2026年高二数学寒假巩固练习一 空间向量及空间位置关系

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习一 空间向量及空间位置关系 1、 单选题 1.对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 2．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为(　　) A． B． C． D． 4.设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 5．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 8.如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 二、多选题 9.若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 10.若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 11.如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法正确的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 三、 填空题 12.在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 13.如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ． 14.有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为． (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 16.如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B， 设，试求α，β，γ的值． 17. 在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心， 证明：（1）. （2）. 18.如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是， （1）证明并求AC1； （2）求向量与夹角； （3）求向量与所成角的余弦值. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习一 空间向量及空间位置关系 1、 单选题 1.对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 2．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意点是的中点， 所以. 故选：B. 3．在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为，所以，所以. 故选：D. 4.设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 5．已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 6.设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 7．如图，在边长为2的正四面体中，是的中心，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设基底为，由于四面体为正四面体，所以可得基底的两两夹角都为. 对于A：， ，故A错误； 对于B：， ，故B错误； 对于C、D：延长交于，易得为的中点，由于是的中心，可得. ，故D正确； 又，故C错误. 故选：D. 8.如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（    ） A． B．、、三点共线 C．与是异面直线 D． 【答案】B 【详解】在平行六面体中，令，，， 则，， ， ，因为不共线所以与不平行，故A错误. ， ，即有，，有公共点， 所以、、三点共线，B选项正确. 因为点在直线上，点也在直线上所以与是相交直线， 故C选项错误. 因为，所以，故D选项错误. 故选：B 二、多选题 9.若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10.若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 11.如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法正确的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】ACD 【解析】对于，当时，，，所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即，所以点在棱上，故正确； 对于，当时，所以，， 所以，即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：ACD． 三、 填空题 12.在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则 . 【答案】 【解析】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点， 所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 13.如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ． 【答案】 【解析】； ； ； 故答案为：；；. 14.有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 【答案】①③ 【解析】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为． (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)的长为；(2). 【解析】记，，， 则，， ∴． (1) ， ∴， 即的长为． （2），， ∴||＝，||＝， ． ∴<，>＝． ∴与夹角的余弦值为． 16.如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体． （1）化简结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）； （2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C11B， 设，试求α，β，γ的值． 【答案】（1）；作图见解析； （2），，． 【解析】（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF， 则． （2）（）（）， 所以，，γ 17. 在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心， 证明：（1）. （2）. 【答案】证明见解析 【解析】 证明：（1）如图，取DC的中点M，连接AM，BM， ∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面， ∴CD⊥平面，平面， ∴CD⊥AB， 即. （2） 取BD的中点H，连接HE，HF， 则，， ∴HE⊥FH，即，又， ∴，， ∴， 即. 18.如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是， （1）证明并求AC1； （2）求向量与夹角； （3）求向量与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析，AC1=；（2）向量与夹角是；（3）. 【解析】（1）在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . =， ； 又， ，即； （2）连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是 （3）， ， ， . 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $