2026年高二数学寒假巩固练习三 立体几何中的综合问题

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习三 立体几何中的综合问题 一、单选题 1.在空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点, 为棱 上的一点,且则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，，设，则，， 因为，所以，解得，则点的坐标为， 故选：C. 2．已知，，，若,,三个向量共面，则实数＝(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，，三个向量共面，所以存在实数使得， 即有解得， ， ． 故选：D. 3.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则,所以, 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 4．如图，已知长方体中，，，E为线段AB上一点，且，则与平面所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0，3,0)， ∴＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)． 设平面的法向量为＝(x，y，z)，则,即 取y＝1，得＝(2,1,3)．则， 所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为. 故选：A. 5．在正方体中，点E为的中点，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz， 设棱长为1，则，，D(0,1,0)，所以，， 设平面A1ED的一个法向量为，则即 令，则，所以， 又平面ABCD的一个法向量为，所以， 即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 故选：B. 6．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，， 所以可得，，，，则， 设空间两条直线与所成的角为，所以, 所以，即直线与所成的角为， 故选：B. 7.已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然与不平行，设该平面的一个法向量为， 则有，即， 令，得，所以，故A,B错误， 令，得，则此时法向量为，故D错误. 故选：C. 8.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，，，. 设直线与所成的角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 2、 多选题 9．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【解析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以，因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：AB. 10．已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 【答案】AD 【解析】如图建立空间直角坐标系， 过点作交于点，过作交于点， 则平面平面，故，过作交于点． 所以到平面的距离就是到平面的距离， 当与重合时，有最大距离为，无最小距离，故A正确B错误． 设，，则，所以， 故， 当时，，无最大值，故C错误D正确． 故选：AD 三、填空题 11.已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为 . 【答案】 【解析】取，又，所以，则点到的距离为 . 故答案： 12.如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为 . A． B． C． D． 【答案】 【解析】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，所以，. 设平面的法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离. 故答案：. 13.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为 . A． B． C． D． 【答案】. 【解析】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故答案：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，， 是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解; (2). 【证明】(1)因为平面，平面，所以． 因为，所以． 所以．所以． 又，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【解析】(2)如图，以点为原点，，，分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，，，＝． 取，因为，所以为平面的法向量． 设为平面的法向量，则，即 取，则， 依题意，＝＝，则． 于是，． 设直线与平面所成角为， 则，＝， 即直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解；(2)①；② 【解析】（1）如图： 取中点，连接，. 因为为中点，所以且， 又四边形为菱形，且为中点，所以且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图： 连接，，交于点， 因为四边形为菱形，所以，且为，的中点， 又因为，所以，，平面，且， 所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角， 则，又，，， 所以，，，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，， ，，，. 所以，，，. ①设平面的法向量为 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以二面角的余弦值为：. ②点平面的距离为：. 16．如图，在四面体中，平面，点在线段上. (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习三 立体几何中的综合问题 一、单选题 1.在空间直角坐标系中,正方体棱长为2，为正方体的棱的中点, 为棱 上的一点,且则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，，设，则，， 因为，所以，解得，则点的坐标为， 故选：C. 2．已知，，，若,,三个向量共面，则实数＝(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，，三个向量共面，所以存在实数使得， 即有解得， ， ． 故选：D. 3.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则,所以, 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 4．如图，已知长方体中，，，E为线段AB上一点，且，则与平面所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0，3,0)， ∴＝(0,3,1)，＝(1,1，－1)，＝(0,3，－1)． 设平面的法向量为＝(x，y，z)，则,即 取y＝1，得＝(2,1,3)．则， 所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为. 故选：A. 5．在正方体中，点E为的中点，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz， 设棱长为1，则，，D(0,1,0)，所以，， 设平面A1ED的一个法向量为，则即 令，则，所以， 又平面ABCD的一个法向量为，所以， 即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 故选：B. 6．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，，则空间中两条直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点，， 所以可得，，，，则， 设空间两条直线与所成的角为，所以, 所以，即直线与所成的角为， 故选：B. 7.已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然与不平行，设该平面的一个法向量为， 则有，即， 令，得，所以，故A,B错误， 令，得，则此时法向量为，故D错误. 故选：C. 8.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，，，. 设直线与所成的角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 2、 多选题 9．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【解析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以，因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：AB. 10．已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 【答案】AD 【解析】如图建立空间直角坐标系， 过点作交于点，过作交于点， 则平面平面，故，过作交于点． 所以到平面的距离就是到平面的距离， 当与重合时，有最大距离为，无最小距离，故A正确B错误． 设，，则，所以， 故， 当时，，无最大值，故C错误D正确． 故选：AD 三、填空题 11.已知点，直线过原点且平行于，则点到的距离为 . 【答案】 【解析】取，又，所以，则点到的距离为 . 故答案： 12.如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，则点到平面的距离为 . A． B． C． D． 【答案】 【解析】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，所以，. 设平面的法向量， 所以令，解得，， 所以平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离. 故答案：. 13.在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为 . A． B． C． D． 【答案】. 【解析】设平面的一个法向量为， 则，令，可得，； 所以， 则点到平面的距离为. 故答案：. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，， 是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解; (2). 【证明】(1)因为平面，平面，所以． 因为，所以． 所以．所以． 又，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 【解析】(2)如图，以点为原点，，，分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，，，＝． 取，因为，所以为平面的法向量． 设为平面的法向量，则，即 取，则， 依题意，＝＝，则． 于是，． 设直线与平面所成角为， 则，＝， 即直线与平面所成角的正弦值为. 15．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解；(2)①；② 【解析】（1）如图： 取中点，连接，. 因为为中点，所以且， 又四边形为菱形，且为中点，所以且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图： 连接，，交于点， 因为四边形为菱形，所以，且为，的中点， 又因为，所以，，平面，且， 所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角， 则，又，，， 所以，，，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，， ，，，. 所以，，，. ①设平面的法向量为 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以二面角的余弦值为：. ②点平面的距离为：. 16．如图，在四面体中，平面，点在线段上. (1)当点是线段中点时，求点到平面的距离； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由平面，，得两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 由为的中点，则、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，得，而， 所以点到平面的距离为. （2）设点，，，， 设平面的法向量为，则，取，得， 显然平面的一个法向量为， 则，解得， 此时点为的中点，所以. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $