2026年高二数学寒假作业二 空间向量与立体几何2（天津适用）

高二数学寒假作业 寒假作业二---空间向量与立体几何二 知识梳理 1. 空间向量的坐标表示 2. 空间向量的加减数乘运算的坐标表示 3. 空间向量的数量积运算的坐标表示 4. 空间向量平行与垂直的坐标表示 5. 空间向量的模长与夹角的坐标表示 基础巩固 一、单选题 1．已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 6．设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 7．已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ． 10．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 . 11．在空间直角坐标系中，已知，则 ． 12．正方体棱长为2，E为中点，F为中点，则 ． 13．在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为 . 14． 在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 素养提升 1.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 2.以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 4.笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，，点是轴上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学寒假作业 寒假作业二---空间向量与立体几何二 知识梳理 1. 空间向量的坐标表示 2. 空间向量的加减数乘运算的坐标表示 3. 空间向量的数量积运算的坐标表示 4. 空间向量平行与垂直的坐标表示 5. 空间向量的模长与夹角的坐标表示 基础巩固 一、单选题 1．已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】应用向量线性关系的坐标运算求. 【详解】由，则，所以. 故选：D 2．在空间直角坐标系中，已知点、，则线段的中点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间两点的中点坐标 【分析】利用中点坐标公式可得答案. 【详解】因为点、，则线段的中点坐标为， 即. 故选：B. 3．在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 4．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数、空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 5．已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据向量加法的坐标运算求出，利用向量平行的性质建立等式求解. 【详解】. 因为，所以存在实数，使得，即. 所以，解得. 故选：A. 6．设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量的垂直和平行关系得到方程，求出，求得，利用坐标求其模即可. 【详解】由⊥，可得，解得， ，故可设，即， 则，解得，即， 则， 故. 故选：B 7．已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量共面求参数 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 8．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义计算. 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 二、填空题 9．在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ． 【答案】 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据空间中点的坐标，利用对称性即可求解. 【详解】由关于x轴的对称点坐标：x坐标符号不变，y、z坐标符号改变，故对称点为； 故答案为：. 10．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为 . 【答案】 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据空间直角坐标系下点的坐标的特征计算可得. 【详解】点到轴的距离为. 故答案为： 11．在空间直角坐标系中，已知，则 ． 【答案】 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】求出向量坐标，然后由向量的模长公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 12．正方体棱长为2，E为中点，F为中点，则 ． 【答案】4 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】如图建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 因正方体棱长为2，且E为中点，F为中点， 故有， 则， . 故答案为：4. 13．在直三棱柱中，分别是的中点，，则BE与AF所成角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 由题意，得， 则. 所以. 故答案为： 14．在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的单位方向向量为， 点，，，，， ，， ，， 到直线的距离为. 故答案为：. 一、解答题 1．已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【答案】(1) (2)或. (3) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）根据空间向量的坐标表示，和空间向量数量积的坐标表示，求出结果即可. （2）根据空间向量垂直的性质，和空间向量数量积的坐标表示，列出方程，求出结果即可. （3）根据投影向量的概念，以及空间向量数量积的坐标表示，求出投影向量的模长即可. 【详解】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 素养提升 1.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后得出和的坐标，即可得出答案. 【详解】 如图，由已知可得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则，，，，，. 所以，， 所以. 故选：A. 2.以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】结合空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，逐一检验即可. 【详解】若空间三个向量，，能构成空间的基底，则向量，，不共面，反之亦然， 对于A，由，，，得，即向量，，共面，不能构成空间基底； 对于B，令，则，不成立，即不共面，可构成基底； 对于C，令，则，即无解，即不共面，可构成基底； 对于D，令，则，即无解，即不共面，可构成基底. 故选：A 3.已知空间中三点，平面的一个法向量为，则以为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】运用法向量求出坐标，再求出平行四边形边长和夹角余弦值，进而求出正弦值，再用面积公式即可. 【详解】平面的一个法向量为，则，解得，故.，则， 则. 则平行四边形面积为. 故选：D. 4.笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．据说在他生病卧床时，突然看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形．在如图所示的空间直角坐标系中，为长方体，且，，点是轴上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点A关于x轴对称的点到D的距离即的最小值. 【详解】因为，，由图可知，，， A关于轴对称的点为， 所以. 故选：C. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $