椭圆及其性质测试题-2026届高三数学一轮复习

2025-2026学年广东高考复习《椭圆及其性质》测试题 一、单选题 1．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 3．已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 7．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 11．（2025·广东惠州·模拟预测）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 三、填空题 12．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为 . 13．若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 14．已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为 ． 四、解答题 15．已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值． 17．已知长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，动点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若与轴非负半轴交于点，过点作与以点为圆心，为半径的圆相切的直线，，且，分别交于点M，N，证明：直线过定点. 18．矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． (1)求的方程及离心率； (2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 19．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 2025-2026学年广东高考复习《椭圆及其性质》测试题解析 一、单选题 1．已知曲线，设，q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解答过程】曲线C是焦点在x轴上的椭圆的充要条件是，即． 所以当时，成立，所以p是q的充分条件， 反之当时，不一定成立．所以p是q的充分不必要条件． 2．（2025·湖南永州·三模）已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D【解答过程】椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的左焦点，其右焦点为， 而直线恒过定点，所以的周长为. 3．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x轴上的椭圆 其右焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答过程】由可得，由图知，， 则的面积为， 解得，则椭圆的离心率为. 4．（2025·江苏南京·三模）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【解答过程】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 5．（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】A【解答过程】由及余弦定理，得， 整理得，即，故该椭圆的长轴长为. 6．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D【解答过程】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则. 7．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】如图依题意，的周长为，解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以．故椭圆的标准方程为． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且过点，为上一动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D【解答过程】设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆得，代入解得，.即，. 所以的方程为. 设的左焦点为，故. 根据椭圆的几何性质可知， 由于两点之间线段最短，所以. 因此. 当且仅当，，在一条直线上时，等号成立. 二、多选题 9．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 【答案】AC【解答过程】由题可知，，设，， 又，所以， 过点作，垂足为，则为中点，， 又为中点，所以，，，故A正确； 又，所以， 所以点在同一直线上， 又平分，所以，则， 所以，即，解得，即，， 在中，，即，解得， 所以的周长为，故B错误； 所以，则椭圆C的方程为，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：AC． 10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为 C． D．恰好存在两个点P使得 【答案】BC【解答过程】对于椭圆，，故椭圆长轴长为，A错误； 椭圆离心率为，B正确；点）是椭圆E上的一个动点，则，即，C正确；由可知P点位于以为直径的圆上，， 则该圆方程为，联立，解得， 则或或或，故满足题意的点P有4个，D错误， 11．（2025·广东惠州·模拟预测）动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（   ） A．椭圆焦距为3 B．离心率 C．面积最大值为12 D．和斜率乘积为定值 【答案】BC【解答过程】因为点P，A在椭圆上，所以，， 故的周长为， 解得，因为左顶点和上顶点的距离为， 解得，则，焦距为，故A错误；，故B正确； ， 当点P位于轴上时，面积取得最大值12，故C正确； 设，则，即， 因为，，所以，， 故不是定值，故D错误. 三、填空题 12．（2025·陕西渭南·三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为 . 【答案】【解答过程】∵椭圆的一个焦点的坐标是, ∴，，∴，，，∴. 13．若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 【答案】 【解题思路】根据椭圆的对称性结合点在椭圆上计算求解. 【解答过程】直线与椭圆交于，两点，， 则，点在椭圆上可得，即得， 所以的离心率为. 14．（2025·江西新余·模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，过与y轴的平行线与椭圆E交于C，D，，，则椭圆E的方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据椭圆的特点及定义求解即可. 【解答过程】由题意，轴，且，则， 由椭圆的定义知，，则， 在中，， 则，所以， 所以椭圆E的方程为． 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·广西·模拟预测）已知椭圆的右顶点为，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于不同的两点，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求实数的值. 【答案】(1)(2) 【解答过程】（1）由题知， 且，得， 又，代入可得，， ∴椭圆的方程为. （2）如图：    联立，得， 由题意，即，解得. 设，，可得，， 由，得， 即，即 即，解得. 16．（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）设，根据题设得到，从而得到，即而有和，联立即可求解； （2）设直线的方程为，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消得到，从而得到， ，同理求得，，即可求解. 【解答过程】（1）设，且， 因为，又， 所以，解得， 又点在上，所以①，又②，联立①②，解得， 所以的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为， 由，消得到， 所以，得到，所以， 同理可得，， 所以为定值， 即直线的斜率为定值，定值为. 17．（2025·河南·模拟预测）已知长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，动点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若与轴非负半轴交于点，过点作与以点为圆心，为半径的圆相切的直线，，且，分别交于点M，N，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见详解 【解题思路】（1）设出，，的坐标，结合已知条件列式，求得关于，的方程； （2）由直线与圆相切，得到两切线斜率的关系，然后讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，分别求解. 【解答过程】（1）设，，, 因为，所以， 又因为，，， 所以，，解得，， 代入，整理得：； （2）由题意可知，的斜率存在，设斜率分别为，， 直线的方程为，由圆心到直线的距离为， 可得，整理得，同理可得， 所以，整理可得， 当直线斜率不存在时，设直线方程为，代入可得 ，， 此时，，代入， 得，所以直线的方程为； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 设，， 联立可得， 又，， 所以 ， ， 把上式代入， 可得，即， 因为，所以， 所以直线过定点， 综上直线过定点. 18．（2025·福建泉州·模拟预测）矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点． (1)求的方程及离心率； (2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形． 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据给定条件，求出即可得解. （2）法一，在不是矩形顶点时设，表示出直线的方程，与椭圆方程联立，利用及韦达定理推理得证，再验证是矩形顶点的情况即可；法二，在不是矩形顶点时设，求出切线方程，进而求出切点弦所在直线方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理推理得证，再验证是矩形顶点的情况即可. 【解答过程】（1）依题意，，，则，，半焦距， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）法一：依题意，以为直径的圆的方程为， 当点是矩形的顶点时，均与坐标轴垂直，此时； 当点不是矩形的顶点时，设点的坐标为，直线的方程为， 由消去得：， 由，化简得， 设直线的方程为，同理得：， 于是是关于的一元二次方程的两根， 则，又，因此，，即， 所以是直角三角形. 法二：设，分别为，与的公共点，且， 以为直径的圆的方程为， 当点是矩形的顶点时，，均与坐标轴垂直，此时； 当的斜率都存在时，设，， 由消去得：， 则，化简得． 又，则，即，解得， 同理得：，直线，即，直线， 又直线过点，则，， 于是直线的方程为：，由消去， 得，则， 于是 ，又，则， 因此，， 所以是直角三角形. 19．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【解题思路】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【解答过程】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $