点八：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 考向一 向量的加法运算 1.三角形法则：首尾连，连首尾 2.平行四边形法则：起点相同连对角 【例1-1】（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【例1-2】（23-24高一·上海）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【一隅三反】 1．（25-26河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）向量 （  ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 4（2025北京）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)    (2)   考向二 向量的减法运算 1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减 2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减 【例2-1】（2026湖南）化简（1） （2）； （3）＋． 【例2-2】（25-26高一·上海）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 【一隅三反】 1．（2026吉林）化简得（    ） A． B． C． D． 2．（2025湖南长沙·期中）如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026广东）在中，D为的中点，E为上一点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025山东）已知向量，，，求作和. 考向三 向量的数乘运算 向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，向量，如果有一个实数，使，实数与向量的积的定义知与共线． （3）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （4）有且只有一个实数，使． 【例3-1】（2025海南）化简： (1)；(2)；(3) 【例3-2】（24-25高一下·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-3】（25-26北京顺义）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【一隅三反】 1．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)；(2)；(3)． 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 考向四 线性运算的几何意义 【例4-1】（24-25天津），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（24-25内蒙古）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 考向五 向量数乘的应用---共线（向量） 1.三点共线：证明两个向量共线+两个向量有公共点 2.两个向量平行： 【例5-1】（24-25高一下·重庆·月考）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【例5-2】（2025湖北）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 【一隅三反】 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 3．（2025天津）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 4．（24-25高一下·湖北孝感·期末）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 5．（2026海南）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 考向六 向量的数量积 1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定 2.在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0 【例6-1】（2025河南）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【例6-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【例6-3】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【一隅三反】 1．（24-25高一下·天津·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 2．（25-26甘肃）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 考向七 向量数量积的简单应用 1.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 2.投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 【例7-1】（24-25高一下·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 【例7-2】（24-25高一下·上海·期末）已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为 ． 【例7-3】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例7-4】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 2．（25-26上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 3．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 考向八 向量的三角形不等式 【例8】（23-24高一下·广东佛山·月考）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026上海）下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·天津和平·期中）若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026广西）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 考向九 共线向量的应用-三角形的面积比 【例9-1】（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例9-3】．（23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【一隅三反】 1．（25-26黑龙江）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26广东）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 3．（25-26北京顺义）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26 辽宁 ）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【题组一 向量的加法运算】 1．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 4．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【题组二 向量的减法运算】 5．（2025天津·月考）向量，化简后等于（   ） A． B．0 C． D． 6．（2025江苏常州·月考）（多选）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【题组三 向量的数乘运算】 7．（23-24高一下·江苏·月考）（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【题组四 线性运算的几何意义】 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 10．（24-25高一下·陕西渭南·期中）设是单位向量，，则四边形一定是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 11．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 13．（2025北京·期末）平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·广东汕头·期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 15．（25-26安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【题组五 向量数乘的应用---共线（向量）】 16．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 17．（24-25高一下·福建三明·期末）已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 18．（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 19．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 20．（2026河南）设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 21．（2025湖北）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 【题组六 向量的数量积】 22．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 23．（2026·河北 ）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 24．（25-26黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 25．（25-26江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 26．（2026·贵州毕节）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25福建南平）（多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 28．（2026·河南鹤壁）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 29．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，的夹角为，，，则= . 30．（25-26湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 31．（25-26河北沧州）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 【题组七 向量数量积的简单应用】 32．（24-25山东泰安·月考）若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·北京·月考）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 34．（24-25高一下·天津西青·期末）平面向量，在上的投影为，则 . 35．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【题组八 向量的三角不等式】 36．（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·吉林通化·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·辽宁大连）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 39．（2025·广东）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 40．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 42．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）对于任意三个向量，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B． C． D．若满足，且与反向，则 43．（24-25高一下·广西钦州·月考）对于任意三个向量，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【题组九 共线向量的应用-三角形的面积比】 44．（24-25高一下·安徽滁州·月考）已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26=浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2 平面向量的运算 知识点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则（首尾相连，连首尾） 1.三角形法则与平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 方法 图示 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 2、向量加法的运算律 （1）交换律：； （2）结合律： 知识点二：向量的减法（同起点，连终点，箭头指向被减数） －＝＋(－) 知识点三：向量的数乘运算 1、 向量数乘的定义：实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： 2、 长度与方向规定如下 （1）； （2）①当时，的方向与的方向相同； ②当时．的方向与的方向相反； ③当时，． 3、向量数乘的运算律 设为实数 结合律：； 分配律：， 知识点四：向量共线的条件 1、向量共线的判定定理 是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 2、向量共线的性质定理 若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 知识点五： 平面向量的数量积 1、平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有．并规定与任何向量的数量积为0． 2、如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 如图（2），在平面内任取一点O，作．过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量． 知识点六：向量数量积的性质 设与为两个非零向量，是与同向的单位向量． 1、 2、 3、当与同向时，；当与反向时，．特别的或 4、 5、 知识点七：向量数量积的运算律 1、交换律： 2、数乘结合律： 3、分配律： 知识点八：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 （1）当不共线时，； （2）当同向且共线时，同向，则； （3） 当反向且共线时，若，则同向，；若，则同向，． 考向一 向量的加法运算 1.三角形法则：首尾连，连首尾 2.平行四边形法则：起点相同连对角 【例1-1】（24-25高一下·广东湛江·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 【例1-2】（23-24高一·上海）如图，已知向量、、，作出下列向量； (1)，，； (2)和． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【解析】（1）根据向量加法的平行四边形法则可得，，分别如下图： （2）根据向量加法的平行四边形法则可得和分别如下图： 【一隅三反】 1．（25-26河北·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）向量 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据平面向量加法的三角形法则，可得. 故选：A. 3．（24-25高一下·广东揭阳·月考）对于任意一个四边形，下列式子不能化简为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在A中，； 在B中，； 在C中，； 在D中，． 故选：C. 4（2025北京）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． (1)     (2)   【解析】（1）作，，以、为邻边作，， 则即为所求作的向量. （2）作，，以、为邻边作，， 则即为所求作的向量. 考向二 向量的减法运算 1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减 2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减 【例2-1】（2026湖南）化简（1） （2）； （3）＋． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）方法一(统一成加法)： 方法二(利用)： （2）． （3） 【例2-2】（25-26高一·上海）如图，已知向量、、，作出下列向量：    (1)和； (2)和． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【解析】（1）如图所示，在平面内任取一点，作，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则， 作，则．    （2）如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，，则；    如图所示，在平面内任取一点，作，则； 作，则．    【一隅三反】 1．（2026吉林）化简得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C 2．（2025湖南长沙·期中）如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 故选:A. 3．（2026广东）在中，D为的中点，E为上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，D为的中点，所以， 所以.故选：D. 4．（2025山东）已知向量，，，求作和. 【答案】详见解析 【解析】由向量加法的三角形法则作图： 由向量三角形加减法则作图： 考向三 向量的数乘运算 向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，向量，如果有一个实数，使，实数与向量的积的定义知与共线． （3）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （4）有且只有一个实数，使． 【例3-1】（2025海南）化简： (1)；(2)；(3) 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）； （2）； （3） 【例3-2】（24-25高一下·江西上饶·月考）“”是“实数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为或，， 所以“”是“实数”的必要不充分条件.故选：B 【例3-3】（25-26北京顺义）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【解析】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·江苏淮安·月考）化简下列向量运算； (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）. （2）. （3）. 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）. A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误.故选：ACD 考向四 线性运算的几何意义 【例4-1】（24-25天津），点P在边AB上，，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 依题意，. 答案：B. 【例4-2】（24-25高一下·吉林长春·月考）在中，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，由，得，所以. 故选：C 【一隅三反】 1．（24-25内蒙古）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】平行四边形中， 由，，得， 所以.    故选：D 3．（24-25高一下·湖北·期中）如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点， 则，， 所以. 故选：A． 4．（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的线性运算可知. 故选：C. 考向五 向量数乘的应用---共线（向量） 1.三点共线：证明两个向量共线+两个向量有公共点 2.两个向量平行： 【例5-1】（24-25高一下·重庆·月考）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)9. 【解析】（1）由，，， 所以，所以， 所以、共线，且有公共点B，所以A，B，D三点共线. （2）由，且，所以，即， 所以，所以，所以实数的值为9. 【例5-2】（2025湖北）已知两个非零向量，不共线，若，，，且A，B，C三点共线，则 . 【答案】 【解析】由已知可得， ， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 则，即且，解得. 故答案为： 【一隅三反】 1．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为 ． 【答案】3 【解析】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解析】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 3．（2025天津）若向量，不共线，且向量，同向共线，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】因为向量，共线， 所以，解得或， 当时，向量与方向相反，不满足， 当时，向量与方向相同，满足， 故. 故选：B 4．（24-25高一下·湖北孝感·期末）已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【解析】与反向共线，则存在实数k使（）， 于是， 由于，不共线，所以有，整理得，解得或. 又因为，所以，故. 答案：B 5．（2026海南）设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为，所以与共线. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线. （2）因为和共线，所以存在实数，使. 因为，是两个不共线的向量，所以，所以. 考向六 向量的数量积 1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定 2.在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0 【例6-1】（2025河南）已知向量满足，且与的夹角为，则（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【解析】根据题意，.故选：C 【例6-2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）向量满足，向量与的夹角为，则（    ） A．0 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 【例6-3】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】,故选：A. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·天津·月考）若向量，满足，与的夹角为60°，则等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】.故选：A. 2．（25-26甘肃）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，, 又，，，解得， 又，，故选：C 3．（25-26高一上·北京海淀·期末）已知与的夹角为，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，， 与的夹角为 ， 所以， ， ， 故选：A 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期中）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则 ． 【答案】 【解析】． 故答案为: . 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ． 【答案】6 【解析】向量，且与的夹角为，则， .故答案为：6 考向七 向量数量积的简单应用 1.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为． 2.投影向量是一个向量，当对于任意的，都有． 【例7-1】（24-25高一下·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 【答案】/0.5 【解析】由题可知：向量在向量上的数量投影.故答案为： 【例7-2】（24-25高一下·上海·期末）已知，，与的夹角为，则在上的数量投影为 ． 【答案】 【解析】由，，与的夹角为，得， 则， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 【例7-3】（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 【例7-4】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，， 则， 于是，向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 【一隅三反】 1．（25-26高一·上海·假期作业）设为单位向量.若向量满足：，向量与向量的夹角为，则在方向上的投影为 【答案】 【解析】向量在方向上的投影为：. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向量满足，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【解析】 ， 则在方向上的数量投影为. 故答案为： 3．已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 4．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 考向八 向量的三角形不等式 【例8】（23-24高一下·广东佛山·月考）已知平面内任意两个向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当向量同向或至少有一个为零向量时，，故A错误； 当时，，故BC错误； 若，为共线向量且方向相同，则有， 若向量方向相反，则有. 若，不共线，如图，令，，则， 所以， 综上，故D正确. 故选：D. 【一隅三反】 1．（2026上海）下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当与的方向相同时，有，故A不正确； 当与的方向既不相同也不相反时，有，所以，故C正确；D不正确； 当与的方向相反时，有，若，则能成立，故B不正确. 故选：C. 2．（24-25高一下·天津和平·期中）若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 3．（2026广西）已知、为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若，则与方向相同；②若，则与方向相反； ③若，则与有相等的模；④若，则与方向相同． 【答案】①②④ 【解析】对于①，若，则与方向相同，①对； 对于②③，若，则与方向相反，②对③错； 对于④，若，则则与方向相同，④对. 故答案为：①②④. 考向九 共线向量的应用-三角形的面积比 【例9-1】（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，即， 所以与的面积之比为.故选：C 【例9-2】（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D 【例9-3】．（23-24高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 【一隅三反】 1．（25-26黑龙江）在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得,即, 令是的中点，则,所以所以∥，所以, 即    故答案为：D. 2．（25-26广东）已知点为内一点，满足，若，则（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】如图， 设，作平行四边形，对角线与底边相交于点， 则，则共线， 因为，故，则， 又，故，则， ，即， 故选：B 3．（25-26北京顺义）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 4．（25-26 辽宁 ）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 【题组一 向量的加法运算】 1．（25-26高一上·北京昌平·期末）如图，点为正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 2．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正六边形中，是其中心．则： ① ； ② ； ③ ． 【答案】 【解析】①． ②． ③． 故答案为：；；. 4．（24-25高一·上海·随堂练习）给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中等式成立的个数为 ． 【答案】3个 【解析】，①对； ，②对； ，③错； ，④对． 故答案为：3个. 【题组二 向量的减法运算】 5．（2025天津·月考）向量，化简后等于（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】， 故选：C 6．（2025江苏常州·月考）（多选）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，不正确. 故选：ABC. 【题组三 向量的数乘运算】 7．（23-24高一下·江苏·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面向量的线性运算可得. 故选：C. 8．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，， 所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系， 故选：B． 【题组四 线性运算的几何意义】 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解析】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A 10．（24-25高一下·陕西渭南·期中）设是单位向量，，则四边形一定是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【解析】由，得，， 所以四边形一定是菱形.故选：B 11．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， . 故选：B 12．（24-25高一下·甘肃天水·期末）在正方形中，点在边上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正方形中，，即， 则. 故选：A.    13．（2025北京·期末）平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意：是的中点，点是的一个三等分点， ∴. 故选：D. 14．（24-25高一下·广东汕头·期中）在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选：D. 15．（25-26安徽·月考）在中，点在上，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知. 故选：C 【题组五 向量数乘的应用---共线（向量）】 16．（24-25高一下·山东泰安·期末）已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【解析】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 17．（24-25高一下·福建三明·期末）已知向量不共线，向量，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【解析】由题意，设，则， 则，解得. 故选：B. 18．（24-25高一下·北京通州·期中）已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】D 【解析】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 19．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 20．（2026河南）设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【解析】（1）证明：由已知，得＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2. 因为＝2e1－8e2，所以. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． （2）由（1）可知＝e1－4e2.因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12. 21．（2025湖北）判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)A，B，C三点共线，理由见解析 【解析】（1）， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，D三点共线. （2） ， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，C三点共线. 【题组六 向量的数量积】 22．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为. 故选：B. 23．（2026·河北 ）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 24．（25-26黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 25．（25-26江西·月考）已知向量和为单位向量，且 ，则向量 和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设单位向量与的夹角为，可得 因为，可得， 解得，又因为，所以. 故选：B. 26．（2026·贵州毕节）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 27．（24-25福建南平）（多选）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 28．（2026·河南鹤壁）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数 ． 【答案】4 【解析】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 29．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，的夹角为，，，则= . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 30．（25-26湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【解析】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 31．（25-26河北沧州）已知向量，满足，，且，的夹角为，则 ． 【答案】 【解析】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 【题组七 向量数量积的简单应用】 32．（24-25山东泰安·月考）若向量在向量上的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量在向量上的投影向量为，所以，所以， 又，所以，即， 所以，所以，所以. 故选：A 33．（24-25高一下·北京·月考）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】， , 又 为三角形内角，是钝角，即是钝角三角形.故选：C. 34．（24-25高一下·天津西青·期末）平面向量，在上的投影为，则 . 【答案】 【解析】在上的投影为，则，所以， 故答案为：． 35．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则 . 【答案】/ 【解析】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 【题组八 向量的三角不等式】 36．（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是两个非零向量，且方向相同时，， 当不共线或反向共线时，， 所以是两个非零向量，则，当且仅当a与b共线同向时等号成立. 故选：D. 37．（23-24高一下·吉林通化·月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，所以， 所以， 则，故C正确. 故选：C. 38．（2025·辽宁大连·一模）设单位向量，已知，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】设， 因为单位向量，， 则， 则，等号成立时方向相反， 故的最小值为. 故选：C 39．（2025·广东）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】， 当与同向时取等号， 故选：B 40．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量满足，则，当且仅当同向时取等号； ，当且仅当反向时取等号， 所以的取值范围是. 故选：B 41．（24-25高一下·北京·期中）中，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】，故为的中点， ，故⊥，， ，故三点共线， ，故当两点重合时，取得最小值， 最小值为. 故选：C 42．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）对于任意三个向量，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B． C． D．若满足，且与反向，则 【答案】C 【解析】对于A，由于零向量与任意向量均共线，则当时，不确定的关系，故A错误； 对于B，显然若时，，故B错误； 对于C项，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知，当且仅当两向量共线同向时取得等号，故C正确； 对于D项，由向量的定义知，向量不能比大小，故D错误. 故选：C. 43．（24-25高一下·广西钦州·月考）对于任意三个向量，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若满足，且与反向，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A项，显然若时，，故A错误； 对于B项，根据三角形三边关系及向量加法的三角形法则知， 当且仅当两向量共线时取得等号，故B正确； 对于C项，由向量的定义知，向量不能比大小，故C错误； 对于D项，由于零向量与任意向量均共线，则当时，满足， 但不确定关系，故D错误. 故选：B 【题组九 共线向量的应用-三角形的面积比】 44．（24-25高一下·安徽滁州·月考）已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，过作，， 因，则， 设，则， 则. 故选：A. 45．（24-25高一下·河南·月考）已知的面积为1，为所在平面内一点，且，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得 设，则， ，又为中点，为四等分点， 所以， , 所以的面积为， 故选：D 46．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C 47．（24-25高一下·重庆南岸·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取的中点为，如下图所示： 易知，又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以； 又，所以； 所以与的面积之比为. 故选：C 48．（25-26=浙江温州·月考）点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $