2026年高二数学寒假巩固练习二 空间微量的应用

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习二 空间向量的应用 1、 单选题 1．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】由题意得，，，所以， 所以与共线，又与没有公共点，所以. 故答案：B 2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则有直线的方向向量为与平面的法向量垂直， 即， 解得． 故选：B． 3.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 4.已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. ⇔l1//l2 B. ⊥⇔l1⊥l2 C. ⇔α//β D. ⊥⇔α//β 【答案】ABC 【解析】若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直），故选项A，B正确； 若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它们的法向量平行（或垂直），故选项C正确，D错误． 故选：ABC． 5．已知向量，，且，则实数m的值等于(　　) A. B．－2 C．0 D. 或－2 【答案】B 【解析】当m＝0时，，，所以a与b不平行，所以m≠0， 因为a∥b，所以，解得. 故选：B． 6．已知，，且，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，所以x＝1，所以， 所以，所以a与b的夹角为， 故选D. 7.设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得 . 故选：D. 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【解析】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 二、多选题 9.如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 【答案】BC 【详解】对于A：因为，所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点，所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面，所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角，又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D错误. 故选：BC. 10.下列说法正确的是（ ） A．若直线l的方向向量为平面α的法向量为则l∥α B．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若则P，A，B，C四点共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．已知若与的夹角为钝角，则 【答案】BCD 【解析】对于A：由已知可得，所以或，故A错误； 对于B：因为，所以四点共面，B正确； 对于C：根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，可知C正确； 对于D：因为，因为与的夹角为钝角，则， 所以，当时，，不合题意，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11.已知空间向量，则向量在向量上投影向量的坐标是 . 【答案】 【解析】向量在向量上投影向量为， 因为， 所以，， 所以向量在向量上投影向量的坐标为. 故答案为：. 12.在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 . 【答案】 【解析】由题意，以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，， 可得，得， 所以，， 由，可得，即，解得或， 所以实数的值为. 故答案为：. 14.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】 【解析】因为平面的方程为， 所以平面的一个法向量为，直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为，则. 故答案为： 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证： (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 16.如图所示，四棱锥的底面是矩形， 底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由题意知，两两互相垂直，以为原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，， 所以，. 底面， 又， 平面， 所以是平面的一个法向量. 因为，所以. 又平面，所以平面. 【解析】（2）因为，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则 由，解得， 令，得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 故：直线与平面所成角的正弦值为. 17.如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知，，，，． (1)设点是的中点，证明：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1），为原点建立空间直角坐标系，如图， 则， 是的中点，， 由图可知，是平面的一个法向量， 由，且不在平面内， 平面· （2）设与面所成的角为 ， 因为， 设是平面的一个法向量， 则由得， 令，得， 又，，则， 与面所成的角为正弦值为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习二 空间向量的应用 1、 单选题 1．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 2．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（  ） A． B． C． D． 3.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 4.已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. ⇔l1//l2 B. ⊥⇔l1⊥l2 C. ⇔α//β D. ⊥⇔α//β 5．已知向量，，且，则实数m的值等于(　　) A. B．－2 C．0 D. 或－2 6．已知，，且，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 7.设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 二、多选题 9.如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 10.下列说法正确的是（ ） A．若直线l的方向向量为平面α的法向量为则l∥α B．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若则P，A，B，C四点共面 C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D．已知若与的夹角为钝角，则 三、填空题 11.已知空间向量，则向量在向量上投影向量的坐标是 . 12.在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 . 14.人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为________． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证： (1)平面平面； (2)平面平面. 16.如图所示，四棱锥的底面是矩形， 底面，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17.如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为 ．已知，，，，． (1)设点是的中点，证明：平面； (2)求与平面所成的角的正弦值； 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $