精品解析：重庆江津区2025-2026学年上期期末检测八年级数学试卷

2025—2026学年度上期期末检测 八年级数学试卷 （全卷共三个大题，考试时间：100分钟，分值：150分） 友情提示： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作图（包括做辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 3．作答前请你先通览全卷且认真阅读答题卡上的注意事项．祝你成功！ 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一根的铁丝按下面选项长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列变形是因式分解的是（） A. B. C. D. 5. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 我国科研团队在量子传感技术领域取得重要进展，基于金刚石氮空位（NV）色心自主研发的高灵敏度量子传感器，已实现对极高频电磁波的纳米级探测．该传感器可检测到波长最短约为0.000046毫米的电磁波．已知1毫米米，用科学记数法表示该波长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图1是一个长为、宽为（）的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．能反映拼接前后两个图形面积变化的式子是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：，（其中、为正整数，、、、…、，、、、…为整数，），以下说法正确的有（ ）个． ①与的积最后结果是次整式；②若与的商的结果是整式，则；③若，，关于的方程（为正整数）无解，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为零，则______． 12. 若，则______． 13. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 14. 运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 15. 在中，，，点在边上，如图1，若，则的最小值为______；如图2，将沿折叠，点的对应点恰好落在的角平分线上．于，若，则的长为______． 16. 一个各数位上的数字不完全相同且均不为的四位正整数，若它的千位数字与百位数字之和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和方数”．如“”中，，所以是“和方数”．则最小的“和方数”是______；若“和方数”满足，，且是整数，则满足条件的“和方数”的最大值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，已知，点在的延长线上，按要求完成作图并补全证明过程： （1）尺规作图：过作直线（点与点在同侧）．在射线上截取，使，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 证明： ① 在和中， ④ 20. 如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线． （1）若与的周长差为2，，求的长； （2）若，，求的度数． 21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． （1）作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； （2）连接，则直线与线段的关系是__________； （3）在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 重庆江津是“中国花椒之乡”，某花椒加工厂承接了火锅底料花椒包的包装订单，采用智能包装机与人工包装两种方式配合生产．已知智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，且智能包装机每小时比人工多包装55袋． （1）求人工每小时包装多少袋花椒包？ （2）该加工厂接到紧急订单，需在8小时内完成不少于700袋的花椒包装任务．智能包装机可以8小时连续工作，人工可以配合工作一段时间，求人工至少需要配合工作多少小时? 24. 在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法．请结合几何图形的特征继续深入探究以下问题：已知，如图1，、都是等边三角形，是的中点，建立如图平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为． （1）求点、的坐标； （2）如图2，点为轴上一点，连接、，求的最小值； （3）如图3，点为中点，线段在轴上滑动，且，连接、，请直接写出的最小值． 25. 在中，． （1）如图1，若，在上，，求的度数； （2）如图2，点是外一点，连接、、，若．求证：； （3）如图3，为上一点，点是外一点，连接、、、，与、分别交于点、，若，点为中点，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期期末检测 八年级数学试卷 （全卷共三个大题，考试时间：100分钟，分值：150分） 友情提示： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作图（包括做辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 3．作答前请你先通览全卷且认真阅读答题卡上的注意事项．祝你成功！ 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 把一根的铁丝按下面选项长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了能够构成三角形的条件．根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果，掌握组成三角形的条件是解题的关键． 【详解】解：A、，故不能组成三角形，该选项不符合题意； B、，故不能组成三角形，该选项不符合题意； C、，故不能组成三角形，该选项不符合题意； D、，故能组成三角形，该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算的规则，熟悉包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除的指数运算规则，是解题的关键． 依据运算规则依次计算各选项即可． 【详解】解：选项：，故计算错误，不符合题意； 选项：，故计算错误，不符合题意； 选项：，故计算错误，不符合题意； 选项：，故计算正确． 故选：． 4. 下列变形是因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：选项A:是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； 选项B:是因式分解，符合题意； 选项C:中含有分式,不是因式分解，故不符合题意； 选项D:,不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 5. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 6. 我国科研团队在量子传感技术领域取得重要进展，基于金刚石氮空位（NV）色心自主研发的高灵敏度量子传感器，已实现对极高频电磁波的纳米级探测．该传感器可检测到波长最短约为0.000046毫米的电磁波．已知1毫米米，用科学记数法表示该波长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：0.000046毫米米米， 故选：C． 7. 如图1是一个长为、宽为（）的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．能反映拼接前后两个图形面积变化的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；根据题意直接得出两个图形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图1可知：该图形面积为，由图2可知：该图形的面积为， ∴； 故选C． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 10. 已知：，（其中、为正整数，、、、…、，、、、…为整数，），以下说法正确的有（ ）个． ①与的积最后结果是次整式；②若与的商的结果是整式，则；③若，，关于的方程（为正整数）无解，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘除，分式方程无解问题． 的最高次项为，次数为，故①正确；与的商的结果为整式，要求被除式次数不低于除式次数，说法②正确；求解分式方程得到，根据分式方程无解的两种情况求出或，即不能唯一确定，故③错误． 【详解】解：∵A为m次多项式，B为n次多项式，且， ∴的最高次项为，次数为，故①正确； ∵为整式， ∴被除式的次数不低于除式的次数， ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：， ∵关于的方程（为正整数）无解， ∴且或 ∴且或， ∵为正整数， ∴当时，，此时分式方程无解，此时，故③错误； 综上，正确说法有2个． 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式的值为零，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 将等式左边展开，与右边多项式对比系数，求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解： ． 因为， 所以 所以，常数项． 故， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 14. 运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 15. 在中，，，点在边上，如图1，若，则的最小值为______；如图2，将沿折叠，点的对应点恰好落在的角平分线上．于，若，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由垂线段最短可知，当时，取得最小值，结合角所对的直角边等于斜边的一半，由  可得；②过点作，垂足为，连接，先利用等腰三角形性质得，利用角平分线得出，由三角形内角和定理可得，即，结合可知 垂直平分，故，由折叠性质可知，，从而得，即是等边三角形，因此，由此可得，由得，由三角形外角性质得，因此，最后根据角平分线性质得，即可求解． 【详解】解：①如图，由垂线段最短可知，当时，取得最小值， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作，垂足为，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点落在的角平分线上，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、折叠的性质、线段垂直平分线判定及性质、等边三角形判定及性质、角所对的直角边等于斜边的一半以及角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 16. 一个各数位上的数字不完全相同且均不为的四位正整数，若它的千位数字与百位数字之和的平方等于十位数字与个位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和方数”．如“”中，，所以是“和方数”．则最小的“和方数”是______；若“和方数”满足，，且是整数，则满足条件的“和方数”的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题是一道新定义型的综合题，结合新定义的理解与转化，根据平方数的性质，运用代数化简与整数条件分析最值问题，是解题的关键． 首先，根据“和方数”的定义，即四位数满足，其中均不为且数字不完全相同，求最小时，需使千位数字最小，且为两位数，故取，对应，得；求最大时，需满足为整数，其中，，该条件要求为偶数，故取 4，6，8．为最大化，取且千位数字最大，得，对应． 【详解】解：对于最小“和方数”： 由于必须为两位数，且均不为，故，当时，，即，为最小化， 取千位数字，则，得，数字不完全相同且均不为，满足条件； 对于最大“和方数”： ，令，则需为整数， 故必须为偶数，即，对应分别为， 故分别为，为最大化，取且千位数字最大， 由且，得，对应，数字均不为且不完全相同，且 为整数，满足条件． 故答案为：1316；． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先计算积的乘方，然后计算同底数幂相乘，单项式除以单项式，最后合并即可； （）首先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项法则进行化简，最后算多项式除以单项式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后再根据平方差公式进行分解因式； （2）根据完全平方公式可进行分解因式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 19. 如图，已知，点在的延长线上，按要求完成作图并补全证明过程： （1）尺规作图：过作直线（点与点在同侧）．在射线上截取，使，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：． 证明： ① 在和中， ④ 【答案】（1） 如图，和即为所求， （2）；；； 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质． （1）作即可，再截取； （2）根据平行线的性质可得，利用证明，可得，按此推理过程逐一填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：证明： ， 在和中， ， ． 故答案为：；；；． 20. 如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线． （1）若与的周长差为2，，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的中线的定义可得，再由三角形的周长公式推出，据此可得答案； （2）由三角形内角和定理求出的度数，由高线和角平分线的定义求出，，再求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 解：是的中线， ， 与的周长差为2， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 、分别是的高与角平分线， ，， ， ． 21. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线． （1）作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标； （2）连接，则直线与线段的关系是__________； （3）在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； 、、； （2）直线垂直平分线段； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，线段垂直平分线，轴对称的性质，掌握作轴对称图形的基本作法是解题的关键． （）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接，再根据点的位置写出坐标即可； （）根据轴对称性质即可求解； （）先找出中点，延长，交直线于点，根据网格即可求出点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由轴对称性质可知，则直线与线段的关系是直线垂直平分线段， 故答案为：直线垂直平分线段； 【小问3详解】 解：如图，先找出中点，延长，交直线于点， 由网格可得：点的坐标． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂和负整数指数幂．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由零指数幂和负整数指数幂得出a的值，继而代入计算可得． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 23. 重庆江津是“中国花椒之乡”，某花椒加工厂承接了火锅底料花椒包的包装订单，采用智能包装机与人工包装两种方式配合生产．已知智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，且智能包装机每小时比人工多包装55袋． （1）求人工每小时包装多少袋花椒包？ （2）该加工厂接到紧急订单，需在8小时内完成不少于700袋的花椒包装任务．智能包装机可以8小时连续工作，人工可以配合工作一段时间，求人工至少需要配合工作多少小时? 【答案】（1）人工每小时包装20袋花椒包 （2）人工至少需要配合工作5小时 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，正确列出等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设人工每小时包装袋花椒包，则智能包装机每小时包装袋，根据智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，列方程即可解答； （2）设人工需要配合工作小时，根据题意列出不等式即可解答． 【小问1详解】 解：设人工每小时包装袋花椒包，则智能包装机每小时包装袋， 由题意，得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合实际意义． 答：人工每小时包装20袋花椒包； 【小问2详解】 解：设人工需要配合工作小时， 由题意，得， 解得：， 答：人工至少需要配合工作5小时． 24. 在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法．请结合几何图形的特征继续深入探究以下问题：已知，如图1，、都是等边三角形，是的中点，建立如图平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为． （1）求点、的坐标； （2）如图2，点为轴上一点，连接、，求的最小值； （3）如图3，点为中点，线段在轴上滑动，且，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】（1）点坐标为，点坐标为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）过作轴于，由是的中点，则，可得点坐标为，因为、都是等边三角形，所以，从而证明，所以，，则，故点坐标为； （）作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、，此时，即的最小值为，过作轴于，证明，所以，在中，，从而可得的最小值； （）连接、相交于点，同理可得：，，，所以，所以，即点向下平移单位到点，此时． 【小问1详解】 解：过作轴于， ∵是的中点， ∴， ∵点坐标为， ∴点坐标为， ∵、都是等边三角形， ∴（三线合一）， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、， 此时，即的最小值为， 过作轴于， ∵，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值； 【小问3详解】 解：连接、与相交于点， 同理可得：，，， ∴，所以， 即点向下平移单位到点， 此时， 所以． 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 在中，． （1）如图1，若，在上，，求的度数； （2）如图2，点是外一点，连接、、，若．求证：； （3）如图3，为上一点，点是外一点，连接、、、，与、分别交于点、，若，点为中点，，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，在上截取，连接， ，， 、都是等边三角形， ，， ， 即， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求得，再根据等腰三角形的性质即可解答； （2）在上截取，连接，证明、都是等边三角形，通过角度转换得到，即可证明，即可解答； （3）在上取一点，连接，使得，则，证明，得，同（2）原理可得，，再通过角度计算得到，，可得，再通过线段的和即可解答． 【小问1详解】 解：，， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，连接，使得，则． 点为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，． ， ， 在中，， ． ， ． ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $