寒假作业07 圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题（3知识点+7大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题 一、定值问题 1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 二、定点问题 1、定点问题 （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 三、定直线问题 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 斜率定值 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 2．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 3．（25-26高二上·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 题型二 线段定值 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 2．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 3．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)设过点F且斜率为k的直线与双曲线右支交于P，Q两点，线段的垂直平分线与x轴交于点B，求的值. 4．（25-26高二上·湖北十堰·月考）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． (1)求的方程； (2)求证：的值为定值． 题型三 角度定值 1．已知抛物线，记其焦点为.设直线：，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线的距离为，且. (1)求的方程； (2)如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若交于点，交抛物线于、两点，证明：为定值. 2．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 3．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：. 4．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 题型四 面积定值 1．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 3．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 4．在直角坐标系xOy中，点，，过点M的直线AM与BM的斜率之积为． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过曲线C上任一点N作C的切线l，若l与直线，分别交于点P，Q，试判断△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 题型五 定点问题 1．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 2．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 题型六 定点中的探索性问题 1．已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切. (1)求的值； (2)若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由. 3．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (1)求的方程； (2)若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 6．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线上一点到焦点F的距离为9. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积. (3)过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由. 题型七 定直线问题 1．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 2．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 4．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 5．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 1．已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 3．（25-26高二上·浙江湖州·月考）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. 4．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)若的面积为1，求点坐标； (3)直线与交于，两点，若，求． 5．（25-26高二上·河南洛阳·月考）设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点． (1)证明：； (2)证明：． 6．（25-26高二上·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 7．（24-25高二下·广东·月考）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 8．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 10．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 11．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 12．已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 13．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于，两点. （i）若的倾斜角为，求弦长的值； （ii）若过且与垂直的直线交轨迹于，两点，求四边形的面积的最小值. 14．（25-26高二上·北京·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 15．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 16．（24-25高二下·安徽·期中）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 17．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 18．（23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 19．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知点，为椭圆：的上､下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 21．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 22．（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 23．已知双曲线的左右焦点为，离心率为过点且与y轴平行的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)记点，若过点且不过点的直线与交于两点，且平分求的方程. 24．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 25．已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 26．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线仅经过中的一点． (1)求抛物线的方程； (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为，且恰在抛物线的准线上．求； (3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段，的中点分别为，求证：直线过定点． 27．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 28．（24-25高二下·江西·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线交于点E，证明：点E恒在椭圆上； (3)若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为R，判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 29．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 30．（23-24高二上·湖北·月考）双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 31．（23-24高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 32．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 1．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，它们在轴上有共同焦点，且都经过点. (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于、两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； (3)设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆的右焦点为，长轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知、、是椭圆上的三个不同点． ①若，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是的外心，直线、、、的斜率均存在，并分别记为、、、，求的值． 4．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）设椭圆，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且． (1)求椭圆的方程； (2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线交于两点，与轴交于． ①求的取值范围； ②为坐标原点，记的面积分别为，求的最小值． 5．（25-26高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 7．（25-26高二上·福建·月考）设分别是椭圆的左､右焦点，过且斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列. (1)求的离心率； (2)若点满足. ①求的方程； ②设，点在上，且为垂足.试探究，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 8．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知抛物线经过点，且为的焦点． (1)求的坐标． (2)设为上两个不同的点，且三点不共线，的斜率分别为，且． （i）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （ii）证明：存在关于轴对称的两个定点，使得直线过或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题 一、定值问题 1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 二、定点问题 1、定点问题 （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 三、定直线问题 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 斜率定值 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 2．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． (1)求的标准方程； (2)求直线的斜率之积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. 【详解】（1）如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． （2）因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 3．（25-26高二上·天津·月考）已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 题型二 线段定值 1．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为． (1)求的方程； (2)若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值. 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【详解】（1）抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． （2）由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 2．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可； （2）利用韦达定理表示出，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值即可. 【详解】（1）由题意得 ，得，                           故的方程为； （2）设，则直线l的方程为， 与联立，得， 则，且，          所以 ， 故为定值． 3．（25-26高二上·江苏常州·月考）已知双曲线的右焦点为F，离心率为2，经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)设过点F且斜率为k的直线与双曲线右支交于P，Q两点，线段的垂直平分线与x轴交于点B，求的值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意，得到，且，然后求解即可； （2）设直线的方程为，联立，化简得出，再求出，可得出结果． 【详解】（1）由题意可得，，则， 又经过F和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以，解得， ， 所以双曲线的方程为； （2）由（1）知，，设直线的方程为， 联立，得， 所以， 若，，则，， 所以， 所以， 所以的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理得，所以， 则，所以． 4．（25-26高二上·湖北十堰·月考）已知点是椭圆的右焦点，为坐标原点，若上的点与点距离的最大值为3，最小值为1，过点作的两条互相垂直的弦，． (1)求的方程； (2)求证：的值为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目条件求得a、b的值即可； （2）分两种情况，一种当两条直线的斜率一个为0，另一个不存在时，直接求出的值即可；另一种当两条斜率都存在时，设直线的方程为，则DE为，根据弦长公式求出弦AB和DE的长，代入题中表达式化简即可． 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意得， 解得，所以， 所以的方程为． （2）由（1）得，若直线与直线的斜率一个为0，另一个不存在时， 假设AB斜率为零，DE斜率不存在， 则，，（或）， 此时； 同理，当DE斜率为零，AB斜率不存在时，同样有； 若直线与直线的斜率都存在时，如图， 设直线的方程为，， 由，得， 所以， 所以 ， 因为，将换成，得， 所以； 综上所述，的值为定值． 题型三 角度定值 1．已知抛物线，记其焦点为.设直线：，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线的距离为，且. (1)求的方程； (2)如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若交于点，交抛物线于、两点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义以及准线方程即可求解； （2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和即可求解. 【详解】（1）抛物线的准线的方程为， 则可知，解得， 所以的方程为. （2）作于，于. 由抛物线定义，，， 又因为，， 所以，， 由此，，， 所以，， 所以，为定值. 2．（25-26高二上·安徽安庆·期中）已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线交圆于两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证； 【详解】（1）由圆，可得圆的圆心为，半径为， 又圆，可得圆心为，半径为， 因为圆心与圆心关于直线对称，得，解得， 所以圆的标准方程为； （2）证明：设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 则， 所以当不断变化时，轴始终平分. 3．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率以及短轴长，结合的关系即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，由两点斜率公式，结合韦达定理即可化简求解. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆方程为 （2）由于， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，此时关于轴对称，显然满足， 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 联立直线与椭圆方程， 设，则， ，, ， 将代入可得， 所以， 综上可知： 4．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据面积最大值为，再结合离心率公式即可得到方程，解出即可； （2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再计算斜率之和的表达式，代入韦达定理式即可. 【详解】（1）当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为， 由题意得． 因为离心率，所以，所以． 因为，所以． 解得，所以， 所以椭圆的标准方程是． （2）当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称， 又点在轴上，所以的平分线在轴上． 当直线的斜率存在时，设为，由题意知，． 由（1）知，点，则直线的方程为． 由消去，整理得． 恒成立， 设，则． 设直线的斜率分别为． 因为点，所以， 所以 . 将代入， 得， 所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上． 综上，的平分线在轴上． 题型四 面积定值 1．已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，2 【分析】（1）根据题意列式求解，即可得方程；（2）设直线，联立方程由可得，根据题意求的坐标，即可求的面积，化简整理即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为， 由题意可得：，则， 则双曲线的方程为. （2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则，消得：， 则，可得：① 设与轴交点为， 则， ∵双曲线两条渐近线方程为：， 联立，解得，即， 同理可得：， 则（定值）. 2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，的面积是定值，定值为. 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入，可得标准方程； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，斜率不存在时取特殊点易得的面积为，斜率存在时联立直线和椭圆方程，得到韦达定理，结合重心的性质可表示出点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简可得，由三角形面积公式表示出的面积并化简可得结果. 【详解】（1）设椭圆为，，，， 由题意得，解得，，故椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，取，，符合题意， 故存在点使为的重心，且此时的面积为. 当直线的斜率存在时，设，联立得， 设，，则，，， 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为. 3．（25-26高二上·江苏扬州·月考）已知动点到定点的距离和它到定直线距离的比是常数． (1)求动点的轨迹； (2)已知不过原点的直线与曲线交于、两点，若直线，直线，直线的斜率成等比数列． ①求直线的斜率； ②记以为直径的圆的面积分别为，试探究是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由． 【答案】(1)曲线的方程为：，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. (2)①；②是，． 【分析】（1）根据条件列方程，化简可得曲线的轨迹方程，再根据方程描述其轨迹. （2）①设直线方程为，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，表示出，，再表示出，，利用表示，化简即可. ②用，表示出，将化简即可. 【详解】（1）由题意： . 所以曲线的方程为：． 所以曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆. （2）①设直线方程为，，，， 如图： 由得， ， 所以，. 因为，，且成等比数列，， ， 又，所以，解得． ②， ， 为定值． 4．在直角坐标系xOy中，点，，过点M的直线AM与BM的斜率之积为． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过曲线C上任一点N作C的切线l，若l与直线，分别交于点P，Q，试判断△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，2 【分析】（1）设点，依据两点的斜率公式可求得轨迹的方程． （2）设点，则：，与双曲线联立方程，利用判别式可求得，进而与两直线，联立方程组，可求得点的坐标，求得，与点到直线的距离，进而可求得面积为定值. 【详解】（1）设点， 则，， 故，整理得， 所以动点的轨迹的方程为． （2）的面积为定值． 由题意可得切线的斜率存在，设其斜率为， 设点，则：． 联立，消去得， 则， 故．① 联立，消去得， 则，同理可得， 故 ， 又点O到切线l的距离， 所以， 将①式代入得，故的面积是定值2． 题型五 定点问题 1．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【分析】（1）由抛物线中的最小值为1，所以，即，即可得到方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，由得到，即可求得结果. 【详解】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 2．（24-25高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程， （2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点坐标,求出弦长结合三角形面积公式求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为，然后证明即可. 【详解】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 4．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设椭圆过点，且离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设为椭圆的上顶点，MN为上异于的两点，若直线AM，AN的斜率为，且.求证：以线段MN为直径的圆经过一个定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由和以及椭圆过点求出参数即可得解； （2）法一：由题意设直线MN的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和求出参数m，设该圆过一个定点，利用结合韦达定理分析计算求解即可得证； 法二：同法一得到参数m以及，进而得到圆过定点为，利用同理法一计算即可求证. 【详解】（1）由椭圆的离心率及，知. 又椭圆过点，所以，解得. 所以椭圆的方程为. （2）法一：证明：由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为. 联立方程得. 设，则. 所以 化简得，解得或（舍去）. 所以. 所以. 设该圆过一个定点，则， 所以，即. 将代入化简有对任意实数成立， 所以解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 法二：同法一求出直线在y轴上的截距m得直线MN过定点， 以及，. 题目情境关于轴对称，故若以线段MN为直径的动圆过定点，则该定点在轴上. 设定点为，则. 所以，即. 将代入，得. 化简有对任意实数都成立， 即解得. 故以线段MN为直径的圆过定点. 题型六 定点中的探索性问题 1．已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切. (1)求的值； (2)若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，定点为，理由见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义可知准线方程，即可直接求得结果； （2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据即可求解. 【详解】（1）根据抛物线的定义，显然是抛物线Ω的准线，则，解得. （2）根据（1）中所求，点的坐标为，假设存在符合题意，则， 设直线l方程为：，由可得， 设，则， 故，即，又， 故，故，所以， 综上所述：在x轴上存在定点，使恒成立. 2．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积. (1)求动点的轨迹方程； (2)是的右焦点，若过点，与曲线交于两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在点，使恒成立 【分析】根据结合斜率公式即可得出答案； 分直线的斜率是否存在，当直线斜率存在时，设直线方程为，，联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将恒成立转化为关于的等式恒成立，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意有：， 所以动点的轨迹方程为：. （2）假设存在点，使恒成立， 由已知有：， 当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立 所以 则 则， 即 若恒成立，则恒成立， 所以 当直线的斜率不存在时，直线的方程为代入，解得 不妨设则 又 综上所述， 所以存在点，使恒成立. 3．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)存在， 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出即可得解； （2）由题意可将原问题转换为，设直线的方程为：，，联立椭圆方程，结合韦达定理可求得的值即可. 【详解】（1）∵的周长为8，的最大面积为， ∴，解得，或，． ∴椭圆C的方程为或等． （2）    由（1）及易知， 不妨设直线MN的方程为：，，，， 联立，得． 则，， 若的内心在x轴上，则， ∴，即，即， 可得． 则，得，即． 当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点． 故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上. 4．（23-24高二下·河南漯河·期末）已知椭圆的离心率为是的左､右焦点，椭圆上一个动点到的最短距离为点在上. (1)求的方程； (2)若为直线上任意一点，直线的斜率之积为，平面内是否存在定点满足恒成立.若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由椭圆的离心率，椭圆上一个动点到右焦点的最短距离，即可解得，进而求得，即可得到的方程； （2）设，由直线的斜率之积为，可得，由对称性知，若存在点满足恒成立，则在轴上，设，则，可得，解得，适合题意. 【详解】（1） 由已知，， 椭圆的方程为. （2）设，因为直线的斜率之积为， 则， 整理得， 又在上， ， ① 由对称性知，若存在点满足恒成立，则在轴上， 设，则， 即， 将①代入，得：， 解得，适合题意， 即存在定点，满足恒成立. 5．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆（）的长轴长为，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为8． (1)求椭圆E的方程； (2)过点且斜率为k（）的直线与椭圆E交于A，B两点． （ⅰ）若线段的中点横坐标为1，求k； （ⅱ）点C与点B关于x轴对称．在x轴上是否存在定点，使A，C，D三点共线？若存在，求实数m的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，结合韦达定理及题设列方程求解即可； （ⅱ）假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）由题意，直线的方程为，设，， 联立，得， 则， 且. 因为线段的中点横坐标为1，则，解得. （ⅱ）因为点与点关于轴对称，所以点， 若在轴上存在定点，使三点共线，则． ， 由于，则． 则， 则，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 6．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线上一点到焦点F的距离为9. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积. (3)过点的动直线l与抛物线相交于C，D两点，是否存在定点T，使得为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在定点，为常数. 【分析】（1）利用抛物线的定义得，计算出得抛物线方程； （2）直线方程与抛物线方程联立方程组，求出两点坐标，利用求出点坐标，求出点到直线l的距离和弦长，可求的面积； （3）设，，，过点Q的直线为，与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理表示出，求出算式的值与无关的条件，可得为定值的常数. 【详解】（1）由拋物线的定义得，解得，. 抛物线的方程为. （2）设，，由（1）知点， 直线l的方程为. 由可得，则，， ， 则不妨取，，则点A，B的坐标分别为，. 设点M的坐标为，则，， 则， 解得.即， 又点M到直线l的距离，故， 故的面积； （3）设，，，过点Q的直线为  ， 联立消去y得：， 时，，， 联立消去得：，，， 要使与k无关， 则且，，， 存在此时为定值. 题型七 定直线问题 1．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若点在直线上，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，结合抛物线的定义与其标准方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立抛物线方程，写出韦达定理，由切点设出切线方程，根据根的判列式为零，求得切线方程，联立求交点，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为 （2）设，，联立方程组，得， 可得，则，. 易知，的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，得. 由，解得， 所以的方程为，同理可得，的方程为. 由，解得，即点，即为 又因为若点在直线上，所以，解得. 2．（24-25高二上·河北沧州·期中）已知双曲线的实轴长为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，与双曲线交于，两点，求； (3)若，是双曲线上不同的两点，且直线的斜率为2，线段的中点为，证明：点在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线的方程为，设，联立双曲线方程，利用韦达定理即可求解. （3）利用点差法即可证明. 【详解】（1）根据题意可得，则， 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由（1）得，则， 则直线的方程为，设， 由，得， ，， 所以； （3）设， 则，两式相减得， 设，则，所以， 即，所以，即， 所以在直线上. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为. (1)求双曲线的方程； (2)若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)在， 【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面积公式可求出的值，进而可得出、的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，将直线、的方程联立，求出这两条直线交点的横坐标，即可得出结论. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，则， 则，可得，则， 因此，双曲线的方程为. （2）若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得 ，解得. 因此，点在定直线上. 4．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点到定直线的距离为d，定点，由题设等量关系转化为代数式化简即可得解； （2）设，，联立直线与椭圆方程，由判别式得到，利用韦达定理和分析得到，再计算即可得证. 【详解】（1）设点到定直线的距离为d，定点， 则由题，即，化简得， 所以曲线的方程为. （2） 由（1）得，易知直线的斜率存在且不为0， 设，， 由得， 由，得 所以，则， 把，代入，得， 把，，代入，得，不满足， 所以， 则， 所以直线关于直线对称. 5．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】(1)利用已知条件列方程组求参数即可； (2)利用直线与椭圆联立方程组，结合弦长公式求解即可； (3)利用直线与椭圆联立，再用坐标去表示两直线方程，然后消，去求解交点的横坐标，再由根与系数关系，即可求得，从而问题得证. 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 1．已知椭圆的离心率为，右焦点.. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得和，进而得，再利用弦长公式求弦长. 【详解】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知椭圆的长轴长为6，是上的一点． (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且弦的中点为，求的斜率． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由椭圆的长轴及点在椭圆上建立方程，解得，即可求得椭圆离心率； （2）由（1）得到椭圆方程，设交点坐标，然后代入椭圆方程，由中点坐标即可求出直线斜率. 【详解】（1）由题可知， 解得， 则的离心率. （2）由（1）可知的方程为， 设， 则， 则， 整理得. 因为弦的中点为，所以， 则的斜率. 3．（25-26高二上·浙江湖州·月考）已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程及； (2)已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k. 【答案】(1)，； (2)3. 【分析】（1）利用给定的准线方程求出即可求解. （2）设出点的坐标，利用三角形重心坐标公式求出，再利用点差法求出斜率. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，则，解得， 抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得， 所以抛物线C的方程为，. （2）设，由点为的重心，得， 解得，由点在抛物线上，得， 两式相减，得，即， 所以直线l的斜率. 4．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为上一点，且． (1)求的标准方程； (2)若的面积为1，求点坐标； (3)直线与交于，两点，若，求． 【答案】(1) (2)，，， (3) 【分析】（1）根据条件求得，求得椭圆方程； （2）利用三角形面积公式求得点的纵坐标，代入椭圆方程求得点坐标； （3）联立椭圆方程和直线方程，得到根与系数关系，利用弦长公式列式求解. 【详解】（1）因为，所以，即， 又，则，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设点，则，得， 又， ，解得， 所以点的坐标为，，，. （3）设，， 联立，消去整理得， ，，， ， 化简整理得，解得. 5．（25-26高二上·河南洛阳·月考）设抛物线，为坐标原点，点，过点的直线与交于两点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意设出直线方程，联立抛物线方程，并消元整理一元二次方程，写出韦达定理，结合向量的坐标运算，可得答案. （2）由题意设出直线方程，利用斜率的计算公式，研究两直线的斜率的数量关系，可得答案. 【详解】（1）设的方程为，由，得. 设，由题意可知，则， ，，. （2）由（1）得， ∴， ∴，∴. 6．（25-26高二上·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线与双曲线的方程，结合题意列式计算即可； （2）设直线与轴交于点，进而根据韦达定理及的面积为列方程计算即可. 【详解】（1）设，， 联立，得， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点， 则，解得， 则求斜率k的取值范围为. （2）由（1）知，，， 设直线与轴交于点， 则 ， 解得或（舍去）， 则直线的方程为. 7．（24-25高二下·广东·月考）已知椭圆过点，直线与交于两点. (1)求的方程； (2)若，求的值； (3)已知的上，下顶点分别为，记直线交于点，证明：点在定直线上，并求出该直线方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）将点代入方程，得到方程组计算即可；（2）设，直曲联立，借助韦达定理和弦长公式计算即可； （3）设，根据在同一条直线上，得， 再根据在同一条直线上，得到， 结合韦达定理算出，求出即可. 【详解】（1）依题意， 解得故的方程为. （2）设， 由得， 所以，解得， 所以， 所以， 解得（负值舍去），故. （3）证明：设，因为，且在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上， 所以， 所以， 所以，即点在直线上. 8．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先的面积求得，然后利用点在椭圆上求得，即可求解椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立，结合韦达定理，得，然后利用二次函数性质求解范围即可. 【详解】（1）由题意知，的面积是，所以， 点在椭圆上，解得， 故椭圆的方程为. （2）依题意得，设直线， 联立消去得， 由解得， 设，，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围是. 9．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【分析】（1）设，根据题意列方程即可求解； （2）设直线：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    10．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知椭圆的焦距为4，圆与椭圆C有且仅有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C交于P，Q两点．试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在x轴上存在点，使得为定值，理由见详解 【分析】（1）由已知,即可得到，，进而得到,即可得到椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程，，，联立椭圆C的方程，写出韦达定理，设，化简，可得，若为定值，得，点R的坐标；再检验直线l的斜率不存在时，上述结论是否成立即可. 【详解】（1）依题意，得，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为． （2） ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立椭圆C的方程，可得， 则，， 设，则 ， 若为定值，则，解得， 此时，点R的坐标． ②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 代入，得 不妨设，，若，则，， 所以． 综上，在x轴上存在点，使得为定值． 11．已知动点与定点的距离与它到定直线的距离的比是常数， (1)求动点的轨迹； (2)过上述轨迹上一点作轨迹的切线与两直线分别交于、两点，证明：三角形的面积是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，化简即可； （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为，与双曲线方程联立求得切线方程，分别与直线和联立可求得的横坐标，计算可求解. 【详解】（1）根据题意得，则可得， 将上式两边平方，得， 整理得，所以， 所以 （2）设点M坐标为，设曲线在点M处的切线方程为， 与双曲线方程联立，消去，可得， 整理得， 所以且， 解得，代入，得， 所以切线方程为， 与联立得，与联立得， 故. 12．已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②存在，. 【分析】（1）设点，结合斜率的两点式及斜率乘积为1列方程求轨迹； （2）①设直线的方程为，联立曲线，应用韦达定理及求参数t，即可证定点；②应用面积公式即可判断面积比是否为定值. 【详解】（1）设点，，故动点的轨迹方程为，. （2）由题意，而，即， ①设直线的方程为，，，，， 联立，得，，， 且， ∴， 整理得， 韦达公式代入并整理得，得或（直线过B点，舍）， ∴直线方程为，即直线过定点，得证； ②此时，，故． 13．（25-26高二上·山东济宁·月考）已知动圆与直线相切且与圆外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)直线过点且与轨迹交于，两点. （i）若的倾斜角为，求弦长的值； （ii）若过且与垂直的直线交轨迹于，两点，求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）8； （ii）32 【分析】（1）判断直线与圆相离，设动圆圆心，根据题意列出相应的方程组，化简可得圆心的轨迹的方程； （2）（i）由（1）知轨迹为抛物线，设，，联立抛物线与直线的方程，由韦达定理求得，结合抛物线的焦半径公式，求得弦长；（ii） 【详解】（1）定圆的圆心为，半径. 因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，且在圆左侧. 设圆心的坐标为，动圆的半径为， 由动圆与直线相切，得， 由两圆外切，得，即，化简得. 所以圆心的轨迹的方程为. （2）（i）抛物线的方程为：，焦点为， 直线的方程为：， 联立方程，消去得. 设，，则， 得弦长. （ii）设直线的方程为，则直线的方程为. 联立方程，消去得. 设，，则，， 所以， 联立方程，即以代换，可得. 所以四边形的面积为：， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以四边形的面积的最小值为：32. 14．（25-26高二上·北京·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为． （i）求四边形面积的最大值； （ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）由题意可得，再结合，即可求得,从而求得椭圆的标准方程； （2）（i）由直线与椭圆联立方程组，把四边形的面积转化为，代入韦达定理即可求得的表达式，从而求得的最大值； （ii）直线的斜率，直线的斜率，代入韦达定理化简整理可得的值为常数． 【详解】（1）设椭圆标准方程为，则由题意可得： ，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2） （i）把代入椭圆，解得， 所以可得点的坐标为，，则， 设直线的方程为，设点， 联立，整理得：， 由，可得. 由韦达定理知：，， 四边形的面积， 故当时，； （ii）由题意知，直线的斜率，直线的斜率， 则 . 所以的值为常数． 15．（25-26高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系xOy中，，曲线上有两点A，B，当时，. (1)求曲线E方程； (2)若点A在曲线E的右支上，点B在曲线E的左支上，点A，B，F三点不共线，且，试判断直线AB是否恒过一个定点，若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）根据条件，结合几何关系确定点的坐标，代入双曲线方程，即可求解； （2）首先设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，即可求解. 【详解】（1）由得，又， 所以，故点在曲线E上，所以，解得， 故的方程为. （2）判断：直线AB恒过一个定点； 由图形关系可知点A，B在x轴异侧， 故由可得直线AF，BF的斜率互为相反数 设，    联立，可得 所以 而直线AF，BF的斜率之和为 即 =， 而，故， 所以直线AB过定点. 16．（24-25高二下·安徽·期中）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点.线段的垂直平分线l和半径相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线分别交曲线C于另外的点P，Q. ①求证：为钝角； ②求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②6 【分析】（1）运用椭圆定义得到，根据焦距算出，得到. （2）①借助向量工具，结合韦达定理证明数量积为负数即可； ②由①知，算出四边形面积为.再换元，结合对勾函数单调性计算最值即可. 【详解】（1）由题意知，， 由椭圆定义得，点N的轨迹是以E，F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. （2）①由（1）知，， 由椭圆对称性，不妨设， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 直线的方程为. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 由，消去y得， 由韦达定理得，即. 则， 因此， 所以为钝角. ②由①知，四边形面积为 . 设，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知在上单调递增， 则， 因此当时，四边形的面积最大，为6，此时点M的坐标为， 由对称性知，当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6. 17．（25-26高二上·天津·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. (1)求椭圆的标准方程； (2)点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； （2）方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1.    18．（23-24高二下·湖北·月考）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解； （2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得； （ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 19．（23-24高二上·山西大同·期末）已知椭圆经过点，一个焦点在直线上． (1)求椭圆的方程； (2)设经过原点的两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，两点和，两点．求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设易得，结合椭圆定义及两点距离公式求得，进而可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率，设直线方程并联立椭圆求相交弦长，进而得到四边形的面积关于直线斜率的表达式，即可得求最小值. 【详解】（1）由题意，椭圆的左、右焦点分别为，，即， 所以， 即，，所以椭圆的方程为． （2）①当直线的斜率不存在或为0时，，，，分别为椭圆的四个顶点，所以． ②当直线的斜率存在且不为0时，设，则， 设，，，， 联立，解得，即， 所以，同理， 所以． 令，则，， 所以，， 当时，又， 所以四边形的面积的最小值为． 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知点，为椭圆：的上､下顶点，点，，其中，且，直线与交于点. (1)证明：点在上； (2)若直线交于，两点，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)，或者. 【分析】（1）已知椭圆C的上、下顶点A、B，以及点M、N的坐标，分和两种情况：时，直接求出直线AM、BN的方程，得到交点P坐标，代入椭圆方程验证在椭圆上；时，求出直线AM、BN的方程，联立求解得交点P坐标，再代入椭圆方程，验证满足椭圆方程，从而证明点P在C上； （2）先求出直线MN的斜率和方程，联立直线MN与椭圆C的方程，得到关于y的一元二次方程，利用判别式确定的取值范围，再根据韦达定理得到和，结合距离公式的推广，求出，进而由已知条件求出的值，最后再根据距离公式推广和韦达定理求出. 【详解】（1）由题可知， （i）若，则，此时，经检查符合椭圆的方程，所以点在上 （ii）若，则直线的方程为， 直线的方程为， 由可得 ，消去，得， 即，所以点在上. （2）因为直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 由方程组消去，得. 由得，解得. 设，，则，. 则，，所以. 又，所以，解得，或者. 由， 又， 所以，或者. 21．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知椭圆的左顶点为，且椭圆过点. (1)求的方程； (2)已知为的左焦点，在轴上有两动点，且. （i）若的外接圆与在第一象限的交点为，连接交轴于点，求； （ii）直线分别与交于点，求证：直线恒过定点. 【答案】(1) (2)（i）3；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据左顶点及点在椭圆上列式计算求解； （2）（i）根据的外接圆是以为直径的圆再设化简得出，即可得出比值；（ii）设直线联立后应用斜率乘积计算得出即得定点. 【详解】（1）因为椭圆的左顶点为，所以， 又椭圆过点，所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由得，所以. 显然的外接圆是以为直径的圆， 则其方程为，化简得. 设，则， 消去得，， 化简得，又，所以， 所以. （ii）设直线的方程为 联立，消去整理得， 则. 因为，所以， 故，即，化简得， 因为，所以， 所以直线的方程为，即直线恒过定点.    22．（25-26高二上·安徽·月考）已知双曲线：（，）的虚轴长为2，且点在双曲线上. (1)求双曲线的焦距. (2)已知，分别为双曲线的左、右顶点，直线：与双曲线交于，（异于点，）两点，直线与直线交于点. ①若，且的面积是，求直线的方程. ②试问点是否在定直线上？若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②点在定直线上. 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据求解即可； （2）①设，，进而联立方程得或，且，，再根据解方程即可得答案； ②根据题意求得直线、直线的方程，进而联立方程，并结合韦达定理得即可得到点在定直线上. 【详解】（1）解：（1）由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为：， 所以双曲线的焦距为. （2）    解：由（1）知，设，， 由得， 则即或，且，. ①因为的面积是，直线与轴交点坐标为 所以， 所以， 即，解得或. 因为，所以，所以， 则直线的方程为，即. ②由题意可知，， 则直线的方程为，直线的方程为， 所以. 因为，，所以， 所以， 所以，则点在定直线上. 23．已知双曲线的左右焦点为，离心率为过点且与y轴平行的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点，且 (1)求双曲线的标准方程； (2)记点，若过点且不过点的直线与交于两点，且平分求的方程. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据双曲线的离心率和渐近线方程求出双曲线的标准方程即可. （2）设方程为，然后求出直线的方程，然后联立方程组，结合韦达定理，求出到直线的距离，根据距离相等列出等式，然后进行化简即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，所以，所以. 又因为双曲线的渐近线方程为，令，则. 解得. 所以的标准方程为. （2）由题意知直线的斜率不为0，设方程为，. 所以直线方程为，即. 所以直线方程为，即. 联立得， ，且 到直线的距离的平方. 到直线的距离的平方. 因为平分，所以. 即， 即， 即， 所以，即. 所以，即. 带入得，解得. 所以方程为.    24．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知双曲线（，的焦距为，其中一条渐近线方程为，P，Q为双曲线的左、右顶点. (1)求双曲线的方程. (2)过点P作以为圆心的圆D的两条切线分别交双曲线于异于点P的B，C两点，试判断直线BC是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)是，. 【分析】（1）由双曲线的焦距为得到，再由其中一条渐近线方程为，得到求解； （2）设过P点的切线l的方程为，由动圆D的圆心到切线l的距离为，设直线，与双曲线的方程联立，结合韦达定理求得点B和C的坐标，写出直线BC的方程求解. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为， 所以， 又其中一条渐近线方程为，则， 解得，. 所以双曲线的方程为. （2）由题意，切线PB，PC的斜率都存在， 设过P点的切线l的方程为，动圆D的半径为， 所以圆心到切线l的距离为，即， 则PB，PC的斜率，是该方程的两个根，可得. 设直线，，， 联立方程，消去y得. 由韦达定理得，则， 将其代入，得， 即得，同理可得， 因为，则得. 又因为， 所以直线BC的方程为， 直线BC的方程可化为， ， . 故直线BC过定点. 25．已知椭圆 经过点 . (1)求椭圆 的方程及离心率； (2)设椭圆 的左顶点为 ，直线 与 相交于 两点，直线 与直线 相交于点 . 问: 直线 是否过定点? 若过定点，求出该点坐标; 若不过定点， 说明理由. 【答案】(1); (2)直线过定点 【分析】（1）根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率； （2）写出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ恒过的定点. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 所以，解得， 所以椭圆E的方程为， 因为所以， 所以离心率为. （2）直线过定点，理由如下： 由可得， 显然， 设则有 直线的方程为 令，解得，则， 所以直线的斜率为且， 所以直线的方程为 令，则 所以直线过定点. 26．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线仅经过中的一点． (1)求抛物线的方程； (2)过原点作圆的两条切线，切点分别为，且恰在抛物线的准线上．求； (3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段，的中点分别为，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先根据对称性判定和都不在抛物线上，然后将点代入抛物线的方程即可求解； （2）先由题意四点共圆，求出该圆的方程，与圆相减得直线的方程，利用该直线为准线列方程即可求解； （3）设，设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理得，进而得，当时，得直线的方程为，过点．当时，，也过定点，即可证明． 【详解】（1）根据抛物线的对称性，以及点关于轴对称， 可知点和要么都在上，要么都不在上， ∵抛物线只经过三个点中的一点，和都不在抛物线上． ∴点在上，将其坐标代入中，得， ∴抛物线的方程为． （2）由知，四点共圆，且该圆是以为直径的圆， 该圆的方程为， 与圆的方程相减，得直线的方程为， 恰在抛物线的准线上，，解得． （3）证明：由（1）知，设，则， 易知直线的斜率均存在，故设直线的方程为， 由消去整理得， 则， 用替换，得， 当时，， 则直线的方程为，即， 当时，． 当时，，此时直线过点． 故直线过定点．    27．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线定义判断出点的轨迹为双曲线，求出，得到双曲线方程； （2）假设存在点满足条件，设为双曲线右支上的一点，则，分和两种情况讨论，再讨论时，可以用先猜后证的思想证明. 【详解】（1）由题意得，所以， 即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 又，，所以， 所以的方程为. （2）假设存在点满足条件. 由（1）知，双曲线的右焦点为. 设为双曲线右支上的一点，则. ①当时，， 因为，所以， 于是，所以或5. 即或都满足条件. ②当时，根据①我们猜想定点为或， 当点在轴负半轴上时， ，. 因为，所以. （i）当时，上式化简为：. 又即，代入上式得. 所以，解得，即. （ii）当时，，即也能满足. 当点在轴正半轴上时，，. 过程同上，得到不能满足条件. 综上所述，在轴上存在定点，使得. 28．（24-25高二下·江西·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线交于点E，证明：点E恒在椭圆上； (3)若过点且斜率不为0的直线l与C的左、右支分别交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为R，判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【分析】（1）根据渐近线方程以及即可求解， （2）求解的直线方程，即可得交点E的坐标满足求解， （3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据对称性得定点在x轴上，求解QR的方程为，令即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 因为C的一条渐近线方程为，所以， 所以C的方程为． （2）证明：由（1）知， 设，则，且， 直线的方程分别为， 相乘得，即， 因为点E既在直线上，又在直线上，所以点E的坐标满足， 所以点E恒在椭圆上． （3）设，则， 设直线l的方程为，与联立得， 所以， 所以， 直线QR的斜率， 所以直线QR的方程为， 由对称性易知若直线QR过定点，则该定点在x轴上， 令，得 ， 所以直线QR过定点． 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 29．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 30．（23-24高二上·湖北·月考）双曲线的左右焦点为，实轴长为6，点P在双曲线的右支上，直线交双曲线于另一点Q，满足，且的周长为32． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线的右支相交于M、N两点，在线段MN上取点H，满足，点H是否恒在一条定直线上？若是，求出这条直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H在定直线上 【分析】（1）由，，结合双曲线定义表示，结合的周长为32求出，即可求出双曲线的标准方程； （2）设，则，设，则有及，所以，即可得出结论． 【详解】（1）由，， 则， 所以，解得，， 所以双曲线的标准方程为．    （2）因为，设，则， 设，则有， 由，得， 即，可化为， 由，得， 即，可化为， 所以， 所以， 即， 所以点H在定直线上．    31．（23-24高二下·甘肃·期末）已知拋物线的焦点为上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为3． (1)求拋物线的标准方程； (2)已知过点的直线与分别交于点与点，延长交于点，线段与的中点分别为． ①证明：点在定直线上； ②若直线，直线的斜率分别为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据抛物线的定义，把到的距离与到点的距离之和的最小值转化为到准线的距离为和到点的距离之和的最小值，在根据平面几何即可得出答案； （2）①设，计算出直线的方程和直线的方程，然后联立并根据韦达定理即可证明；②计算出，再根据基本不等式求解. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，设点到准线的距离为． 由抛物线的定义，得，解得， 当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为． （2）①设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立消去整理得， 所以，同理可得， 所以直线的方程为， 即，同理直线的方程为． 联立，得，即， 即，即， 所以，即点在直线上． ②由题意可知，的斜率存在且均不为0， 因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为， 由①知，．所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，又易知， 所以的取值范围为 32．（25-26高二上·四川巴中·月考）已知椭圆的两个焦点，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合椭圆标准方程中的关系进行求解即可； （2）（i）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线斜率公式进行求解即可； （ii）法一：根据三角形面积之间的关系，结合一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可； 法二：根据三角形面积公式，结合点到直线距离公式、一元二次方程根与系数关系、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为的周长等于8， 所以， 由椭圆的定义可知：， 所以， 由题意可得椭圆焦点在轴上， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0.    （ii）由（i）可得， 所以， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 法二： 点到直线的距离 所以 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为. 1．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率计算得到椭圆的标准方程； （2）设点其中，因为轴于点，得到，利用两直线垂直的斜率关系和直线的点斜式方程得到直线的方程为，进而得到，计算的方程为，进而得到，计算得到证明. 【详解】（1）因为椭圆：的右焦点，所以， 因为离心率，解得，由，解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点在椭圆上且，则，即， 当时，，直线为，因为，故直线为，为直线与的交点，即，直线的轴截距点，此时，所以. 当时，因为轴于点，所以， 故的斜率为，因，故的斜率为， 所以直线的方程为，令得点纵坐标为， 故， 直线的斜率为，代入， 直线的方程为， 令，解得， 故， 因此为定值. 综上所述，为定值. 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）已知抛物线的顶点和双曲线的中心为坐标原点，它们在轴上有共同焦点，且都经过点. (1)求抛物线和双曲线的标准方程； (2)动直线过点，交抛物线于、两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程； (3)设为双曲线的左顶点，为第一象限内双曲线上的任意一点，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)抛物线，双曲线 (2)证明见解析，直线的方程为 (3)存在，且 【分析】（1）设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，可得出抛物线的标准方程，求出焦点的坐标，设双曲线的标准方程为，利用双曲线的定义求出的值，结合的值，可得出的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）设点，设直线的方程为，求出圆的方程，可求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出直线被圆截得的弦长，根据弦长为定值可求出的值，即可证得结论成立； （3）设点，其中，，取，求得，先猜想出，根据，，结合二倍角的正切公式验证成立即可. 【详解】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，则，解得， 故抛物线的标准方程为，其焦点为， 设双曲线的标准方程为， 由双曲线的定义可得，即， 又因为，故， 故双曲线的标准方程为. （2）设点，则，线段的中点为，， 故以线段为直径的圆的方程为， 假设存在满足题设条件的直线，使得直线被圆截得的弦长为定值， 圆心到直线的距离为， 则直线被圆截得的弦长为 对任意的为定值， 所以，解得，此时. （3）设点，其中，， 因为双曲线的标准方程为，易知点、， 当轴时，点的横坐标为， 将代入双曲线的方程得可得，此时点， 此时，，则，为等腰直角三角形， 此时，，则， 假设存在实数，且，使得， 当且时，，， 因为 ， 综上所述，存在实数，使得. 3．（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆的右焦点为，长轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知、、是椭圆上的三个不同点． ①若，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是的外心，直线、、、的斜率均存在，并分别记为、、、，求的值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）根据题意得出、的值，可求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①不妨假设点在轴的上方，可知直线的倾斜角为，可得出直线的方程，将该直线的方程与椭圆的方程，结合弦长公式可求出的值，即可得出的值； ②设、、、，求出、、、的表达式，结合点差法可得出的值. 【详解】（1）由题意可得，可得，因此椭圆的标准方程为. （2）①由题意可知，且为等边三角形，易知、关于轴对称， 又因为，不妨假设点在轴上方，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 联立可得，解得或， 所以，故； ②设、、、， 则，，.，， 设的外接圆方程为， 得，， 两式相减得， 因为，所以， 同理：. 两式相减得，于是， 所以， 将，代入得， 因为，， 所以，所以，即. 4．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）设椭圆，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且． (1)求椭圆的方程； (2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线交于两点，与轴交于． ①求的取值范围； ②为坐标原点，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)结合已知条件，将可得到一个关系式，然后再结合求出半焦距，最后再结合即可求解； (2) ①由椭圆性质以及点的横坐标大于1即可求解；②首先设出直线的方程，然后利用直线与椭圆相切求出与的关系，再通过联立直线间的方程表示出直线与点的纵坐标，并表示出和，进而表示出，最后利用换元法和均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，① 因为点在椭圆外，且，所以，即，② 由①②解得，， 故椭圆的方程为； （2）①设点，，设直线：， 结合题意，由椭圆性质可知， ②将直线代入方程并化简可得，， 即， 因为直线与椭圆有且仅有一个交点， 所以，即． 直线的方程为：；直线的方程为：， 联立方程得，同理得， 所以， 所以，， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，不等式取等号， 故当时，取得最小值． 5．（25-26高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，点P的轨迹为曲线C，过点的直线l与曲线C交于A，B两点（A，B两点均在y轴左侧）. (1)求曲线C的方程； (2)若点A在x轴上方，且，求直线l的方程； (3)过点A作x轴的平行线m，直线m与直线交于点M，线段的中点为N，若直线l与直线交于点Q，求证：点Q恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义，以及题中条件，即可得出双曲线的方程； （2）设，，先由题中条件，得到直线斜率为正，设直线的方程为：，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，以及，列出方程组求解即可； （3）同（2）设，，直线的方程为：，得，；直线的方程为；写出直线的方程，进而求出点横坐标，得出点坐标，求出直线的方程与联立，即可求出点横坐标，从而证明结论成立. 【详解】（1）因为， 所以点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，且焦距为，实轴长为， 所以，，则， 因此双曲线C的方程为； （2）设，，则，， 因为点A在x轴上方，且， 所以易知直线的斜率存在，且斜率大于零， 因此可设直线的方程为：， 由得，即， 所以①，②， ， 又，所以③ 由①③得代入②可得， 即，解得(负值舍去)， 因此直线的方程为：， 即； （3）同（2）设，，直线的方程为：， 则，； 因为直线m过点A与x轴平行，所以直线的方程为； 又，则直线的方程为， 由， 得， 则， 所以， 即, 所以， 因此直线的方程为：， 因为点Q是直线l与直线的交点， 由，得，解得， 所以点Q的横坐标是，因此点Q恒在定直线上. 6．（25-26高二上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【详解】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； （2）（i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 7．（25-26高二上·福建·月考）设分别是椭圆的左､右焦点，过且斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列. (1)求的离心率； (2)若点满足. ①求的方程； ②设，点在上，且为垂足.试探究，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)①②存在，. 【分析】（1）由成等差数列，得.又，所以.联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式可得的关系式，从而求得椭圆的离心率； （2）根据已知条件，求得直线过定点，由知，点在以为直径的圆上，因此的中点即为所求定点. 【详解】（1）由成等差数列，得. 又，所以. 设，. 则直线的方程为. 由，得. 所以. 所以. 所以，所以，，所以. 所以的离心率为； （2）若点满足，则点在线段的垂直平分线上，记的中点为，则直线的斜率为. 由（1）知. 所以.所以. 由（1）知，所以. ①所以椭圆的方程为； ②设. 当直线的斜率均存在时，设直线的方程为，则直线的方程为. 由，得. .所以. ，所以. 所以.即. 以代得，. 即. 所以直线的斜率为： 所以直线的方程为： 所以直线过定点. 当直线的斜率不都存在时，一条为，另一条为. 则，或交换. 此时的方程为，即.过. 因为，所以点在以为直径的圆上. 的中点为，所以存在，使得为定值，且. 8．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知抛物线经过点，且为的焦点． (1)求的坐标． (2)设为上两个不同的点，且三点不共线，的斜率分别为，且． （i）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （ii）证明：存在关于轴对称的两个定点，使得直线过或． 【答案】(1) (2)（i），证明过程见解析. （ii）直线恒过定点或，且这两个定点关于轴对称，证明过程见解析. 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，利用点在曲线上求出参数，再根据抛物线标准方程求得焦点坐标. （2）（i）向量夹角余弦绝对值相等转化为直线到角的正切绝对值相等，代入 后分正负号讨论,取正号得 （为上两个不同的点,舍去），取负号解得 为定值. （ii）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理表示坐标关系；根据（i）中斜率乘积为定值得到关于斜率和截距的等式，由此推出直线过定点，并判断定点关于坐标轴对称. 【详解】（1）抛物线经过点， 将点坐标代入抛物线方程得：， 左边计算： 于是解得. 抛物线方程为，其焦点坐标为，即. （2）， 由 在 上，有, 直线 斜率分别为 设直线 与 的夹角为 ，设直线 与 的夹角为 ， 由, 即 或 ， 又 由 可得： 代入 化简得：， 取正号：得 ，即三点共线，不符合题意, 取负号： 整理得：， 故 （ii）设直线， 联立， 消去得： 消去得， 则， 由（i）中得：， 代入韦达定理并整理得： 两边乘以： 化简得即， 于是直线的方程为：， 取“+2”时，过定点；当取“-2”时，过定点， 因此，直线恒过定点或，这两个定点关于轴对称. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $