6.3 平面向量基本定理及坐标表示讲义（第一课时）- 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第一课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：平面向量基本定理 【学习目标】 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.(重点) 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点) 【例题精练】 【例1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底； 选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底； 选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底； 选项D：假设两向量共线，则存在实数， 使得，即， 若是基底，故不共线， 系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立， 故两向量不共线，可以作为基底． 【例2】如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理，结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】因为平行四边形中，是的中点，，， 所以 . 故选：D． 【例3】在中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即得. 【详解】依题意， ，又，且不共线， 所以，. 故选：A 【例4】如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，． (1)用，表示，； (2)如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 【答案】(1)， (2)垂直，证明见解析 【分析】（1）根据条件，结合图形，利用向量加法的三角形法则，即可求解； （2）根据条件，利用向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】（1）因为点是的中点，，， 所以，. （2）垂直，证明如下， 由（1）知， 所以，得到. 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，点是平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是 A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．① ④ 【答案】D 【分析】根据基底的定义进行判断，即判断两个向量是否共线即可． 【详解】对于①，由于与不共线，所以可以作为平面的一组基底； 对于②，由于与共线，所以不可以作为平面的一组基底； 对于③，由于与共线，所以不可以作为平面的一组基底； 对于④，由于与不共线，所以可以作为平面的一组基底． 由分析可得① ④中的向量可作为平面的一组基底． 故选D． 【点睛】本题考查平面基底的概念和理解，解题的关键是判断两个向量是否共线，属于基础题． 2．已知向量不共线，实数x，y满足，则x－y的值为（    ） A．3 B．－3 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据向量相等可求出，得出所求. 【详解】， ，解得，则. 故选：A. 3．如图，已知向量的起点相同，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理即可推出结果. 【详解】已知向量的起点相同，则. 故选：D. 4．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】根据重心性质以及平面向量不共线，解出参数即可求得结果. 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 5．矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理及数量积定义计算求解. 【详解】因为，所以， ， 所以. 6．在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 二、多选题 7．在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 三、填空题 8．已知向量不共线，设向量，试用表示__________. 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理，同一个向量在一组基底上的分解是唯一的，故由对应向量系数相等，即可求出。 【详解】设，则，得，解得，所以. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用。 9．如图，在矩形中，为的中点，为的中点.若，则_____    【答案】/ 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，求得，结合，求得的值，即可求解. 【详解】在矩形中，为的中点，为的中点， 由向量的线性运算法则，可得， 因为，所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 10．如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 【B组能力提升】 1．如图，平面内有三个向量，其中与与的夹角为与的夹角为，且若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形，由题意可知，在中，利用边角关系可求出，的长，又，所以，，即可求出结果． 【详解】解：如图所示： ， 过点作和的平行线，与它们的延长线相交，可得平行四边形， 与的夹角为，与的夹角为， ，， 在中，，， 又， ，， ，， ，， ， 故选：． 2．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】如图所示，由，，三点共线，利用向量共线定理可得：存在实数满足，，，，即，与两比较，即可得出． 【详解】解：如图所示， ，，三点共线， 存在实数满足， 又，， ， 即，与两比较， 可得，， 则． 的取值范围是． 故答案为：． 4．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点. (1)试用向量，表示向量，； (2)若，求的值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由即可求出；设，，由向量的线性运算分别得到，，解出，即可求得； （2）利用（1）中结论结合数量积运算律求得，进而得到，即可求解. 【详解】（1）， 设，，则， 又, 所以，解得，所以； （2）， 则，所以，所以，所以. 5．如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线l分别交线段、于E、F两点. (1)用，表示； (2)设，.①求证：；②求的最小值. 【答案】(1) (2)①证明过程见详解；②. 【分析】（1）利用三点共线列出方程，求解即可； （2）①利用向量的线性运算即可证明；②利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由三点共线可得存在实数，使得， 同理由三点共线可得存在实数，使得， 所以，解得， 所以. （2）①设，其中. 所以，则，所以； ②所以，当且仅当时取等号，即时，取得最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3 平面向量基本定理及坐标表示（第一课时） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 训练内容：平面向量基本定理 【学习目标】 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.(重点) 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.(难点) 【例题精练】 【例1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（    ）    A． B． C． D． 【例3】在中，点M，N满足，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在平行四边形中，点是的中点，点分别是的三等分点（，），设，． (1)用，表示，； (2)如果，，那么有什么位置关系?用向量方法证明你的结论． 【A组基础达标】 一、单选题 1．如图，点是平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是 A．① ② B．③ ④ C．① ③ D．① ④ 2．已知向量不共线，实数x，y满足，则x－y的值为（    ） A．3 B．－3 C．0 D．2 3．如图，已知向量的起点相同，则 （    ） A． B． C． D． 4．已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 5．矩形中，，，且，则（    ）． A． B． C．6 D．3 6．在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知向量不共线，设向量，试用表示__________. 9．如图，在矩形中，为的中点，为的中点.若，则_____    四、解答题 10．如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【B组能力提升】 1．如图，平面内有三个向量，其中与与的夹角为与的夹角为，且若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段的延长线与的延长线交于圆O外的一点D，若，则的取值范围是___________. 3．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点. (1)试用向量，表示向量，； (2)若，求的值. 4．如图，在中，，，与的交点为M，过M作动直线l分别交线段、于E、F两点. (1)用，表示； (2)设，.①求证：；②求的最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $