寒假作业01 空间向量在距离、夹角问题中的应用（含探索、最值问题）（6知识点+10大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 空间向量在距离、夹角问题中的应用（含探索、最值问题） 一、用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 二、平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 三、空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 四、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 五、点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 3、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 4、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 六、用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求点到线的距离 1．（25-26高二上·安徽·月考）若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算直线方向向量的单位向量，利用点线距的向量公式，可得答案. 【详解】由，则与向量同向的单位向量为， 由直线过原点，则取，即，， 所以点到直线的距离. 故选：B. 2．（25-26高二上·新疆·月考）已知的三个顶点分别是，，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】用空间向量点到直线的距离公式计算出点到的距离，再利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 点到的距离为， 则. 故选：D 3．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为原点建系，利用坐标计算得出向量在上的投影向量的模长、，再利用勾股定理可得. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，得， 则向量在上的投影向量的模长为， 又，则点M到直线的距离为. 故答案为： 4．（25-26高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，边上的高即为点A到的距离， 所以边上的高为． 故答案为： 题型二 求点到面的距离 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出向量，然后利用点到平面的距离公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又点在平面内，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 因点P，Q分别为平面，平面的中心，则， 于是，， 设平面的法向量为， 则， 故可取，又， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B. 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，求得，结合点到平面的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由点，，可得， 因为平面的一个法向量，且到平面的距离为， 可得，解得或. 故选：C. 5．（25-26高二上·河北保定·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先建立空间直角坐标系，然后列出每个点的坐标，求出平面的法向量的坐标，进而根据向量的数量积进行求解即可. 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 题型三 求线面距、面面距、异面直线间的距离 1．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 4．（多选题）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为 B．是平面的一个法向量 C．直线到平面的距离为 D．平面与平面间的距离为 【答案】ABD 【分析】对A，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系可求出；对B，说明平面即可；对C，等价于点到直线的距离；对D，根据向量关系可求出. 【详解】如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，    则， 所以，，设异面直线AC与所成的角为， 则，因为，所以，故A正确； 在正方体中，平面，平面， 所以，又，，，， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故B正确； 因为平面，所以直线平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到直线的距离，为，故C错误； 设平面的一个法向量， 则，即，所以， 则平面与平面间的距离，故D正确． 故选：ABD． 题型四 距离中的探索性、最值范围问题 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法可得点到平面的距离，进而可得范围. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，，， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，故， 而， 故到平面的距离， 故答案为：. 2．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    3．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建系后引入动点共线参数，再利用空间向量法来求点到直线的距离，即可求得最小值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因正方体的棱长为，，分别是棱，的中点， 则可得， 则，， 设，，则 ， 过点作，垂足为， 则 ， 则当时，取得最小值为， 所以点到直线距离的最小值为， 故答案为：. 题型五 求异面直线所成角 1．（25-26高二上·天津·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，而，则， 所以直线与所成角为. 故选：B 2．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ， 所以. 故选：C 3．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为， 以为原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， 则. 设与所成角为，则. 所以与所成角的正弦值为. 故选：A 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）在正方体中，E是棱AD上一点， ，F是棱上一点，，则异面直线与BF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】不妨设,以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 所以， 所以=，所以异面直线与BF所成角的余弦值为. 故选：A 题型六 求直线与平面所成角 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由线面角的向量公式，求得直线与平面所成角的正弦值，可得答案. 【详解】设直线与平面所成角为，则， 解得. 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏淮安·期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由于平面平面且交线为，平面，， 所以平面，由于平面，所以， 由于，平面， 所以平面，由此以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 由于，所以， ， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成角为， 则. 故选：B    3．已知长方体中，，为侧棱上的一点，且，则直线与平面所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再转化为余弦值. 【详解】以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图，， ∴，，. 设平面的一个法向量为，则， 即，取，则， ∴， 设直线与平面所成角大小为θ，则， 所以. 故选：B    4．（23-24高二下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点为，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系,根据题意写出各点坐标，求出与平面的法向量，根据夹角公式可得线面角的正弦值，再由同角关系式得余弦值，即可求解. 【详解】取中点为，连接，，， 又侧面底面，侧面底面，面， 底面， ，，，连接，则. 如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，设平面的法向量为，则，可取， ， 设直线与平面所成角为，， ， 直线与平面所成角的正切值为. 故选：. 题型七 已知线面角求其他量 1．（23-24高二上·河北·期中）如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥． (1)证明：． (2)若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，． 因为是菱形，，所以，为等边三角形， 所以，． 又平面，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为平面平面，且平面平面，， 所以平面 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，． 设，则． 设平面的法向量为， 则取，则，， 所以． ． 又，所以，则． 2．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； （2）由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 3．如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．    (1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行； (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)AF的长为4；． 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向量，计算出，证明出BG与平面DCE不平行； （2）由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计算出四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF， 所以，， 又， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则、、、、，    所以，，， 设平面DCE的法向量为，则， 令，则，所以， 因为，且不存在使得与垂直， 所以BG与平面DCE不平行； （2）设（且），则，所以， ∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为， ∴， 化简得，解得或（舍去）；故． 此时梯形ABEF的面积，故． 4．如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上，，且，． (1)当时，证明：平面平面BDE； (2)若直线AF与平面ODE所成角的正弦值为，试求此时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）得到和，从而证明线面垂直，进而证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，根据线面角的正弦值列出方程，求出答案. 【详解】（1）因为点E在圆O上，所以， 而矩形ABCD是圆柱的轴截面， 则有平面ABE，又平面ABE，即有， 又，，平面ADE，于是得平面ADE， 又因为平面ADE，所以． 当时，点F是DE的中点，又，则有 因为，平面， 所以平面BDE，又平面OAF， 所以平面平面BDE． （2）在底面内过O作，则，，两两垂直， 所以以为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 又因为，，， 所以，，则，，，． ， 设平面ODE的法向量为，则即 令得，， 即，设直线AF与平面ODE所成的角为， 则，解得． 即当时，直线AF与平面ODE所成角的正弦值为． 5．在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据矩形的性质、结合面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：延长交于点 四边形为矩形， 平面平面，平面平面 平面平面，即. （2）如图建系，    设平面的一个法向量， 或. 题型八 求二面角及平面与平面所成角 1．（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式求解即可. 【详解】设平面的法向量，，， 则，得， 取，则，所以平面的法向量为． 又平面的法向量可取，所以， 故选：C． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 3．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求解求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，由，得， 则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值. 故选：D 4．（25-26高三上·海南海口·期中）如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，, .    (1)证明: 平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平面几何知识分别证明和，再由线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据题设与（1）的结论建系，写出相关点和相关向量的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）    连接，因为底面是边长为2的正方形，所以， 又因为，， 由和全等，可得 易得点为线段的中点，所以， 且，由，可得， 又因为平面，故平面. （2）    由题知正方形中，平面， 则可以以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为 则，故可取； ，故可取. 设二面角的平面角为， 则， 故 即二面角的正弦值为      5．（25-26高二上·山西太原·期中）在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线平行和平行四边形对边平行来证明线面平行； （2）利用空间向量法来求两平面夹角余弦值. 【详解】（1）证明：取中点，连接，如下图所示：   为的中点，， 又四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面． （2）当时，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 以为原点，所在直线分别为轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，    设是平面的一个法向量， 则 令，则， 设是平面的一个法向量， 则 令，则， , 因此平面与平面夹角的余弦值为． 题型九 已知二面角求其他量 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点. (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置. 【答案】(1) (2)点为的中点 【分析】（1）由题设条件建系，表示出相关点，分别计算坐标和平面的法向量坐标，利用线面所成角的空间向量计算公式即得； （2）在原有坐标系中，设出参数表示出点的坐标，分别计算平面与平面的法向量，利用面面所成角的空间向量计算公式列出方程解之即得. 【详解】（1） 如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则 于是，,设平面的法向量为， 则 故可取.设直线与平面所成角为， 则 即直线与平面所成角的正弦值是. （2） 如图，设，，则，因，故，解得：， 则,设平面的法向量为， 则故可取. 又,设平面的法向量为， 则故可取. 设平面与平面的夹角为，则， 解得：或，因，故，即当点为的中点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 2．如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，．    (1)求AB的长； (2)若二面角的正切值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明平面，则有，由，求得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角的余弦值，可求出的值． 【详解】（1）三棱柱中，平面ABC，则平面ABC， 平面ABC，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，故，故． （2）由平面ABC，， 以为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 因为，所以， 故，因为，故． 易知是平面的法向量． 因为． 设是平面的法向量、所以 即，取，得， 所以，    因为二面角的正切值为，故余弦值为， 则，解得. 3．如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面垂直平面； (2)若二面角的大小为，求与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面，证明平面垂直平面； （2）建立空间直角坐标系，由二面角的大小为，求出，向量法求与平面所成的角的正弦值. 【详解】（1）平面，平面，则， ，，有，则， 平面，，所以平面； 平面，所以平面平面； （2），平面， 以为原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则 ，，设平面的一个法向量为， 则有，令，则，即， 平面的一个法向量， 二面角的大小为， ，解得，得， ，，设平面的一个法向量为， 则有，令，则，即， 与平面所成的角的正弦值为. 4．（24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）在图1中，连接,交于点,证明，推得平面，由线面垂直即可证明面面垂直即得； （2）依题建系，写出相关点坐标，设，求出相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式列出方程，求解即得. 【详解】（1） 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； （2） 如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为， 则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 题型十 夹角中的探索性、最值范围问题 1．（24-25高二上·山东·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,0,，,0,，,0,，,2,， 设，， 则,,， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则，当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D．    2．已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，平面的法向量为， 由于点N是四边形内一点，故可设，， 由于，所以，所以， 所以点在线段上，设DN与平面所成角为，， 则，所以， 当时，，不存在. 当时，，当时，取得最小值为. 故选：D 3．（23-24高二上·北京·月考）如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在原正方体中建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【详解】由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形，8个面为边长为的等边三角形， 在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系，原正方体边长为2， 则，，，设， ，， 则直线DE与直线AF所成角的余弦值， 而，故，，    故选： C. 4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围. 【详解】设正方体边长为，建立如图所示空间直角.则， 设， 则， 由于 使，， 所以是平面的法向量， 所以 ， 由于，所以，， 所以 ， 故答案为： 5．如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且，． (1)求证：平面ABE⊥平面ABC； (2)求二面角A-BE-C的平面角的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理及性质定理，及线面垂直的判定定理可证得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出二面角的余弦值，然后求解即可. 【详解】（1）证明：取BC中点M，AB中点N，连接DM，MN，EN． ∴MN∥AC且，又，， ∴DE∥MN，且所以四边形MNED是平行四边形， ∴EN∥DM且，又AC⊥平面BCD，平面ABC， ∴平面ABC⊥平面BCD， ∵， ∴DM⊥BC，又平面平面，平面BCD， ∴DM⊥平面ABC， ∴EN⊥平面ABC，又平面ABE，所以平面ABE⊥平面ABC． （2）由（1）知，AC⊥BC，EN∥DM且， EN⊥平面ABC，平面ABE⊥平面ABC 以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 设平面BCE的一个法向量为， 则，即，取，则， ∴ 又，则CN⊥AB 又平面平面，平面ABC， 所以CN⊥平面ABE，即为平面ABE的一个法向量， ∴． ∴二面角A-BE-C的取值范围是． 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）在长方体中，是的中点，是的中点，与相交于点.若，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，向量法求异面直线所成的角. 【详解】在矩形中，因为是的中点，与相交于点， 所以，所以，所以. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系.    因为，所以. 因为是的中点，是的中点，所以. 因为，所以，所以. 设与所成的角为，则. 因为，所以. 因为，所以. 故选:C. 2．（25-26高二上·山东青岛·期中）正四棱锥中，，，点是的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以底面中心为原点，取中点，中点，以方向为建立空间坐标系，计算向量，则点到直线的距离. 【详解】以底面中心为原点，取中点，中点，易知两两垂直，以方向为建立空间坐标系，如下图： ， ， 由，正方形对角线长度为 2 ，可得， 为 中点，则， ，，，， 点到直线的距离. 故选：C 3．（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】由题意，以为原点建立如图空间直角坐标系， ，，，，. ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到， 设点到平面的距离为，. 故选：D 4．（25-26高二上·山东烟台·期中）已知正方体的棱长为2，，为线段的中点，则点到面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，由为线段的中点，得， 而，则， 设平面的法向量，则，取，得， 所以点到平面的距离为. 故选：D 5．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量与法向量，根据线面角的空间向量法即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，， 得， 且， 在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即，令，则，则 设直线与平面所成角为， 则， 则. 故选：C. 6．（2025高二上·内蒙古·专题练习）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用异面直线所成角的向量解法求解. 【详解】连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，． 以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）． 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则． 故选：D. 7．（2025高二上·全国·专题练习）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的最大值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可. 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时，则A选项正确. 故选：A. 8．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 9．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 10．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面APC的法向量，表示出点B到平面APC的距离为，即可得到其最大值. 【详解】 如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，，则，故， 又，，于是， 设平面APC的法向量，则有， 可取， 则点B到平面APC的距离为， 当时，点B到平面APC的距离为0， 当时，， 当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为， 故选:D． 11．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】证明平面，是正方形，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求线面角从而得出满足的关系，再计算，结合函数知识得最小值． 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 12．（多选题）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量求法可判断A；求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法可判断B；求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可判断C；利用点到平面的距离的向量求法可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：AB. 13．（25-26高二上·北京·期中）正方体的棱长为2，点M是棱的中点，点N是正方形内部或边界上一点，若点N满足，则点N到直线距离的最大值为 ；    【答案】 【分析】利用空间向量根据垂直关系确定的轨迹，再计算最值即可. 【详解】    如图所示，建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 因为，所以，即， 可知， 所以到直线距离为 ， 当时取得最大值. 故答案为： 14．（23-24高二下·江苏南京·期中）长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 【答案】 /0.25 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线表示出点的坐标，由为钝角建立不等式求解的范围；由空间点到直线距离公式计算的值. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系， 则，令， 则有，，， 由为钝角，得，解得， ，因此； 显然，点到直线的距离 ，整理得， 解得，所以. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：求空间点的坐标，可以借助向量共线，结合向量的坐标运算求解. 15．（25-26高二上·上海·月考）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，然后利用距离的向量公式并换元化简得，最后利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示： 设， 所以，，设平面的法向量为， 则，令，则，于是， 则点到平面距离之和为， 设，则，， 因为，所以，所以， 令,则,故函数为开口向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增， 所以当时,即时，取到最小值为. 故答案为： 16．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，然后结合勾股定理利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量和平面的法向量，利用平面与平面夹角的向量公式列式求得，再利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）平面，平面，， ，，， ，， 又，平面，平面， 平面，平面平面； （2）如图，以为原点，取中点，   、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系， 则，，.设， 则，，，， 取，则，为平面的法向量. 设为平面的法向量，则， 即，取，，，则. 依题意，，则. 于是，. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.    (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）使用空间向量证明：只需证明与平面的法向量垂直即可； （2）设，根据直线与平面所成角的正弦值使用空间向量求出值. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， 设平面的法向量， 因为，， 由，取，得， 又，所以，则， 又因为平面，所以平面； （2）由点在线段上，设，， 所以， 设平面的法向量， 因为，， 由，取，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，即， 因为，所以，所以． 18．（25-26高二上·河南濮阳·月考）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案； （2）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的空间向量求法即可得到其表达式，结合换元法和基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）设.建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，， ， 异面直线与所成角的余弦值为. （2）设，，，， 当时，平面与平面重合， 当时，设平面的法向量为，则，令，则， 当时，设平面的法向量为，则， 令，则可求得平面的一个法向量为， ， 令，则 ， 当且仅当，即，即时，取等号， 此时， 所以平面与平面夹角的最大值为. 19．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，在五面体中，平面平面，，，，F为上一点，且平面 (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证出平面，从而证出，再由线面垂直的性质定理证出，由线面垂直的判定定理可证明； （2）根据五面体的性质结合已知条件，建立空间直角坐标系，得出相关点坐标，设点坐标，得出相关向量坐标，利用已知二面角余弦值，构造方程求出点坐标，进而求出． 【详解】（1）平面，平面，， 又平面平面，且平面平面， 平面，，平面， 又平面， ，又，平面， 平面． （2）平面，平面，， 又，，，故， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则，设点， ， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， ， 由（1）知，平面，则是平面的一个法向量， 平面与平面的夹角的余弦值为， ， 化简得，，， 的长为． 20．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，在三棱锥中，，，，，，E，F，G分别是，，的中点，点M，N分别在线段，上，，． (1)求证：E，G，N，M四点共面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用基本事实4和基本事实1的推论证明即可； （2）解法一：利用余弦定理和勾股定理得，然后线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后利用法向量垂直证明即可． （3）解法一：利用线面平行的性质定理及平面夹角的概念可得为平面与平面的夹角，然后由余弦定理求得，又由（2）知，即可求解； 解法二：求出平面的法向量，结合（2）中平面的法向量，进而利用向量法求解面面夹角即可. 【详解】（1）因为E，G分别是，的中点，所以， 因为，，所以， 所以，所以E，G，N，M四点共面． （2）解法一：因为，，， 所以，所以， 又， 在中，由余弦定理得， 则，满足，所以． 因为，，所以， 因为，，平面， 所以平面． 因为F，G分别是，的中点， 所以，所以平面， 又平面，所以平面平面． 解法二：因为，所以以为坐标原点，以，所在直线分别为x，y轴， 过点作轴垂直平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，，，所以， 设，，所以由可得， 解得，所以，所以， 设平面的法向量为， ，， 则得，令，则，，所以． 因为，，所以，， 所以，， 设平面的法向量为， 则得， 令，则，，所以． 因为，所以平面平面． （3）解法一：如图，设，， 由（1）知，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 又，所以，所以在中，， 由（2）知，，，所以，， 则为平面与平面的夹角， 即为平面与平面的夹角． 因为，，， 所以， 所以在中，， 因为在中，， 推出，所以． 在中，，，，所以， 又由（2）知，所以在中，，所以， 故平面与平面的夹角为． 解法二：由（2）知平面的一个法向量， 又平面的一个法向量， 所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的大小为． 21．（25-26高二上·贵州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，Q是棱上的动点． (1)求该四棱锥的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点Q所在的位置． 【答案】(1) (2)Q为靠近点B的三等分点 【分析】（1）分别取的中点E，F，连接，证明平面平面，过点作于点，证平面，再证，利用等面积求出长即可； （2）如图建系，先求得，写出相关点的坐标，设，，求得平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式建立方程，求出的值即得答案. 【详解】（1）如图，分别取，的中点E，F，连接，，， 因底面是边长为4的正方形，且，则，，且，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面． 过点作于点，因为平面平面，平面， 所以平面． 因为，， 所以，，， 由，可得， 则由，可得， 所以四棱锥的高为． （2） 如图，以过点的的平行线为轴，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 在中，， 则，，，． 所以，，． 设平面的法向量为． 则，得， 故可取． 依题设，，则． 设直线与平面所成的角为， 则． 化简得．解得或（舍去）． 故当，即Q为靠近点B的三等分点时，直线与平面所成角的正弦值为． 22．（25-26高二上·江西南昌·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【答案】(1)存在，点N为的中点 (2) 【分析】（1）取的中点，可得平面平面，根据面面平行的性质可得，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得，从而得到的长度. 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. （2）取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 23．（25-26高二上·海南·月考）四棱锥，平面平面，，是中点， (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面平面得到平面，从而得到，在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度，在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）取中点，连接，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可. 【详解】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面，平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，， 取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设平面与平面的夹角为，则， ，，，. 24．（24-25高二下·广西·月考）在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，同理可证，即可得证； （2）设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，依题意点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设，与面所成角为，则，再结合二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）∵底面是正方形，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面．∵平面，∴． 同理可得， ∵，，平面，∴平面． （2）由（1）知平面，，∴平面， 又∵面， ∴．∵，，，∴平面， 又平面，∴． ∵为中点，∴． 如图，设，以为原点，，所在直线分别为x，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 则，，则，又． 由题意可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设椭圆方程为， 又∵，所以该椭圆，，则， 所以在平面内椭圆轨迹方程为：． 设，， ∴． 又是平面的法向量， 记与面所成角为，则， 又由Q的轨迹方程得． 记，． 该二次函数的对称轴为，∴， 所以与平面所成角正弦值的最小值为 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，其中，根据题意得到，表达出，得到最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，其中，，则点到平面的距离为， 所以，， 点到直线的距离为：， 所以， 则， ，故当，时，取得最小值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·山东济宁·期中）（多选题）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】以顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标.由向量的数量积判断与的位置关系，即可判断A选项；由向量的数量积求得和公垂线的方向向量，利用投影求得两条异面直线的距离，判断B选项；利用向量的数量积证明线线垂直，即可求得点到直线的距离，判断C选项；由向量的数量积求平面的法向量，利用向量投影求得点到平面的距离，判断D选项. 【详解】在正方体中，以点为原点建立空间直角坐标系， ∴，，， ∵， ∴，∴ ，∴， ∴，∵，， ∴，， 由定义可知线段是异面直线与的公垂线段，A选项正确； 设向量为和公垂线的方向向量， 则，令，则，即， 由∵， ∴异面直线与的距离，B选项正确； ∵，， ∵，∴ ∴点到直线的距离，C选项错误； 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， ∴点到平面的距离，D选项正确. 故选：ABD. 3．（25-26高二上·江西九江·月考）（多选题）已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若，则二面角的平面角的正切值为 D．若，则三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需点的坐标，求解平面法向量，利用向量法依次分析各选项即可. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 可得，，， 则，即． 对于A，若，，即，则，，， 因为，，所以，， 因为，平面，所以平面．故A正确； 对于B，若，即，则，， 设与所成角为，， 则， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，右边不等式等号成立， 令，，则，可得. 当且仅当时，左边不等式等号成立，令，，则，可得. 综上所述，，所以，故B错误； 对于C，当时，，则， 设平面的法向量， 则，即，取，可得，则， 易得平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 因为由题意可判断是锐角，则， 所以，可得， 所以二面角的平面角的正切值为．故C正确； 对于D，设平面的法向量为，由，， 则，即，取，可得，， 则是平面的一个法向量， 易知，设点到平面的距离为， 则， 由，得，易知， 则三棱锥的体积，故D正确. 故选：ACD.    4．（25-26高二上·安徽·月考）已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.    (1)求证：为线段的中点； (2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量表示建立方程，得到，进而证明中点即可. （2）利用线面角的向量求法表示出，再利用平方法和换元法求解其最大值即可. 【详解】（1）由题意得，令，则， 连接，作，则由矩形性质得， 因为平面平面，面，所以面， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为等边三角形，所以由勾股定理得，， 则， 得到，，， 设面的法向量为，， 则，令，解得， 则面的法向量为， 由题意得在线段上，则，可得， 而，则，解得， 则，得到， 因为平面，所以， 则，解得， 此时，故为线段的中点. （2）由题意得在线段上，则， 由已知得，则， 设，则， 可得，解得，可得， 由已知得，则， 而，， 设面的法向量为， 则，令，解得， 则面的法向量为， 设直线与平面所成角为，， 则 ， 则， 令，可将化为， 令，由二次函数性质得在上单调递增， 则最小值为，此时取得最大值，， 结合题意可得，当取得最大值时，也取得最大值， 则最大值为. 5．（25-26高二上·广东珠海·月考）如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与四棱锥的棱交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明出平面，进而根据线面垂直的性质推断出，然后根据线面垂直的判定定理，证明出平面，所以； （2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面的法向量，再结合线面角的向量求法，即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，由（2）所建的直角坐标系，得，因为点是平面与四棱锥的棱的交点，所以，即可求得的值. 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又底面为矩形，所以， 又平面，平面，且， 所以平面，又平面，所以， 又，为棱的中点，所以， 又平面，平面，且， 所以平面，又平面，所以； （2）由（1）可得, 所以，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，解得，即平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则 （3）因为平面与四棱锥的棱交于点， 设，则， 设，则，则， 所以，所以， 由（2）得，平面的法向量为， 所以，即，解得， 所以的值为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 空间向量在距离、夹角问题中的应用（含探索、最值问题） 一、用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 二、平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 三、空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 四、空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 五、点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 3、异面直线的距离（线线距） （1）公垂线：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离.两条异面直线的公垂线有且只有一条. （2）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度. 4、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 六、用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求点到线的距离 1．（25-26高二上·安徽·月考）若直线l过原点O，且直线l的方向向量，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆·月考）已知的三个顶点分别是，，，则的面积为（    ） A． B． C．5 D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·月考）在长方体中，，，点M满足，则点M到直线的距离为 . 4．（25-26高二上·安徽·月考）在空间直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，则边上的高为 ． 题型二 求点到面的距离 1．（25-26高二上·云南昆明·月考）已知点，点在平面内，若平面的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高二上·河北保定·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（    ） A． B． C． D． 题型三 求线面距、面面距、异面直线间的距离 1．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏连云港·月考）正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．异面直线AC与所成的角为 B．是平面的一个法向量 C．直线到平面的距离为 D．平面与平面间的距离为 题型四 距离中的探索性、最值范围问题 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知正方体的棱长为，为棱（包含端点）上的动点，则点到平面距离的取值范围是 ． 2．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 3．（25-26高二上·天津·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动，则点到直线距离的最小值为 . 题型五 求异面直线所成角 1．（25-26高二上·天津·期中）设两条异面直线的方向向量分别为，则直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，在正四棱柱中，是边长为2的正方形，侧棱是线段的中点，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）在正方体中，E是棱AD上一点， ，F是棱上一点，，则异面直线与BF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 题型六 求直线与平面所成角 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24高二下·江苏淮安·期中）在三棱锥中，平面平面是的中点.，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 3．已知长方体中，，为侧棱上的一点，且，则直线与平面所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建龙岩·期末）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 题型七 已知线面角求其他量 1．（23-24高二上·河北·期中）如图1，在菱形中，，将沿着翻折至如图2所示的的位置，构成三棱锥． (1)证明：． (2)若平面平面，为线段上一点（不含端点），且与平面所成角的正弦值为，求的值． 2．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 3．如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．    (1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行； (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积． 4．如图，矩形ABCD是圆柱的一个轴截面，点E在圆O上，，且，． (1)当时，证明：平面平面BDE； (2)若直线AF与平面ODE所成角的正弦值为，试求此时的值． 5．在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 题型八 求二面角及平面与平面所成角 1．（2025高二·全国·专题练习）点分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设平面与平面的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东湛江·期末）在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·海南海口·期中）如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，, .    (1)证明: 平面； (2)求二面角的正弦值. 5．（25-26高二上·山西太原·期中）在图（1）五边形中，是等边三角形，，将沿折起到的位置，得到如图（2）所示的四棱锥，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值. 题型九 已知二面角求其他量 1．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是棱上一点. (1)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求点的位置. 2．如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，．    (1)求AB的长； (2)若二面角的正切值为，求的值． 3．如图，在三棱柱中，，，，平面. (1)求证：平面垂直平面； (2)若二面角的大小为，求与平面所成的角的正弦值. 4．（24-25高二上·北京·期中）图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型十 夹角中的探索性、最值范围问题 1．（24-25高二上·山东·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 2．已知正方体的棱长为，点N是四边形内一点，且满足，则DN与平面所成角的正切值的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·北京·月考）如图是一个棱数为，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是 ． 5．如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且，． (1)求证：平面ABE⊥平面ABC； (2)求二面角A-BE-C的平面角的取值范围． 1．（25-26高二上·河南新乡·月考）在长方体中，是的中点，是的中点，与相交于点.若，则与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东青岛·期中）正四棱锥中，，，点是的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东烟台·期中）已知正方体的棱长为2，，为线段的中点，则点到面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高二上·山东泰安·期中）已知在四面体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．（2025高二上·内蒙古·专题练习）如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高二上·全国·专题练习）如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的最大值是（    ）. A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山西·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河南新乡·月考）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 10．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 12．（多选题）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 13．（25-26高二上·北京·期中）正方体的棱长为2，点M是棱的中点，点N是正方形内部或边界上一点，若点N满足，则点N到直线距离的最大值为 ；    14．（23-24高二下·江苏南京·期中）长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 15．（25-26高二上·上海·月考）棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点到平面距离之和的最小值为 16．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，E是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.    (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18．（25-26高二上·河南濮阳·月考）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，点在上，且，点是线段上的动点. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的最大值. 19．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，在五面体中，平面平面，，，，F为上一点，且平面 (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 20．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，在三棱锥中，，，，，，E，F，G分别是，，的中点，点M，N分别在线段，上，，． (1)求证：E，G，N，M四点共面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面夹角的大小． 21．（25-26高二上·贵州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，Q是棱上的动点． (1)求该四棱锥的高； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，试确定点Q所在的位置． 22．（25-26高二上·江西南昌·月考）如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. (1)在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 23．（25-26高二上·海南·月考）四棱锥，平面平面，，是中点， (1)求证：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长. 24．（24-25高二下·广西·月考）在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为正方形. (1)求证：平面； (2)设的中点为且，.若为平面上的一点，且，求与平面所成角正弦值的最小值. 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）如图，在长方体中，，，P为侧面内一点.若点P到平面的距离与到直线的距离相等，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 2．（25-26高二上·山东济宁·期中）（多选题）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（    ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 3．（25-26高二上·江西九江·月考）（多选题）已知正方体的棱长为1，动点P满足，其中，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则平面 B．若，则与所成角的取值范围为 C．若，则二面角的平面角的正切值为 D．若，则三棱锥的体积为 4．（25-26高二上·安徽·月考）已知五边形是由等边三角形与矩形拼接而成，如图1所示，其中；现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图2所示，其中点为线段的中点，在线段上，且平面.    (1)求证：为线段的中点； (2)已知点在线段上（包含端点位置），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 5．（25-26高二上·广东珠海·月考）如图，在四棱锥中，为矩形，底面，，，为棱的中点，为棱上一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与四棱锥的棱交于点，求的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $