2026年高二数学寒假巩固练习五 圆的方程

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习五 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系 一、单选题 1．圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　　) A．(0,2]　 B．[1,2] C．[2,3]　 D．[1,3] 5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为(　　) A．2 B． C．2＋1 D．＋1 6．已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B． C． D． 8.已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 10．已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　) A．直线l与圆M一定相交 B．若k＝0，则直线l与圆M相切 C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长 D．圆心M到直线l的距离的最大值为 11．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　) A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ 三、填空题 12．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________． 13.过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是 . 14.已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4． (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 16.已知点在圆上． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 17．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－y＋2＝0均与圆相切． (1)求圆C的标准方程； (2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习五 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系【解析】 一、单选题 1．圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 2．设a∈R，则“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆， 则有D2＋E2－4F＝a2＋4－8＞0，解得a＞2或a＜－2， 则“a＞2”是“a＞2或a＜－2”的充分不必要条件， 所以“a＞2”是“方程x2＋y2＋ax－2y＋2＝0的曲线是圆”的充分不必要条件． 故选A． 3．过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 4．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则t的取值范围是(　　) A．(0,2]　 B．[1,2] C．[2,3]　 D．[1,3] 【答案】D 【解析】圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1的圆心C(，1)，半径为1，因为圆心C到O(0,0)的距离为2， 所以圆C上的点到O(0,0)的距离最大值为3，最小值为1，又因为∠APB＝90°， 则以AB为直径的圆和圆C有交点，可得|PO|＝|AB|＝t，所以有1≤t≤3， 故选D． 5．点M为圆C：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1上任意一点，直线(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ过定点P，则|MP|的最大值为(　　) A．2 B． C．2＋1 D．＋1 【答案】D 【解析】整理直线方程得：(x＋y－2)＋(3x＋2y－5)λ＝0， 由得∴P(1,1)， 由圆的方程知圆心C(－2，－1)，半径r＝1， ∴|MP|max＝|CP|＋r＝＋1＝＋1． 故选：D． 6．已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点， 即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大值为. 故选:D. 7．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0， 得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k(x＋y)－2y－2＝0，求得定点P(1，－1)， 又P(1，－1)在直线mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m． ∴mn＝(2－m)m＝－(m－1)2＋1， ∴mn的取值范围是(－∞，1]． 故选：A． 8.已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆圆心为，半径，设， 则由对称性可知：，解得，则， 所以圆， 设，则， 所以当，即时，， 所以的最小值是. 故选：A 二、多选题 9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 【答案】AC 【解析】将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0， 由解得 则无论m为何值，直线l过定点(3,1)， 又定点(3,1)与圆心C(1,2)的距离为＝＜5， 故直线l与圆C恒相交，故AC正确． 故选：AC. 10．已知直线l：kx＋y＝0与圆M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则下列说法中正确的是(　　) A．直线l与圆M一定相交 B．若k＝0，则直线l与圆M相切 C．当k＝－1时，直线l与圆M的相交弦最长 D．圆心M到直线l的距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】：M：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1，是以(1,1)为圆心，以1为半径的圆， A项：因为直线l：kx＋y＝0，直线l过原点，02＋02－2×0－2×0＋1＞0，原点在圆外， 所以直线l与圆M不一定相交，故A错误； B项：若k＝0，则直线l：y＝0，直线l与圆M相切，故B正确； C项：当k＝－1时，直线l的方程为y＝x，过圆M的圆心，故C正确； D项：由点到直线距离公式，知d＝＝＝≤ (当k＝1时，等号成立). 故D正确； 故选:BCD. 11．已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则(　　) A．圆O1和圆O2有两条公切线 B．直线AB的方程为x－y＋1＝0 C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB| D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋ 【答案】ABD 【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故A正确； 对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确； 对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径， 故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误； 对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝， 所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，故D正确． 故选:ABD． 三、填空题 12．已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________． 【答案】：[1,5] 【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C(2，1)，半径r＝2， 圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝3，设P到直线AB的距离为h， 则S△ABP＝·|AB|·h＝h，∵d－r≤h≤d＋r， ∴1≤h≤5，∴S△ABP∈[1,5]， 即△ABP的面积的取值范围为[1,5]． 13.过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是 . 【答案】 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径.如图所示 若与圆相切于点，则，可得， 即，设，则， 可得，整理得， 关于的一元二次方程有实数解，所以，解得. 当，时，有最大值， 即的最大值是. 14.已知，直线与的交点在圆：上，则的最大值是 . 【答案】 【解析】易知直线恒过定点， 直线恒过定点， 且，易知直线与互相垂直，即可得， 所以点轨迹是以为直径的圆，圆心为的中点，半径为； 可得点轨迹方程为； 又因为点在圆上，所以可得圆与圆有公共点， 当两圆内切（圆在外）时，取得最大值； 此时满足，解得. 即的最大值是. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4． (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 【答案】(1)x＋y－3＝0；(2)(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 【解析】(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0． (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0．① 又直径|CD|＝4，所以|PA|＝2． 所以(a＋1)2＋b2＝40．② 由①②解得或 所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)， 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40． 16.已知点在圆上． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 【答案】（1）的最大值为，最小值为.； （2） 的最大值为，最小值为； （3）的最大值为，最小值为. 【解析】(1)设，则，可视为直线的纵截距， 所以的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值， 即直线与圆相切时的纵截距． 由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即，解得或， 所以的最大值为，最小值为. (2) 可视为点与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值， 即直线与圆相切时的斜率． 设过原点的直线方程为，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或， 所以的最大值为，最小值为. (3) ，即， 其最值可视为点到定点的距离的最值， 可转化为圆心到定点的距离与半径的和或差． 又因为圆心到定点的距离为， 所以的最大值为，最小值为. 17．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－y＋2＝0均与圆相切． (1)求圆C的标准方程； (2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值． 【答案】(1)(x－2)2＋y2＝4； (2)m＝或m＝. 【解析】(1)设圆心(a,0)，a＞0， ∴圆的半径为r＝a， ∴＝a，解得a＝2． ∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4． (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0， ∵直线与圆有两个交点， ∴Δ＝4(m－2)2－8m2＞0，解得－2－2＜m＜－2＋2， 且∴ 又·＝0， ∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0， 整理得m2＋m－1＝0，解得m＝或m＝． ∴m的值为：m＝或m＝． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $