2025-2026学年高二数学寒假巩固练习十一 等比数列及其前n项和

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习十一 等比数列及其前n项和 一、单选题 1．设等比数列的前项和为，已知，，则（　  ） A． B． C． D． 2．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3.英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（    ） A．400 B．500 C．600 D．800 4．已知公比不为1的等比数列满足，则（    ） A．40 B．81 C．121 D．156 6．数列满足，，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 7．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 8．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 二、多选题 9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11.数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 三、填空题 12．设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________. 13．已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 14.已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 16．设数列的前项之积为，已知. (1)求； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. 17．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习十一 等比数列及其前n项和【解析】 一、单选题 1．设等比数列的前项和为，已知，，则（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.所以，解得.， ，解得. 故选：D 2．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】由 得，所以，或（舍去）， 由，得，所以， 由，得，所以，即n的最小值为9； 故选：C. 3.英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若，则=（    ） A．400 B．500 C．600 D．800 【答案】C 【解析】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列， 设第一个音为，所以，故， 因为，所以. 故选：C 4．已知公比不为1的等比数列满足，则（    ） A．40 B．81 C．121 D．156 【答案】C 【解析】设公比为，由可得，， 因为，所以，因为，解得， 所以，所以. 故选：C. 6．数列满足，，数列的前项积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列满足，，易知，所以为常数，又， 所以数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以， 所以， 故选：C． 7．若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【解析】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 8．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为正项等比数列满足，设其公比为，则，， 所以，得，解得， 因为，所以，则，即，故， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则， ，故A错误；，故B正确； ，，则，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 10．《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为，每个月老鼠的总数量为，数列，的前n项和分别为，可知，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由题意可得：，即，且， 所以数列是以首项，公比的等比数列，则， 可得，当时，，且满足上式，故， 可得，即数列是以首项，公比的等比数列， 可得， 综上可得：，，，.故B、C正确，A、D错误. 故选：BC. 11.数列满足，，，则下列说法正确的有（   ） A．数列是等比数列 B． C．数列的前n项和 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以数列是首项和公比都为2的等比数列，故A正确； 则，所以，故B正确； 因为，所以 ，故C错误； 因为，所以， 因为，所以，所以，即数列是递增数列，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．设等比数列的前项和为，则使成立的的最小值为__________. 【答案】7 【解析】由的公比为 ，所以 ， 令， 由于，所以成立的的最小值为7， 故答案为：7 13．已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 【答案】 【解析】由，有， ，两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，则， 所以， 所以. 故答案为：. 14.已知数列中，，，且、是函数的两个零点，则___________. 【答案】 【解析】因为在数列中，，，则，所以，， 所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为， 因为、是函数的两个零点， 由韦达定理可得，因为，可得，所以，， 由等比中项的性质可得，因此，. 故答案为：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足________． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）若选①，因为， 当时，，两式相减得， 当时，，即，又，所以，故也满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； 若选②，因为， 所以， 故. （2）由（1）知， 则，① ，② 两式相减得 ， 故. 16．设数列的前项之积为，已知. (1)求； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)； (2) 证明见解析，； (3)证明见解析. 【详解】（1）已知， 当时，， 当时，， 所以； （2）因为数列的前项之积为， 所以，代入可得， 变形可得， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，不满足上式， 所以； （3）由（2）可知， 因为， 所以， 所以. 17．已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n项和． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为为等差数列，设公差为d， 由，得，即， 由，，成等比数列得，， 化简得，因为，所以． 所以． 综上． （2）由知，， 又为公比是3的等比数列，， 所以，即， 所以，， 所以 . 综上. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $